【数学】2020届一轮复习人教B版绝对值不等式学案 13页

‎§2.5　绝对值不等式 最新考纲 考情考向分析 ‎1.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式．‎ ‎2.了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.‎ 绝对值不等式的解法，利用绝对值不等式求最值是考查的重点；高考中绝对值不等式和数列、函数的结合是常见题型，解答题居多，难度为中高档.‎ ‎1．绝对值三角不等式 ‎(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ 概念方法微思考 ‎|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式有哪些解法？各体现了什么数学思想？‎ 提示　(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎(2)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)|x＋2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．(　×　)‎ ‎(2)|x|>a的解集是{x|x>a或x<－a}．(　×　)‎ ‎(3)|a＋b|＝|a|＋|b|成立的条件是ab≥0.(　√　)‎ ‎(4)若ab<0，则|a＋b|<|a－b|.(　√　)‎ ‎(5)对一切x∈R，不等式|x－a|＋|x－b|>|a－b|恒成立．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P20T7]不等式3<|5－2x|≤9的解集为(　　)‎ A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]‎ C．(－2，－1]∪[4,7) D．[－2,1)∪(4,7]‎ 答案　D 解析　由题意得 即 解得不等式的解集为[－2,1)∪(4,7]．‎ ‎3．[P20T8]不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是(　　)‎ A．(－∞，4) B．(－∞，1)‎ C．(1,4) D．(1,5)‎ 答案　A 解析　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，‎ ‎∴－4<2，不等式恒成立，‎ ‎∴x≤1.‎ ‎②当15；‎ 当－2≤x<时，＜y＝－x＋3≤5；‎ 当x≥时，y＝3x＋1≥，‎ 故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.‎ 因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，‎ 所以≥a2＋a＋2.‎ 解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，‎ 故实数a的取值范围为.‎ 题型一　绝对值不等式的解法 ‎1．(2018·浙江嘉兴七校期中)不等式1≤|2x－1|＜2的解集为(　　)‎ A.∪ B. C.∪ D．(－∞，0]∪[1，＋∞)‎ 答案　C 解析　不等式等价于1≤2x－1<2或－2<2x－1≤－1，‎ 解得1≤x<或－＜x≤0.‎ ‎2．(2018·宁波北仑中学期中)若关于x的不等式|x－1|－|x－3|>a2－3a的解集为非空数集，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．12 D．a≤1或a≥2‎ 答案　B 解析　∵(|x－1|－|x－3|)max＝2，‎ ‎∴a2－3a<2，得0时，因为|x＋t2－2|＋|x＋t2＋2t－1|≥|x＋t2－2－(x＋t2＋2t－1)|＝2t＋1，要使原不等式无解，则需3t≤2t＋1，解得0时，|t－m|max＝m－4，即m－4＋m－1≤4，即m≤，不符合题意，‎ 综上m的取值范围是m≤.‎ 思维升华(1)恒成立问题可转化为函数的最值问题．‎ ‎(2)和绝对值有关的最值可以利用绝对值的性质进行改编或者化为分段函数解决．‎ ‎(3)和绝对值不等式有关的范围或最值问题，可利用绝对值的几何意义或绝对值三角不等式进行放缩．‎ ‎(4)利用特殊点的函数值可探求范围；若函数解析式中含有绝对值，也可化为分段函数．‎ 跟踪训练2(2016·浙江)已知a≥3，函数F(x)＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a ‎－2}，其中min{p，q}＝ ‎(1)求使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围；‎ ‎(2)①求F(x)的最小值m(a)；‎ ‎②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a)．‎ 解　(1)由于a≥3，故当x≤1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝x2＋2(a－1)(2－x)＞0，‎ 当x＞1时，(x2－2ax＋4a－2)－2|x－1|＝(x－2)(x－2a)．‎ 所以，使得等式F(x)＝x2－2ax＋4a－2成立的x的取值范围是[2,2a]．‎ ‎(2)①设函数f(x)＝2|x－1|，g(x)＝x2－2ax＋4a－2，则f(x)min＝f(1)＝0，g(x)min＝g(a)＝－a2＋4a－2，‎ 所以，由F(x)的定义知m(a)＝min，‎ 即m(a)＝ ‎②当0≤x≤2时，F(x)≤f(x)≤max＝2＝F(2)．‎ 当22，‎ 所以M(a)＝ ‎1．不等式|2x－1|<3的解集是(　　)‎ A．(1,2) B．(－1,2)‎ C．(－2，－1) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)‎ 答案　B 解析　|2x－1|<3⇔－3<2x－1<3⇔－11} D．{x|x<－1或x>1}‎ 答案　A 解析　方法一　原不等式即为|2x－1|<|x－2|，‎ ‎∴4x2－4x＋12(l>0)对任意的实数x都成立，则正数l的取值范围为(　　)‎ A．(0,2) B．(2，＋∞)‎ C．(0,2] D．[2，＋∞)‎ 答案　B 解析　因为|f(x)＋f(x＋l)－2|＋|f(x)－f(x＋l)|≥max{|2f(x)－2|，|2f(x＋l)－2|}，所以|2f(x)－2|>2或|2f(x＋l)－2|>2，即f(x)>2或f(x＋l)>2的解集为R，解f(x)>2得x<－或x>，当－≤x≤时，有f(x＋l)>2，解得x＋l<－或x＋l>，因为l>0，所以由数形结合知－＋l>，l>2.所以正数l的取值范围为(2，＋∞)．‎ ‎8．(2018·金华十校调研)若a，b，c∈R，且|a|≤1，|b|≤1，|c|≤1，则下列说法正确的是(　　)‎ A.≥ B.≥ C.≥ D．以上都不正确 答案　A 解析　由题意知，－1≤ab＋bc＋ca≤3，对于选项A，≥，≤，显然不等式成立，对a，b，c分别取特殊值，取a＝1，b＝－1，c＝0，排除选项B，取a＝－1，b＝0，c＝1，排除选项C，故选A.‎ ‎9．若关于x的不等式|x|＋|x＋a|0)的最小值为，则实数a＝________.‎ 答案　 解析　f(x)＝＋＋2x－2a ‎≥＋2x－2a＝＋2x－2a ‎＝＋2x－2a≥2－2a＝4－2a.‎ 当且仅当＝2x，即x＝1时，等号成立．‎ 由4－2a＝，解得a＝.‎ 经验证，当x＝1，a＝时，＋ ‎＝，‎ 即两处不等号取等条件相同．‎ ‎11．(2018·嘉兴市基础测试)当1≤x≤3时，|3a＋2b|－|a－2b|≤|a|对任意的实数a，b都成立，则实数m的取值范围是________．‎ 答案　 解析　当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，原问题可转化为当1≤x≤3时，x＋＋1≥对任意的实数a，b都成立，因为≤＝4，所以当1≤x≤3时，x＋≥3，即m≥x(3－x)恒成立．设f(x)＝x(3－x)(x∈[1,3])，易得f(x)max＝，所以只需m≥f(x)max，即m≥.综上，实数m的取值范围是.‎ ‎12．(2018·浙江十校联盟适应性考试)对任意的x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为________；若正实数x，y，z满足x2＋2y2＋z2＝1，则t＝xy＋yz＋xz的最大值是________．‎ 答案　3　 解析　由绝对值不等式的性质得|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥|(1－x)＋x|＋|(1－y)＋(1＋y)|＝3，‎ ‎1＝x2＋2y2＋z2＝x2＋y2＋y2＋z2＋x2＋z2≥2×xy＋2×yz＋2×xz，‎ 当且仅当x＝y＝z时等号成立，‎ ‎∴≤1×，‎ 即t＝xy＋yz＋xz的最大值为＝.‎ ‎13．(2018·金丽衢十二校模拟)设实数a，b，则“|a－b2|＋|b－a2|≤1”是“2＋2≤”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　2＋2≤⇔a2－a＋＋b2－b＋≤⇔a2－a＋b2－b≤1⇔b2－a＋a2－b≤1，令b2－a＝x，a2－b＝y，‎ ‎∵|x|＋|y|≥|x＋y|≥x＋y，‎ ‎∴|x|＋|y|≤1⇒x＋y≤1，‎ 而反之x＋y≤1⇏|x|＋|y|≤1，‎ 故是充分不必要条件，故选A.‎ ‎14．(2018·浙江六校协作体联考)已知函数f(x)＝x－1，若|f(x)－1|＋－a>0对任意的x∈R且x≠2恒成立，则实数a的取值范围为________；不等式|f(2x)|≤5－|f(2x－1)|的解集为__________．‎ 答案　(－∞，2)　 解析　因为|f(x)－1|＋－a>0对任意的x∈R且x≠2恒成立，所以|f(x)－1|＋>a对任意的x∈R且x≠2恒成立，令y＝|f(x)－1|＋，因为y＝|f(x)－1|＋＝|x－2|＋≥2，当且仅当|x－2|＝，即x＝1或x＝3时等号成立，所以实数a的取值范围为(－∞，2)．‎ 不等式|f(2x)|≤5－|f(2x－1)|等价于|2x－1|≤5－|2x－2|，等价于|2x－1|＋|2x－2|≤5，等价于或或 解得－≤x<或≤x≤1或10，若集合A＝{x∈Z||2x2－x－a－2|＋|2x2－x＋a－2|－2a＝0}中的元素有且仅有2个，则实数a的取值范围为______．‎ 答案　[1,2)‎ 解析　因为|2x2－x－a－2|＋|2x2－x＋a－2|≥|(2x2－x－a－2)－(2x2－x＋a－2)|＝2a，当且仅当－a≤2x2－x－2≤a时等号成立，所以集合A中有且仅有两个元素等价于不等式－a≤2x2－x－2≤a有且仅有两个整数解．‎ 因为函数f(x)＝2x2－x－2＝22－的图象关于直线x＝对称，又f(－2)＝8，f(－1)＝1，f(0)＝－2，f(1)＝－1，f(2)＝4，作出函数y＝f(x)的图象如图所示，由图知，要使－a≤2x2－x－2≤a有两个整数解，则1≤a<2.‎ ‎16．(2018·绍兴诸暨市期末考试)已知a，b∈R，f(x)＝|2＋ax＋b|，若对于任意的x∈[0,4]，f(x)≤恒成立，则a＋2b＝________.‎ 答案　－2‎ 解析　因为f(x)的几何意义为g(x)＝2，h(x)＝－ax－b图象上的点(x，g(x))，(x，h(x))的竖直距离．又由f(x)≤得－ax－b－≤2≤－ax－b＋对任意的x∈[0,4]恒成立，故g(x)＝2被夹在竖直距离为1的平行直线y＝h(x)±之间，如图，所以直线y＝－ax－b－过点(0,0)，(4,4)，即－a＝1，－b－＝0，从而a＋2b＝－2.‎