【数学】2020届一轮复习人教B版参数方程和普通方程的互化学案 13页

曲线的参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．‎ ‎(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．‎ ‎(3)普通方程化为参数方程，首先确定变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，其次将x＝f(t)代入普通方程解出y＝g(t)，则(t为参数)就是曲线的参数方程．‎ ‎(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ ‎1．参数方程，(θ为参数)表示的曲线是(　　)‎ A．直线　　　　　　　 B．圆 C．线段 D．射线 解析：选C.x＝cos2θ∈[0，1]，y＝sin2θ∈[0，1]，所以x＋y＝1，(x，y∈[0，1])为线段．‎ ‎2．能化为普通方程x2＋y－1＝0的参数方程为(　　)‎ A.　　　　　‎ B. C. ‎ D. 解析：选B.对A，可化为x2＋y＝1(y∈[0，1])；对B，可化为x2＋y－1＝0；对C，可化为x2＋y－1＝0(x≥0)；对D，可化为y2＝4x2－4x4.(x∈[－1，1])．‎ ‎3．(1)参数方程(t为参数)化为普通方程为____________．‎ ‎(2)参数方程，(θ为参数)化为普通方程为____________．‎ 解析：(1)把t＝x代入y＝t得y＝x.‎ ‎(2)参数方程变形为 两式平方相加，得(x－1)2＋(y－1)2＝1.‎ 答案：(1)y＝x　(2)(x－1)2＋(y－1)2＝1‎ ‎4．(1)若x＝cos θ，θ为参数，则曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为____________．‎ ‎(2)若y＝2t(t为参数)，则抛物线y2＝4x的参数方程为____________．‎ 解析：(1)把x＝cos θ代入曲线x2＋(y＋1)2＝1，得cos2θ＋(y＋1)2＝1，‎ 于是(y＋1)2＝1－cos2θ＝sin2θ，‎ 即y＝－1±sin θ，‎ 由于参数θ的任意性，‎ 可取y＝－1＋sin θ，‎ 因此，曲线x2＋(y＋1)2＝1的参数方程为，(θ为参数)．‎ ‎(2)把y＝2t代入y2＝4x，‎ 解得x＝t2，‎ 所以抛物线y2＝4x的参数方程为(t为参数)．‎ 答案：(1)(θ为参数)‎ ‎(2)(t为参数)‎ ‎　参数方程化普通方程 ‎　将下列参数方程化为普通方程：‎ ‎(1)，(t为参数)；‎ ‎(2)，(θ为参数)；‎ ‎(3)，(t为参数)；‎ ‎(4)，(t为参数)．‎ ‎[解]　(1)由x＝＋1≥1，有＝x－1，‎ 代入y＝1－2，‎ 得y＝－2x＋3(x≥1)．‎ ‎(2)由得， ‎①2＋②2得＋＝1.‎ ‎(3)由得， ‎②÷①得＝－，所以y－2＝－(x－1)(x≠1)，‎ 所以x＋3y－6－＝0，‎ 又当t＝0时x＝1，y＝2也适合，故普通方程为x＋3y－6－＝0.‎ ‎(4)由，得， ‎①＋②得x2＋y2＝1.‎ ‎(1)消参的三种方法 ‎①利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后运用代入消元法或加减消元法消去参数；‎ ‎②利用三角恒等式借助sin2 θ＋cos2 θ＝1等消去参数；　 ‎ ‎③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法(例如借助＋＝1，－＝4等)从整体上消去参数．‎ ‎(2)化参数方程为普通方程应注意的问题 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y的取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围. ‎ ‎1．参数方程，(θ为参数)化为普通方程是(　　)‎ A．2x－y＋4＝0‎ B．2x＋y－4＝0‎ C．2x－y＋4＝0，x∈[2，3]‎ D．2x＋y－4＝0，x∈[2，3]‎ 解析：选D.由x＝2＋sin2θ，则x∈[2，3]，sin2θ＝x－2，y＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ＝－2x＋4，即2x＋y－4＝0，故化为普通方程为2x＋y－4＝0，x∈[2，3]．‎ ‎2．化参数方程，(a，b为大于0的常数，t为参数)为普通方程．‎ 解：因为x＝，当t>0时，x∈[a，＋∞)，‎ 当t<0时，x∈(－∞，－a]．‎ 由x＝两边平方可得 x2＝， ①‎ 由y＝两边平方可得 y2＝， ②‎ ‎①×－②×并化简，得－＝1(a，b为大于0的常数)．‎ 所以普通方程为－＝1(a>0，b>0)．‎ ‎　普通方程化参数方程 ‎　根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．‎ ‎(1)＋＝1，x＝cos θ＋1.(θ为参数)‎ ‎(2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数)‎ ‎[解]　(1)将x＝cos θ＋1代入＋＝1得y＝2＋sin θ.‎ 所以(θ为参数)‎ 这就是所求的参数方程．‎ ‎(2)将x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得：‎ y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1，‎ 所以(t为参数)‎ 这就是所求的参数方程．‎ 化普通方程为参数方程的方法及注意事项 ‎(1)选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．‎ ‎(2)参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．　 ‎ ‎　根据所给条件，求方程4x2＋y2＝16的参数方程．‎ ‎(1)设y＝4sin θ，θ为参数；‎ ‎(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？‎ 解：(1)把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2 θ＝16，于是4x2＝16－16sin2 θ＝16cos2 θ，所以x＝±2cos θ.‎ 所以4x2＋y2＝16的参数方程是或(θ为参数)．‎ ‎(2)将y＝t代入椭圆方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，则x2＝.所以x＝±.‎ 因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是，或，(t为参数)．同理将x＝2t代入椭圆4x2＋y2＝16，得椭圆的参数方程为，或(t为参数)．‎ ‎　参数方程与普通方程互化的应用 ‎　已知曲线C1：，(t为参数)，C2：，(θ为参数)．‎ ‎(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值及此时Q点的坐标．‎ ‎[解]　(1)由C1：，(t为参数)，‎ 则 由sin2t＋cos2t＝1得(x＋4)2＋(y－3)2＝1，即曲线C1的普通方程．C1表示的是圆心为(－4，3)，半径为1的圆．‎ 由C2：(θ为参数)，‎ 则由cos2θ＋sin2θ＝1得＋＝1，即曲线C2的普通方程．C2表示的是中心在坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．‎ ‎(2)当t＝时，P(－4，4)，Q(8cos θ，3sin θ)，‎ 故M，‎ C3为直线x－2y－7＝0.‎ 则点M到直线C3的距离d＝|4cosθ－3sin θ－13|＝|5cos(θ＋φ)－13|，‎ 其中cos φ＝，sin φ＝，‎ 所以当cos(θ＋φ)＝1时，d取得最小值.‎ 此时cos θ＝，sin θ＝－，‎ 所以Q点的坐标为.‎ ‎(1)在利用参数方程与普通方程互化的过程中，若化参数方程为普通方程，则既要掌握几种常见的消参方法，又要注明未知数的取值范围；若化普通方程为参数方程，则既要根据选取参数的条件，把变量x，y表示为关于参数的函数，又要注明参数及其取值范围，做到规范答题．‎ ‎(2)在解题过程中，当一种方程形式不利于解题时就应设法转化为另一种形式，这是解决此类问题的基本思想．　 ‎ ‎　在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ 解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，‎ 从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.‎ ‎(2)设P，又C(0，)，‎ 则|PC|＝ ＝，‎ 故当t＝0时，|PC|取得最小值，‎ 此时，点P的直角坐标为(3，0)．‎ ‎1．参数方程和普通方程的互化 参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型．‎ 由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数．‎ ‎2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．‎ ‎3．参数方程与普通方程的等价性 把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．‎ ‎1．曲线(θ为参数)的方程等价于(　　)‎ A．x＝　　　　　 B．y＝ C．y＝± D．x2＋y2＝1‎ 解析：选A.由x＝|sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1.故选A.‎ ‎2．方程表示的曲线是(　　)‎ A．一条直线　　　　　 B．两条射线 C．一条线段 D．抛物线的一部分 解析：选B.因为t>0时x≥2，t<0时x≤－2.‎ 所以普通方程为y＝2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，‎ 它表示的图形是两条射线．‎ ‎3．若y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程为(　　)‎ A.(t为参数)　　 B．(t为参数)‎ C.(t为参数) D．(t为参数)‎ 解析：选A.因为y＝tx，代入x2＋y2－4y＝0，‎ 得x2＋(tx)2－4tx＝0.‎ 当t＝0时，x＝0，且y＝0，即 当t≠0时，x＝.‎ 而y＝tx，即y＝，得(t为参数)．‎ 综上知，所求圆的参数方程为(t为参数)．‎ ‎4．已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，a∈R)，点M(5，4)在该曲线上．‎ ‎(1)求常数a；‎ ‎(2)求曲线C的普通方程．‎ 解：(1)由题意，可知故所以a＝1.‎ ‎(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为，由第一个方程，得t＝，代入第二个方程，得y＝，即(x－1)2＝4y为所求．‎ ‎[A　基础达标]‎ ‎1．与参数方程，(t为参数)等价的普通方程为(　　)‎ A．x2＋＝1‎ B．x2＋＝1(0≤x≤1)‎ C．x2＋＝1(0≤y≤2)‎ D．x2＋＝1(0≤x≤1，0≤y≤2)‎ 解析：选D.方程 变形为，‎ 两式平方相加，得x2＋＝1，‎ 由式子，2有意义，得0≤t≤1，所以0≤x≤1，0≤y≤2，故选D.‎ ‎2．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ A．在直线y＝2x上　　　　 B．在直线y＝－2x上 C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 解析：选B.将(θ为参数)化为普通方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，其表示以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，其对称中心即圆心，显然(－1，2)在直线y＝－2x上，故选B.‎ ‎3．已知直线l：(t为参数)与圆C：(θ为参数)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是(　　)‎ A.，(1，0) B．，(－1，0)‎ C.，(1，0) D．，(－1，0)‎ 解析：选C.直线消去参数得直线方程为y＝－x，所以斜率k＝－1即倾斜角为.圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1，0)．‎ ‎4．参数方程(t为参数)化为普通方程为(　　)‎ A．x2＋y2＝1‎ B．x2＋y2＝1去掉(0，1)点 C．x2＋y2＝1去掉(1，0)点 D．x2＋y2＝1去掉(－1，0)点 解：选D.x2＋y2＝＋＝1，又因为x＝－1时，1－t2＝－(1＋t2)不成立，故去掉点(－1，0)．‎ ‎5．参数方程(0≤θ<2π)表示的是(　　)‎ A．双曲线的一支，这支过点 B．抛物线的一部分，这部分过点 C．双曲线的一支，这支过点 D．抛物线的一部分，这部分过点 解析：选B.因为x＝，故x∈[0，]，又y＝(1＋sin θ)，故y∈[0，1]．‎ 因为x2＝1＋sin θ，所以sin θ＝x2－1，‎ 代入y＝(1＋sin θ)中得y＝x2，‎ 即x2＝2y，(0≤x≤，0≤y≤1)表示抛物线的一部分，‎ 又2×＝1，故过点.‎ ‎6．圆的参数方程为，(θ为参数)，则此圆的半径为________．‎ 解析：两式平方相加，得x2＋y2＝9sin2θ＋16cos2θ＋24sin θcos θ＋16sin2θ＋9cos2θ－24sin θcos θ＝9＋16＝25.‎ 所以圆的半径r＝5.‎ 答案：5‎ ‎7．过原点作倾斜角为θ的直线与圆相切，则θ＝________．‎ 解析：直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±，所以θ＝或.‎ 答案：或 ‎8．在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a>0)有一个公共点在x轴上，则a＝________．‎ 解析：曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝(舍去－)．‎ 答案： ‎9．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2，0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；‎ ‎(2)判断直线l与圆C的位置关系．‎ 解：(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，.又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.‎ ‎(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，，所以直线l的平面直角坐标方程为x＋y－2＝0.‎ 又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径为r＝2，‎ 圆心到直线l的距离d＝＝0时，d≥.‎ ‎(2)当t<0时，因为－t－≥2，‎ 所以t＋＋1≤－2＋1.‎ 所以|t＋＋1|≥2－1，所以d≥.‎ 因为>，‎ 所以d的最小值为，即，‎ 此时点P的坐标为(－，－)．‎ ‎14．(选做题)已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：(t为参数)．‎ ‎(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2的公共点的个数；‎ ‎(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′，写出C1′，C2′的参数方程．C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．‎ 解：(1)C1是圆，C2是直线．C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0，0)，半径r＝1.‎ C2的普通方程为x－y＋＝0.因为圆心C1到直线x－y＋＝0的距离为1，所以C1与C2只有一个公共点．‎ ‎(2)压缩后的参数方程分别为C1′：(θ为参数)，C2′：(t为参数)，‎ 化为普通方程为C1′：x2＋4y2＝1，C2′：y＝x＋，‎ 联立消元得2x2＋2x＋1＝0，‎ 其判别式 Δ＝(2)2－4×2×1＝0，‎ 所以压缩后的直线C2′与椭圆C1′仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．‎