【数学】2019届一轮复习人教B版n次独立重复试验与二项分布学案 23页

第8讲　n次独立重复试验与二项分布 板块一　知识梳理·自主学习 ‎ [必备知识]‎ 考点1　条件概率及其性质 条件概率的定义 条件概率的性质 一般地，设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 ‎(1)0≤P(B|A)≤1‎ ‎(2)若B，C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)‎ 考点2　事件的相互独立 ‎1．设A、B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．‎ ‎2．如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．‎ 考点3　独立重复试验与二项分布 ‎1．独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，即若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．‎ ‎2．二项分布 在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．A，B中至少有一个发生的事件为A∪B.‎ ‎2．A，B都发生的事件为AB.‎ ‎3．A，B都不发生的事件为.‎ ‎4．A，B恰有一个发生的事件为(A)∪(B)．‎ ‎5．A，B至多一个发生的事件为(A)∪(B)∪()．‎ ‎[考点自测]‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(　　)‎ ‎(2)相互独立事件就是互斥事件．(　　)‎ ‎(3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　)‎ ‎(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　　)‎ ‎(5)袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是0.5.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√‎ ‎2．在4次独立重复试验中事件出现的概率相同．若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　A 解析　A至少发生一次的概率为，事件A都不发生的概率为1－＝＝4，所以A在一次试验中出现的概率为1－＝.‎ ‎3．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　)‎ A. B.3× C.× D．C×3× 答案　B 解析　由题意知，第4次取球后停止是当且仅当前3次取的球是黑球，第4次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为3×.‎ ‎4．[课本改编]由0,1组成的三位编号中，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则P(A|B)＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　A 解析　因为第一位数字可为0或1，所以第一位数字为0的概率P(B)＝，第一位数字为0且第二位数字也是0，即事件A，B同时发生的概率P(AB)＝×＝，所以P(A|B)＝＝＝.‎ ‎5．[2018·长春模拟]将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为________．‎ 答案　4‎ 解析　由题意，1－n≥，∴n≥4，∴n的最小值为4.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　条件概率 例　1　[2018·大庆模拟]从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　B 解析　P(A)＝＝，P(B)＝＝，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.‎ ‎　若将本例1中的事件B：“取到的2个数均为偶数”改为“取到的2个数均为奇数”，则结果如何？‎ 解　P(A)＝＝，‎ P(B)＝＝，又A⊇B，则P(AB)＝P(B)＝，所以P(B|A)＝＝＝.‎ ‎　本例1条件改为：从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，事件A为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是奇数”，求P(B|A)的值．‎ 解　从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数，有A种方法；其中第一次取到的是奇数，有AA种方法；第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有AA种方法．‎ 则P(A)＝＝，P(AB)＝＝，‎ ‎∴P(B|A)＝＝＝.‎ 触类旁通 条件概率的求解方法 ‎(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝.注意：事件A与事件B有时是相互独立事件，有时不是相互独立事件，要弄清P(AB)的求法．‎ ‎(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝.‎ ‎【变式训练1】　(1)在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．‎ 答案　 解析　解法一：设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝，‎ 所以P(B|A)＝＝＝.‎ 解法二：第一次取到不合格品后还剩余99件产品，其中有4件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为.‎ ‎(2)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8‎ ‎，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．‎ 解　设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为事件AB(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为 P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，‎ 由P(B|A)＝，得 P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.‎ 故这粒种子成长为幼苗的概率为0.72.‎ 考向　相互独立事件的概率 例2　[2017·天津高考]从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.‎ ‎(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ 解　(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)‎ ‎＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ 触类旁通 相互独立事件的求解方法 ‎(1)当从意义上不易判定两事件是否相互独立时，可运用公式P(AB)＝P(A)P(B)计算判定．求相互独立事件同时发生的概率时，要搞清事件是否相互独立．要能把复杂事件分解为若干简单事件，同时注意运用对立事件，把问题简化．‎ ‎(2)在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．若能把相关事件正确地表示出来，同时注意使用逆向思维方法，常常能使问题的解答变得简便．‎ ‎【变式训练2】　某中学为丰富教职工生活，国庆节举办教职工趣味投篮比赛，有A，B两个定点投篮位置，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．规则是：每人投篮三次按先A后B再A的顺序各投篮一次，教师甲在A和B点投中的概率分别是和，且在A，B两点投中与否相互独立．‎ ‎(1)若教师甲投篮三次，求教师甲投篮得分X的分布列；‎ ‎(2)若教师乙与教师甲在A，B投中的概率相同，两人按规则各投三次，求甲胜乙的概率．‎ 解　(1)根据题意知X的可能取值为0,2,3,4,5,7，‎ P(X＝0)＝2×＝，‎ P(X＝2)＝C×××＝，‎ P(X＝3)＝××＝，‎ P(X＝4)＝××＝，‎ P(X＝5)＝C×××＝，‎ P(X＝7)＝××＝，‎ ‎∴教师甲投篮得分X的分布列为 X ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ P ‎(2)教师甲胜教师乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五种情形．这五种情形之间彼此互斥，因此，所求事件的概率为P＝×＋×＋×＋×＋×＝.‎ 考向　独立重复试验与二项分布 例　3　[2015·湖南高考]某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．‎ ‎(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率；‎ ‎(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列．‎ 解　(1)记事件A1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}，B1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C＝{顾客抽奖1次能获奖}．‎ 由题意，A1与A2相互独立，A1与A2互斥，B1与B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1＋A2，C＝B1＋B2.因为P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝×＝，P(B2)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝P(A1)P()＋P()P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)＝×＋×＝.故所求概率为P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝‎ eq f(1,5)＋＝.‎ ‎(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验，由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，所以 X～B.于是P(X＝0)＝C03＝，‎ P(X＝1)＝C12＝.‎ P(X＝2)＝C21＝.‎ P(X＝3)＝C30＝.‎ 故X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 触类旁通 求解独立重复试验概率时应注意的问题 ‎(1)概率模型是否满足公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件：①在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；②n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；③该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率．‎ ‎(2)独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此)，就像对立事件是互斥事件的特例一样，只要有“恰好”字样的题用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”等字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样．‎ ‎【变式训练3】　[2018·湖南益阳调研]某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂．现随机抽取这两种产品各60‎ 件进行检测，检测结果统计如下：‎ 得分 ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100]‎ 甲种产品的件数 ‎5‎ ‎10‎ ‎34‎ ‎11‎ 乙种产品的件数 ‎8‎ ‎12‎ ‎31‎ ‎9‎ ‎(1)试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；‎ ‎(2)生产1件甲种产品，若是合格品，可盈利100元，若是不合格品，则亏损20元；生产1件乙种产品，若是合格品，可盈利90元，若是不合格品，则亏损15元．在(1)的前提下：‎ ‎①记X为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X的分布列；‎ ‎②求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率．‎ 解　(1)甲种产品为合格品的概率约为＝，‎ 乙种产品为合格品的概率约为＝.‎ ‎(2)①随机变量X的所有可能取值为190,85,70，－35，‎ 且P(X＝190)＝×＝，‎ P(X＝85)＝×＝，‎ P(X＝70)＝×＝，‎ P(X＝－35)＝×＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎190‎ ‎85‎ ‎70‎ ‎－35‎ P ‎②设生产的5件乙种产品中合格品有n件，‎ 则不合格品有(5－n)件，‎ 依题意得，90n－15(5－n)≥300，‎ 解得n≥，又因为0≤n≤5，且n为整数，所以n＝4或n＝5，‎ 设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A，则P(A)＝C4＋5＝.‎ 核心规律 理解二项分布的注意事项 ‎(1)“恰好发生k次”与“有指定的k次发生”的不同：恰好发生k次的概率为Pn(k)＝CPk(1－P)n－k，有指定的k次发生的概率为P＝Pk(1－P)n－k.‎ ‎(2)Pn(k)＝CPk(1－P)n－k恰好是[(1－P)＋P]n的第k＋1项Tk＋1＝C(1－P)n－kPk.‎ 满分策略 一个实际问题中往往涉及多个事件，正确理解这些事件之间的相互关系是解决问题的关键．一般的思路是先把所要解决的随机事件分成若干个互斥事件的和，再把这些互斥事件中的每一个事件分成若干个相互独立事件的乘积，把所要求的随机事件的概率计算转化为已知的一些事件的概率之积、之和的计算.‎ 板块三　启智培优·破译高考 易错警示系列16——对二项分布的特点把握不准致误 ‎[2018·安阳模拟]一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.‎ ‎(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；‎ ‎(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的分布列．‎ 错因分析　本题易出现的错误：由于这名学生在各个交通岗遇到红灯的事件相互独立，可以利用二项分布解决，二项分布模型的建立是易错点；另外，对“首次停车前经过的路口数Y”理解不当．‎ 解　(1)将通过每个交通岗看作一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，‎ 故X～B.‎ 所以X的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎(2)由于Y表示这名学生在首次停车前经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k＋1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算．‎ P(Y＝k)＝k·(k＝0,1,2,3,4,5)，‎ 而{Y＝6}表示一路没有遇上红灯．‎ 故其概率为P(Y＝6)＝6，‎ 因此Y的分布列为 Y ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P 答题启示　(1)判断某事件是否是独立重复试验，关键看两点：①在同样的条件下重复，相互独立进行；②试验结果要么发生，要么不发生.‎ (2)判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：①是否为n次独立重复试验；②随机变量是否为这n次独立重复试验中某事件发生的次数.‎ 跟踪训练 为了检验某大型乒乓球赛男子单打参赛队员的训练成果，某校乒乓球队举行了热身赛，热身赛采取7局4胜制(即一场比赛先胜4局者为胜)的规则．在队员甲与乙的比赛中，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．‎ ‎(1)求甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率；‎ ‎(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和数学期望．‎ 解　(1)由题意得，甲在5局以内(含5局)赢得比赛的概率P＝4＋C4×＝.‎ ‎(2)由题意知，X的所有可能取值为4,5,6,7，‎ 且P(X＝4)＝4＋4＝，‎ P(X＝5)＝C4×＋C××4＝＝，‎ P(X＝6)＝C4×2＋C2×4＝，‎ P(X＝7)＝C4×3＋C3×4＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ P E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＝.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎ [A级　基础达标]‎ ‎1．[2018·广州模拟]甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为(　　)‎ A．0.12 B．0.42 ‎ C．0.46 D．0.88‎ 答案　D 解析　因为甲、乙两人是否被录取相互独立，又因为所求事件的对立事件为“两人均未被录取”，由对立事件和相互独立事件概率公式，知P＝1－(1－0.6)(1－0.7)＝1－0.12＝0.88.‎ ‎2．[2018·海南模拟]某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　)‎ A．0.8 B．0.75 ‎ C．0.6 D．0.45‎ 答案　A 解析　根据条件概率公式，直接代入，可求得随后一天的空气质量为优良的概率．已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P＝＝0.8.‎ ‎3．如图所示，用K，A1，A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1，A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K，A1，A2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概率为(　　)‎ A．0.960 B．0.864 ‎ C．0.720 D．0.576‎ 答案　B 解析　A1，A2不能同时工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.‎ ‎4．[2018·厦门模拟]甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　A 解析　第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P＝C2××＝.‎ ‎5．[2015·全国卷Ⅰ]投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为(　　)‎ A．0.648 B．0.432 ‎ C．0.36 D．0.312‎ 答案　A 解析　3次投篮投中2次的概率为P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P(k＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.‎ ‎6．[2018·湖南模拟]如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 ‎(1)P(A)＝________；‎ ‎(2)P(B|A)＝________.‎ 答案　(1)　(2) 解析　本题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为.‎ P(A)＝，P(AB)＝＝，‎ ‎∴P(B|A)＝＝＝.‎ ‎7．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否出现故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机才可成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是________．‎ 答案　 解析　4引擎飞机成功飞行的概率为Cp3(1－p)＋p4,2引擎飞机成功飞行的概率为p2，‎ 要使Cp3(1－p)＋p4>p2，必有