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- 2021-06-16 发布
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三角形不等式的应用
根据两点之间线段最短导出了三角形任意两边之和大于第三边，我们把这个关系叫做三角形不等式.这一定理在证明一些结构特别的不等式中有广泛应用.下面我们举几个例子来说明这个定理的应用，并探究命题者是如何编拟这些题目的.
类型一：证明形如型的不等式
例1、已知为正数，求证：
证明:作角∠，∠，则∠，
设，由余弦定理：
又所以原不等式成立.
例2、已知为正数，求证：
证明:在空间直角坐标系中，取，
则
又所以原不等式成立.
类型二：证明形如型的不等式
例3、已知为正数，求证：
证明：如右图，以为边作正方形，则
类型三：证明形如型的不等式
例4、设求证：
证明：左边即表示动点到四个定点的距离之和.
另由题设知，在边长为的正方形的内部.
由知原不等式成立.
应当注意，有些不等式从表面上看很难用三角形不等式来证明，似乎只能用代数方法证明，但是如果仔细分析，也可能用上三角形不等式，一般说来，用三角形不等式证明要比代数方法简单的多，但是其构造的难度也很大，需要一些很技巧的变形，例如配方变形法，凑两点间距离公式等.
例5、已知正数满足求证：
分析：用代数法可以使用分析法，并随时利用这个条件进行化简.
证明：要证
只要证
即证
即证
即证
注意到即证
即证
即证
即证
而故成立.所以原不等式成立.
如果用几何法，开始要用消元法，中间利用两点间距离公式配凑，最后也用到了三角形不等式：
证明：左边
设，，，则
，关于轴的对称点为，
由对称及三角形不等式知，当为与轴交点时取等号.
即原不等式成立
比较两种解法，可以看出利用三角形不等式证明运算量较小，但是思考的难度是很大的.
但是，我们仔细思考可以发现，编拟这些题目时，命题者大都是从几何的角度入手.因此，我们在这里研究一下几何的证明方法，对于走近命题人的思维是很有好处的，希望同学们在解题过程中多进行一些数形结合方面的思考.
下面结合图形编一个与例1类似的题目：
如右图，在内取一点，使，，，则，，
，由图可知，于是可以改编如下题目：
已知为正数，求证：.
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