【数学】2019届一轮复习人教A版10-7　离散型随机变量及其分布列 29页

‎10.7　离散型随机变量及其分布列 ‎[知识梳理]‎ ‎1．离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．‎ ‎2．离散型随机变量的分布列及性质 ‎(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．‎ ‎(2)离散型随机变量的分布列的性质 ‎①pi≥0(i＝1,2，…，n)；‎ ‎②.‎ ‎3．常见离散型随机变量的分布列 ‎(1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p ‎，其中p＝P(X＝1)称为成功概率．‎ ‎(2)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1．概念思辨 ‎(1)随机试验的结果与随机变量是一种映射关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应. (　　)‎ ‎(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　)‎ ‎(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．(　　)‎ ‎(4)若随机变量X的分布列由下表给出，‎ X ‎2‎ ‎5‎ P ‎0.3‎ ‎0.7‎ 则它服从两点分布．(　　)‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．教材衍化 ‎(1)(选修A2－3P‎49A组T5)设离散型随机变量ξ的分布列如下：‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 则P＝________.‎ 答案　 解析　P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＋＝.‎ ‎(2)(选修A2－3P49T3)从一副52张(去掉两张王)的扑克牌中任取5张，其中黑桃张数的概率分布公式是________，黑桃不多于1张的概率是________．‎ 答案　P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3,4,5)　0.633‎ 解析　P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3,4,5)；‎ P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)≈0.222＋0.411＝0.633.‎ ‎3．小题热身 ‎(1)袋中有除标号不同外其余均相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能值的个数是(　　)‎ A．25 B．‎10 C．9 D．5‎ 答案　C 解析　第一次可取号码为1,2,3,4,5中的任意一个，由于是有放回地抽取，第二次也可取号码为1,2,3,4,5中的任何一个，两个球的号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.故选C.‎ ‎(2)(2018·安康质检)设随机变量X的概率分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P m 则P(|X－3|＝1)＝________.‎ 答案　 解析　由＋m＋＋＝1，解得m＝，‎ P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.‎ 题型1　离散型随机变量分布列的性质 　　设随机变量ξ的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．‎ ‎(1)求常数a的值；‎ ‎(2)求P；‎ ‎(3)求P.‎ 解　由已知分布列为：‎ ξ P a ‎2a ‎3a ‎4a ‎5a ‎(1)由a＋‎2a＋‎3a＋‎4a＋‎5a＝1，得a＝.‎ ‎(2)P＝P＋P＋P(ξ＝1)＝＋＋＝，‎ 或P＝1－P＝1－＝.‎ ‎(3)因为<ξ<只有ξ＝，，满足，‎ 故P ‎＝P＋P＋P ‎＝＋＋＝.‎ ‎[条件探究1]　若将典例条件“P＝ak，k＝1,2,3,4,‎5”‎变为“P(ξ＝i)＝ai，i＝1,2,‎3”‎，求a的值．‎ 解　∵P(ξ＝i)＝ai(i＝1,2,3)‎ ‎∴a＋a＋a＝1，得a＝.‎ ‎[条件探究2]　若将典例条件变为“P(ξ＝n)＝(n＝1,2,3,4)．”求P的值．‎ 解　∵P(ξ＝n)＝.∴＋＋＋＝1，‎ ‎∴a＝.P＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝.‎ 方法技巧 ‎1．分布列性质的两个作用 ‎(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．‎ ‎(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．‎ 提醒：求分布列中的参数值时，要保证每个概率值均为非负数．‎ ‎2．随机变量X的线性组合的概率及分布列问题 ‎(1)随机变量X的线性组合η＝aX＋b(a，b∈R)是随机变量．‎ ‎(2)求η＝aX＋b的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．‎ 冲关针对训练 ‎1．随机变量X的分布列如下：‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.‎ 答案　 解析　a、b、c成等差数列，2b＝a＋c，又a＋b＋c＝1，‎ ‎∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.‎ ‎2．设离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ m 求：(1)2X＋1的分布列；‎ ‎(2)|X－1|的分布列．‎ 解　由分布列的性质知：‎ ‎0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.‎ 首先列表为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎2X＋1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎|X－1|‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 从而由上表得两个分布列为 ‎(1)2X＋1的分布列 ‎2X＋1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎9‎ P ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎(2)|X－1|的分布列 ‎|X－1|‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ 题型2　超几何分布 　　(2017·山东高考)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．‎ ‎(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；‎ ‎(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望E(X)．‎ 解　(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，‎ 则P(M)＝＝.‎ ‎(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，则 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，‎ P(X＝4)＝＝.‎ 因此X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P X的数学期望是 E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋‎ ‎4×P(X＝4)＝0＋1×＋2×＋3×＋4×＝2.‎ 方法技巧 ‎1．超几何分布的两个特点 ‎(1)超几何分布是不放回抽样问题．‎ ‎(2)随机变量为抽到的某类个体的个数．‎ ‎2．超几何分布的应用条件及实质 ‎(1)条件：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数ξ的概率分布．‎ ‎(2)实质：超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型．‎ 冲关针对训练 ‎(2015·重庆高考)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．‎ ‎(1)求三种粽子各取到1个的概率；‎ ‎(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．‎ 解　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝.‎ ‎(2)X的所有可能值为0,1,2，且 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 综上知，X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 故E(X)＝0×＋1×＋2×＝(个).‎ 题型3　求离散型随机变量的分布列 角度1　与互斥事件有关的分布列问题 　　(2015·安徽高考)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．‎ ‎(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；‎ ‎(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．‎ 解　(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P(A)＝＝.‎ ‎(2)X的可能取值为200,300,400.‎ P(X＝200)＝＝，‎ P(X＝300)＝＝，‎ P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.‎ 故X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ P E(X)＝200×＋300×＋400×＝350(元)．‎ 角度2　与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列问题　　(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.‎ ‎(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．‎ 解　(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＋××＋××＝，‎ P(X＝2)＝××＋××＋××＝，P(X＝3)＝××＝.‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)‎ ‎＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ 方法技巧 离散型随机变量分布列的求解步骤 ‎1．明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．‎ ‎2．求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．‎ ‎3．画表格：按规范要求形式写出分布列．‎ ‎4．做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．‎ 提醒：求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．‎ 冲关针对训练 乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为 ‎.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：‎ ‎(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；‎ ‎(2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．‎ 解　(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，‎ 则P(A3)＝，P(A1)＝，P(A0)＝1－－＝.‎ 记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)，‎ 则P(B3)＝，P(B1)＝，P(B0)＝1－－＝.‎ 记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”．‎ 由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，‎ 由事件的独立性和互斥性，‎ P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)‎ ‎＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)‎ ‎＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)P(B1)＋P(A0)P(B3)‎ ‎＝×＋×＋×＋×＝，‎ 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.‎ ‎(2)由题意，随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6，‎ 由事件的独立性和互斥性，得 P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝×＝，‎ P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)＝×＋×＝，‎ P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝×＝，‎ P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)＝×＋×＝，‎ P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)＝×＋×＝，‎ P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝×＝.‎ 可得随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ P 所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.‎ ‎1．(2016·天津高考)某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．‎ ‎(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为‎4”‎，求事件A发生的概率；‎ ‎(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ 解　(1)由已知，有P(A)＝＝.‎ 所以，事件A发生的概率为.‎ ‎(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.‎ ‎2．(2018·山西八校联考)某大型汽车城为了了解销售单价(单位：万元)在[8,20]内的轿车的销售情况，从2016年上半年已经销售的轿车中随机抽取100辆，获得的所有样本数据按照[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．‎ 已知样本中销售单价在[14,16)内的轿车数是销售单价在[18,20]内的轿车数的2倍．‎ ‎(1)求出x与y，再根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；‎ ‎(2)若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆，求至少有1辆轿车的销售单价在[14,16)内的概率；‎ ‎(3)用分层抽样的方法从销售单价在[8,20]内的轿车中共抽取20辆，再从抽出的20辆轿车中随机抽取2辆，X表示这2辆轿车中销售单价在[10,12)内的轿车的数量，求X的分布列及数学期望E(X)．‎ 解　(1)样本中轿车的销售单价在[14,16)内的轿车数是x×2×100＝200x，样本中轿车的销售单价在[18,20]内的轿车数是y×2×100＝200y，‎ 依题意，有200x＝2×200y，即x＝2y，①‎ 根据频率分布直方图可知(0.1×2＋0.025＋x＋0.05＋y)×2＝1，②‎ 由①②得x＝0.15，y＝0.075.‎ 根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数为×0.025×2＋×0.05×2＋×0.1×2＋×0.15×2＋×0.1×2＋×0.075×2＝0.45＋1.1＋2.6＋4.5＋3.4＋‎ ‎2.85＝14.9(万元)．‎ ‎(2)若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆，则至少有1辆轿车的销售单价在[14,16)内的概率为1－C(0.3)0×(0.7)3＝1－0.343＝0.657.‎ ‎(3)因为销售单价在[8,10)，[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]的轿车的分层抽样比为1∶2∶4∶6∶4∶3，故在抽取的20辆轿车中，销售单价在[10,12)内的轿车有20×＝2(辆)，‎ X的所有可能取值为0,1,2，‎ 则P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝＝，‎ P(X＝2)＝＝.‎ 所以X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎ ‎[重点保分 两级优选练]‎ A级 一、选择题 ‎1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于(　　)‎ A．0 B. C. D. 答案　C 解析　P(X＝1)＝2P(X＝0)，且P(X＝1)＋P(X＝0)＝1.所以P(X＝0)＝.故选C.‎ ‎2．若某一随机变量X的概率分布如下表，且m＋2n＝1.2，则m－的值为(　　)‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.1‎ m n ‎0.1‎ A．－0.2 B．‎0.2 C．0.1 D．－0.1‎ 答案　B 解析　由m＋n＋0.2＝1，又m＋2n＝1.2，可得m＝n＝0.4，m－＝0.2.故选B.‎ ‎3．袋中有大小相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为(　　)‎ A．1,2，…，6 B．1,2，…，7‎ C．1,2，…，11 D．1,2,3，…‎ 答案　B 解析　除白球外，其他的还有6个球，因此取到白球时取球次数最少为1次，最多为7次．故选B.‎ ‎4．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P ‎0.5‎ ‎1－2q q2‎ 则q等于(　　)‎ A．1 B．1± C．1－ D．1＋ 答案　C 解析　由分布列的性质得 ⇒ ‎∴q＝1－，故选C.‎ ‎5．已知某一随机变量X的概率分布如下，且E(X)＝6.9，则a的值为(　　)‎ X ‎4‎ a ‎9‎ P m ‎0.2‎ ‎0.5‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ 答案　B 解析　因为在分布列中，各变量的概率之和为1，所以m＝1－(0.2＋0.5)＝0.3，由数学期望的计算公式，可得4×0.3＋a×0.2＋9×0.5＝6.9，a＝6，故选B.‎ ‎6．已知离散型随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.5‎ ‎1－2q q 则P(∈Z)＝(　　)‎ A．0.9 B．‎0.8 C．0.7 D．0.6‎ 答案　A 解析　由分布列性质得0.5＋1－2q＋q＝1，解得q＝0.3，‎ ‎∴P(∈Z)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.‎ ‎7．(2017·泰安模拟)若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1x2)－P(Xp2，‎ 故 解得 则小明语文考试达到优秀的概率为.‎ ‎(2)记小明三科的总得分为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6.‎ P(X＝0)＝××＝，‎ P(X＝1)＝××＝，‎ P(X＝2)＝××＝，‎ P(X＝3)＝××＋××＝，‎ P(X＝4)＝××＝，‎ P(X＝5)＝××＝，‎ P(X＝6)＝××＝.‎ 则X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.‎