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- 2021-06-16 发布
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核心素养测评四十九 直线的交点坐标与距离公式
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.已知直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx-y=0平行,则实数m的值为 ( )
A. B.- C.2 D.-2
【解析】选A.由题意,=,即m=.
2.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= ( )
A.-4 B.-1 C.1 D.4
【解析】选C.k1=,k2=-,因为直线互相垂直,所以k1·k2=-1,即·=-1,所以m=1.
3.点P(a,b)关于l:x+y-1=0对称的点仍在l上,则a2+b2的最小值= ( )
A. B.1 C.2 D.0
【解析】选A.因为点P(a,b)关于l:x+y-1=0对称的点仍在l上,所以点P(a,b)在直线l上,
所以a+b-1=0,解得a+b=1.
又≤a2+b2,
所以a2+b2≥(当且仅当a=b时,等号成立).
4.P点在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为 ( )
A.(1,2) B.(2,1)
C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2)
【解析】选C.设P(x,5-3x),则d==,解得x=1或x=2,故P(1,2)或(2,-1).
5.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点 ( )
A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)
【解析】选B.直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2恒过定点(0,2).
6.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,则实数k的取值范围是 ( )
A.-6-2
【解析】选A.解方程组
得因为直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,
所以k+6>0且k+2<0,所以-60,c>0)恒过点P(1,m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则+的最小值为 ( )
A. B. C.1 D.9
【解析】选B.因为动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),所以a+bm+c-2=0,设点Q(4,0)到直线l的距离为d,当d=|PQ|时取最大值,
所以=3,解得m=0.所以a+c=2,则+=(a+c)·=·
≥=,当且仅当c=2a=时取等号.
3.(5分)点A(1,3),B(5,-2),点P在x轴上使|AP|-|BP|最大,则P的坐标为 ( )
A.(4,0) B.(13,0) C.(5,0) D.(1,0)
【解析】选B.如图,作出点A(1,3)关于x轴对称的点A′(1,-3),则|PA|-|PB|=|PA′|-|PB|≤|A′B|,当且仅当点P在A′B的延长线上时,取等号.由两点式可得直线A′B的方程为:y=x-.令y=0得x=13,
所以点P的坐标为(13,0).
4.(10分)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点. 世纪金榜导学号
(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
【解析】(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,
即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.
所以=3.即2λ2-5λ+2=0,
所以λ=2或.
所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)由解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,
设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).
(其余距离d与PA构成直角三角形,PA为它们的斜边),
所以dmax=|PA|=.
5.(10分)已知直线l1的方程为3x+4y-12=0,求l2的方程,使得: 世纪金榜导学号
(1)l2与l1平行,且过点(-1,3).
(2)l2与l1垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.
【解题指南】(1)由l2与l1平行可设l2:3x+4y+m=0(m≠-12),再代入点(-1,3)得m的值.
(2)由l2与l1垂直可设l2:4x-3y+n=0,再得与坐标轴的交点,由面积公式求解.
【解析】(1)设l2:3x+4y+m=0(m≠-12),
因为l2过点(-1,3),将点(-1,3)代入得-3+4×3+m=0,
解得m=-9,所以l2的方程为3x+4y-9=0.
(2)设l2:4x-3y+n=0 ,设l2与x轴交于点A-,0,与y轴交于点B0,.
所以S△AOB=·=4.
n2=96,n=±4,
所以l2的方程为4x-3y+4=0或4x-3y-4=0.