【数学】2019届一轮复习人教A版第1章集合与常用逻辑用语第3课时简单的逻辑联结词、量词学案 7页

第3课时　简单的逻辑联结词、量词(对应学生用书(文)、(理)6 8页)‎ 了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；理解必要条件、充分条件、充要条件的意义；了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；了解全称量词与存在量词的意义；了解含有一个量词的命题的否定的意义．‎ ① 会分析四种命题的相互关系.‎ ‎② 会判断必要条件、充分条件与充要条件.‎ ‎③ 能用“或”“且”“非”表述相关的数学内容(真值表不作要求).‎ ‎④ 能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容.‎ ‎⑤ 能正确地对含有一个量词的命题进行否定．‎ ‎1. 写出命题“若a＝0，则ab＝‎0”‎的逆否命题：________________________________________________________________________.‎ 答案：若ab≠0，则a≠0‎ ‎2. 原命题“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有________个．‎ 答案：1‎ ‎3. (改编题)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝‎3”‎是“A⊆B”的____________条件．‎ 答案：充分不必要 解析：a＝3时，A＝{1，3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.所以a＝3是A⊆B的充分不必要条件．‎ ‎4. (改编题)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1 对称的充要条件是____________．‎ 答案：m＝－2‎ 解析：已知函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则m＝－2；反之也成立．所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.‎ ‎5. (改编题)已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1＜0，则綈p为__________．‎ 答案：∀x∈R，x2＋x－1≥0‎ 解析：含有存在量词的命题的否定，需将存在量词改为全称量词，并将结论否定，即綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0.‎ ‎1. 四种命题及其关系 ‎(1) 四种命题 ‎① 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题；‎ ‎② 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，这个命题叫做原命题的否命题；‎ ‎③ 如果一个命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题互为逆否命题，这个命题叫做原命题的逆否命题．‎ 命题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q，则p 否命题 若非p，则非q 逆否命题 若非q，则非p ‎(2) 四种命题间的逆否关系 ‎(3) 四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎2. 充分条件与必要条件 ‎(1) 如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．‎ ‎(2) 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充要条件，记作p⇔q.‎ ‎(3) 如果p⇒q，q__p，那么称p是q的充分不必要条件．‎ ‎(4) 如果q⇒p，p__q，那么称p是q的必要不充分条件．‎ ‎(5) 如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎3. 简单的逻辑联结词 ‎(1) “或”“且”“非”叫做逻辑联结词．‎ ‎① 或：两个简单命题至少一个成立. ‎ ‎② 且：两个简单命题都成立. ‎ ‎③ 非：对一个命题的否定．‎ ‎(2) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．‎ ‎(3) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．‎ ‎(4) 一个命题p的否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．　‎ ‎(5) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断 p∧q中p，q有一假为假，p∨q中p，q有一真为真，p与非p必定是一真一假．‎ ‎4. 全称量词与存在量词 ‎(1) 全称量词与全称命题 短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀x”表示“对任意x”．‎ 含有全称量词的命题，叫做全称命题．‎ 全称命题“对M中任意一个x，都有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．‎ ‎(2) 存在量词与存在性命题 短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃x”表示“存在x”．‎ 含有存在量词的命题，叫做存在性命题．‎ 存在性命题“M中存在一个x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．‎ ‎5. 含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ‎∀x∈M，p(x)‎ ‎∃x∈M，綈p(x)‎ ‎∃x∈M，p(x)‎ ‎∀x∈M，綈p(x)‎ ‎[备课札记]‎ ‎,　　　　　　　　　1　四种命题及其相互关系)‎ ‎,　　　　　1)　(1) 命题“若a＞b，则‎2a＞2b－‎1”‎的否命题为______________；‎ ‎(2) (2018·溧阳中学摸底)命题“∃x<0，有x2>‎0”‎的否定是________________．‎ ‎(3) 命题“若x2＋x－m＝0没有实根，则m≤‎0”‎是________命题．(选填“真”或“假”)‎ 答案：(1) 若a≤b，则‎2a≤2b－1　(2) ∀x<0，有x2≤0　(3) 真 解析：(3) 很可能许多同学会认为它是假命题(原因m＝0时显然方程有根)，其实不然，由x2＋x－m＝0没有实根可推得m<－，而是{m|m≤0}的真子集，由m<－可推得m≤0，故原命题为真．其实，用逆否命题很容易判断它是真命题．‎ ‎【精要点评】 本题考查了命题间的关系，由原命题写出其否命题、逆否命题．原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．‎ 变式训练 下列命题中不是真命题的是__________．(填序号)‎ ‎① “若ab＝0，则a＝0或b＝‎0”‎的逆命题；‎ ‎② “若x2＋y2≠0，则x, y不全为零”的否命题；‎ ‎③ “∃x∈R，使x2＋1>3x”的否定；‎ ‎④ “若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．‎ 答案：③‎ 解析：①中命题的逆命题为若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题，故①正确；②中命题的否命题为若x2＋y2＝0，则x，y全为零，为真命题，故②正确；③中命题的否定为∀x∈R，使x2－3x＋1≤0 ，因为Δ＝(－3)2－4＝5>0，故③错误；④中命题x2＋x－m＝0有实根⇔Δ＝1＋‎4m≥0⇒m≥－⇒若m>0，则x2＋x－m＝0有实根为真命题⇒其逆否命题也为真命题，故④正确．故填③.‎ 命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是____________________________________．‎ 答案：若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数 解析：由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”.,　　　　　　　　　2　充分条件和必要条件)‎ ‎●典型示例 ‎,　　　　　2)　已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．p：x∈A，q：x∈B，并且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【思维导图】 对集合进行化简→将条件间的关系转化为集合间的包含关系→利用集合间的关系列出关于m的不等式→求出实数m的范围 ‎【规范解答】 解： 化简集合A，由y＝x2－x＋1配方得y＝＋.‎ ‎∵ x∈，∴ ymin＝，ymax＝2.∴ y∈.∴ A＝.‎ 化简集合B，由x＋m2≥1，得x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．‎ ‎∵ 命题p是命题q的充分条件，∴ A⊆B.∴ 1－m2≤，解得m≥或m≤－.‎ ‎∴ 实数m的取值范围是∪.‎ ‎【精要点评】 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．‎ ‎●总结归纳 充要关系的几种判断方法 ‎(1) 定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．‎ ‎(2) 等价法：即利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．‎ ‎(3) 利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．‎ ‎●题组练透 ‎1. “m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的______________(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．‎ 答案：充分不必要 解析：x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－‎4m≥0，即m≤.‎ ‎2. 已知p：x≥ ，q：(x＋1)(2－x)＜0，如果p是q的充分不必要条件，则 的取值范围是____________．‎ 答案：(2，＋∞)‎ 解析：由q：(x＋1)(2－x)＜0，得x＜－1或x＞2，又p是q的充分不必要条件，所以 ＞2，即实数 的取值范围是(2，＋∞)．‎ ‎3. 设n∈N ，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________．‎ 答案：3或4‎ 解析：已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N ，逐个分析，当n＝1，2时，方程没有整数根；而当n＝3时，方程有整数根1，3；当n＝4时，方程有整数根2.‎ ‎4. 若命题p：∃x∈R，使x2＋ax＋1＜0，则綈p：__________________．‎ 答案：∀x∈R，使x2＋ax＋1≥0‎ 解析：存在性命题的否定需要将存在量词∃改为全称量词∀，并且将命题的结论进行否定．所以命题“∃x∈R，使x2＋ax＋1＜‎0”‎的否定是“∀x∈R，使x2＋ax＋1≥‎0”‎．‎ ‎,　　　　　　　　　3　逻辑联结词)‎ ‎,　　　　　3)　已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是____________．　‎ 答案：[2，＋∞)‎ 解析：依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，mx2＋1>0恒成立，则有m≥0；当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.‎ 变式训练 已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝‎0”‎．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是____________．‎ 答案：[e，4]‎ 解析：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－‎4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.‎ 已知命题p：|x2－x|≥6，q：x∈ ，若“p∧q”与“綈q”都是假命题，求x的值．‎ 解：∵ 綈q假，∴ q真．又p∧q假，∴ p假．‎ ‎∴ 即∴ ‎∴ x＝－1，0，1，2.‎ ‎,　　　　　　　　　4　全称命题与存在性命题)‎ ‎,　　　　　4)　已知命题p：“∀x∈R，∃m∈R，使4x－2x＋1＋m＝‎0”‎．若命题綈p是假命题，则实数m的取值范围是________．‎ 答案：(－∞，1]‎ 解析：命题綈p是假命题，即命题p是真命题，由4x－2x＋1＋m＝0得m＝－(4x－2x＋1)，令f(x)＝－(4x－2x＋1)，由于f(x)＝－(2x－1)2＋1，所以当x∈R时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1.‎ 若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<‎0”‎是假命题，则实数m的取值范围是________．‎ 答案：[－4，0]‎ 解析：“∃x∈R，有x2－mx－m<‎0”‎是假命题，则“∀x∈R，有x2－mx－m≥‎0”‎是真命题，即Δ＝m2＋‎4m≤0，∴ －4≤m≤0.‎ ‎1. 已知命题p：∃x∈R，使ax2＋2x＋1<0.当綈p为真命题时，实数a的取值范围是____________．‎ 答案：{a|a≥1}‎ 解析：綈p：∀x∈R，使ax2＋2x＋1≥0.若此命题为真命题，则即a≥1，从而所求a的取值范围是{a|a≥1}．‎ ‎2. (2016·全国Ⅰ卷)命题“∃x∈R，2x2－3ax＋9<‎0”‎为假命题，则实数a的取值范围是____________．‎ 答案：[－2，2]‎ 解析：因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R，2x2－3ax＋9≥‎0”‎为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝‎9a2－4×2×9≤0，即－2≤a≤2.‎ ‎3. (2018·衡水中学周测)设p：≤0，q：x2－(‎2a＋1)x＋a(a＋1)<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．‎ 答案： 解析：因为p：≤x<1，q：a2x；命题q：∃x∈(－∞，0)，3x>2x，则下列命题为真命题的是________．(填序号)‎ ‎① p∧q；② p∧(綈q)；③ (綈p)∧q；④ (綈p)∧(綈q)．‎ 答案：②‎ 解析：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，所以命题p为真命题；∀x∈(－∞，0)，3x<2x，所以命题q为假命题，因此p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)为假命题，p∧(綈q)为真命题，填②.‎ 点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可．‎ ‎5. (2017·溧阳中学月考)已知函数f(x)＝＋ex，则x1＋x2>0是f(x1‎ ‎)＋f(x2)>f(－x1)＋f(－x2)的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)‎ 答案：充要 解析：当x>0时， y＝＝1－，易知y＝在(0，＋∞)上单调递增，又y＝是奇函数，∴ 函数f(x)＝＋ex在(－∞，＋∞)上为单调增函数．‎ 先证充分性：‎ ‎∵ x1＋x2>0，∴ x1>－x2，又f(x)＝＋ex在(－∞，＋∞)上为单调增函数，∴ f(x1)>f(－x2)，同理：f(x2)>f(－x1)，故f(x1)＋f(x2)>f(－x1)＋f(－x2)．充分性证毕．‎ 再证必要性：‎ 记g(x)＝f(x)－f(－x)，由f(x)＝＋ex在(－∞，＋∞)上单调递增，可知f(－x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴ g(x)＝f(x)－f(－x)在(－∞，＋∞)上单调递增．‎ 由f(x1)＋f(x2)>f(－x1)＋f(－x2)，可得f(x1)－f(－x1)>f(－x2)－f(x2)，即g(x1)>g(－x2)，‎ ‎∴ x1>－x2，x1＋x2>0.必要性证毕．‎ ‎1. “b＝c＝‎0”‎是“二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点”的________条件．‎ 答案：充分不必要 解析：若b＝c＝0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c＝ax2经过原点；若二次函数y＝ax2＋bx＋c过原点，则c＝0.‎ ‎2. 已知命题p：x2－5x＋6≥0；命题q：00，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．‎ 答案：[3，8)‎ 解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3；又p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.‎ ‎1. 在判断四个命题间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性与等价性，判断四种命题真假的关键是熟悉四种命题的概念与互为逆否命题是等价的，即“原命题与逆否命题同真同假，‎ 逆命题与否命题同真同假”，而互逆命题、互否命题是不等价的，当一个命题直接判断不易进行时，通常可转化为判断其等价命题的真假；而判断一个命题为假命题只需举出反例即可．‎ ‎2. 充要条件的三种判断方法 ‎(1) 定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；‎ ‎(2) 集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；‎ ‎(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．‎ ‎3. 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：‎ ‎(1) 把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；‎ ‎(2) 要注意区间端点值的检验．‎ ‎4. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1) p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真即真；‎ ‎(2) p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；‎ ‎(3) 綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．‎ ‎5. 要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；否定的规律是“改量词，否结论”．判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可