【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第43讲　空间向量及其运算学案 14页

第43讲　空间向量及其运算 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．‎ ‎2．会推导空间两点间的距离公式.‎ ‎2017·全国卷Ⅲ，16‎ ‎2016·山东卷，17‎ 空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题.‎ 分值：3分 ‎1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为__0__的向量 ‎0‎ 单位向量 长度(模)为__1__的向量 相等向量 方向__相同__且模__相等__的向量 a＝b 相反向量 方向__相反__且模__相等__的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相__平行或重合__的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个__平面__的向量 ‎2．空间向量中的有关定理 ‎(1)共线向量定理 空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ，使得__b＝λa__.‎ 推论　如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta.①‎ 其中a叫直线l的方向向量，t∈R，在l上取＝a，则①可化为＝＋t或＝__(1－t)＋t__.‎ ‎(2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝__x a＋y b__，其中x，y∈R，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间向量任意一点O，有＝__＋x＋y__或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__.‎ ‎(3)空间向量基本定理 如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝__λ1e1＋λ2e2＋λ3e3__，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫做这个空间的一个基底．‎ ‎3．空间向量的数量积及运算律 ‎(1)数量积及相关概念 ‎①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作__〈a，b〉__，其范围是__0≤〈a，b〉≤π__，若〈a，b〉＝，则称a与b__互相垂直__，记作a⊥b.‎ ‎②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则__|a||b|cos 〈a，b〉__叫做向量a，b的数量积，记作__a·b__，即a·b＝__|a||b|cos 〈a，b〉__.‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律：(λa)·b＝__λ(a·b)__；‎ ‎②交换律：a·b＝__b·a__；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝__a·b＋a·c__.‎ ‎4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b ‎__a1b1＋a2b2＋a3b3__‎ 共线 a＝λb(b≠0，b∈R)‎ ‎__a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__‎ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)‎ ‎__a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__‎ 模 ‎|a|‎ ‎____‎ 夹角 ‎〈a，b〉(a≠0，b≠0)‎ cos〈a，b〉＝ ‎1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．‎ ‎(1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　)‎ ‎(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　×　)‎ ‎(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　×　)‎ ‎(4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角(　×　)‎ ‎2．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，M为A‎1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　A　)‎ A．－a＋b＋c　　　　 B．a＋b＋c C．－a－b＋c　　　　 D．a－b＋c 解析 ＝＋＋＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.‎ ‎3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是(　A　)‎ A．和 B． C． D．或 解析 因为与向量a共线的单位向量是±，‎ 又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，‎ 所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4,5)＝±(－3，－4,5)，故选A．‎ ‎4．如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝__a＋b＋c__(用a，b，c表示)．‎ 解析 ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝a＋b＋c.‎ ‎5．已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为__1或－3__.‎ 解析 ∵|a|＝＝6，即x＝±4，‎ 又∵a⊥b，即a·b＝0，即4＋4y＋2x＝0，‎ 即或故x＋y＝1或x＋y＝－3.‎ 一　空间向量的线性运算 用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．‎ ‎【例1】 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量．‎ ‎(1)；(2)；(3)＋.‎ 解析 (1)∵P是C1D1的中点，‎ ‎∴＝＋＋＝a＋＋ ‎＝a＋c＋＝a＋c＋b.‎ ‎(2)∵N是BC的中点，‎ ‎∴＝＋＋＝－a＋b＋ ‎＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.‎ ‎(3)∵M是AA1的中点，‎ ‎∴＝＋＝＋＝－a＋ ‎＝a＋b＋c，又＝＋＝＋ ‎＝＋＝c＋a，‎ ‎∴＋＝＋＝a＋b＋c.‎ 二　共线定理、共面定理的应用 ‎(1)证明点共线的方法：‎ 证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A，B，C三点共线，即证明，共线，亦即证明＝λ(λ≠0)．‎ ‎(2)证明点共面的方法：‎ 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P，A，B，C四点共面，只要能证明＝x＋y或对空间任一点O，有＝＋x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．‎ ‎【例2】 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，‎ ‎(1)求证：E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)求证：BD∥平面EFGH；‎ ‎(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．‎ 证明 (1)如图，连接BG，‎ 则＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋＋＝＋.‎ 由共面向量定理的推论知：E，F，G，H四点共面．‎ ‎(2)因为＝－＝－＝(－)＝，所以EH∥BD．‎ 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.‎ ‎(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如图所示．‎ 由(2)知＝，同理＝，‎ 所以＝，即EHFG，所以四边形EFGH是平行四边形．‎ 所以EG，FH交于一点M且被M平分．‎ 故＝(＋)＝＋ ‎＝＋＝(＋＋＋)．‎ 三　空间向量数量积的应用 数量积的应用 ‎(1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角．‎ ‎(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．‎ ‎(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题．‎ ‎【例3】 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．‎ ‎(1)求证MN⊥AB，MN⊥CD；‎ ‎(2)求MN的长；‎ ‎(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．‎ 解析 (1)证明：设＝p，＝q，＝r.‎ 由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.‎ ＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，‎ ‎∴·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)‎ ‎＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.‎ ‎∴⊥，即MN⊥AB．同理可证MN⊥CD．‎ ‎(2)由(1)可知＝(q＋r－p)，‎ ‎∴||2＝(q＋r－p)2＝[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]‎ ‎＝＝×‎2a2＝.‎ ‎∴||＝a.∴MN的长为a.‎ ‎(3)设向量与的夹角为θ.‎ ‎∵＝(＋)＝(q＋r)，＝－＝q－p，‎ ‎∴·＝(q＋r)· ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 又∵||＝||＝a，∴·＝||||cos θ ‎＝a×a×cos θ＝.‎ ‎∴cos θ＝.∴向量与的夹角的余弦值为，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为 ‎.‎ ‎1．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则(　C　)‎ A．x＝1，y＝1　　　　 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－　　　　 D．x＝－，y＝ 解析 ∵a＝(2x,1,3)与b＝(1，－2y,9)共线，‎ ‎∴∴ ‎2．如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC上的点，且A1E＝2EB，CF＝2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为__EF∥平面A1B1CD__.‎ 解析 以D为原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，由A1E＝2EB，CF＝2AF，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，F，C(0,1,0)，‎ ‎∴＝，＝(0,1,0)，＝(－1,0，－1)，‎ 设n＝(x，y，z)为平面A1B1CD的法向量，则有n⊥，n⊥，‎ 故令x＝1，得z＝－1，即n＝(1,0，－1)，·n＝，‎ ‎∴⊥n，∴EF∥平面A1B1CD．‎ ‎3．三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.‎ 解析 ＝＋＝＋＝＋(－)‎ ‎＝＋＝－＋＋.‎ ＝＋＝－＋＋ ‎＝＋＋.‎ ‎4．(2018·湖南张家界模拟)如图所示，四棱柱ABCD－A1B‎1C1D1中，底面为平行四边形，‎ 以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.‎ ‎(1)求AC1的长；‎ ‎(2)求证：AC1⊥BD；‎ ‎(3)求BD1与AC夹角的余弦值．‎ 解析 (1)记＝a，＝b，1＝c，‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ‎∴a·b＝b·c＝c·a＝.‎ ‎||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)‎ ‎＝1＋1＋1＋2×＝6，‎ ‎∴||＝，即AC1的长为.‎ ‎(2)证明：∵＝a＋b＋c，＝b－a，‎ ‎∴·＝(a＋b＋c)(b－a)‎ ‎＝a·b＋|b|2＋b·c－|a|2－a·b－a·c ‎＝b·c－a·c＝|b|·|c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0.‎ ‎∴⊥，∴AC1⊥BD．‎ ‎(3)由题意知＝b＋c－a，＝a＋b，则||＝，||＝，‎ ·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.‎ ‎∴cos 〈，〉＝＝.∴AC与BD1夹角的余弦值为.‎ 易错点　空间向量概念不清致误 错因分析：将a，b同向和a∥b混淆，没有搞清a∥b的意义是a，b方向相同或相反．‎ ‎【例1】 已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为________.‎ 解析 由题意知a∥b，所以＝＝，‎ 即 把①代入②得x2＋x－2＝0，(x＋2)(x－1)＝0，‎ 解得x＝－2或x＝1，‎ 当时，b＝(－2，－4，－6)＝－‎2a，‎ 两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．‎ 当时，b＝(1,2,3)＝a，a与b同向，所以 答案 1,3‎ ‎【跟踪训练1】 (2018·湖北宜昌一中模拟)已知四边形ABCD满足：·>0，·>0，·>0，·>0，则该四边形为(　D　)‎ A．平行四边形　　 B．梯形 C．长方形　　 D．空间四边形 解析 由已知得·＜0，·＜0，·＜0，·＜0，由夹角的定义知∠B，∠C，∠D，∠A均为钝角，故A，B，C项不正确．‎ 课时达标　第43讲 ‎[解密考纲]空间向量及其应用的考查以解答题为主，多作为解答题的第二种解法(第一种解法为几何法，第二种解法为向量法)，难度中等．‎ 一、选择题 ‎1．点M(－8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是(　A　)‎ A．(－8，－6，－1)　　 B．(8，－6，－1)‎ C．(8，－6,1)　　 D．(－8，－6,1)‎ 解析 结合空间直角坐标中，点关于x轴对称的点的坐标特点知选项A正确．‎ ‎2．O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　B　)‎ A．一定不共面　　 B．一定共面 C．不一定共面　　 D．无法判断 解析 ∵＝＋＋，且＋＋＝1，‎ ‎∴A，B，C，P四点共面．‎ ‎3．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－‎2a，则x＝(　B　)‎ A．(0,3，－6)　　 B．(0,6，－20)‎ C．(0,6，－6)　　 D．(6,6，－6)‎ 解析 ∵b＝x－‎2a，∴x＝‎4a＋2b 即x＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)‎ ‎4．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝(　B　)‎ A．9　　 B．－9‎ C．－3　　 D．3‎ 解析 由题意知c＝xa＋yb，‎ 即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，‎ 所以解得λ＝－9.‎ ‎5．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　C　)‎ A．α∥β　　 B．α⊥β C．α，β相交但不垂直　　 D．以上均不正确 解析 由n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，∵n1和n2不平行，‎ ‎∴α与β不平行；又∵n1·n2＝－6－3－20＝－29≠0，∴α与β不垂直．‎ ‎6．平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，向量，，两两夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||＝(　A　)‎ A．5　　 B．6‎ C．4　　 D．8‎ 解析 由题可得，＝＋＋，‎ 故2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)‎ ‎＝1＋4＋9＋2(1×2＋1×3＋2×3)cos 60°＝25，故|AC1|＝5.‎ 二、填空题 ‎7．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为__(0，，)__.‎ 解析 依题意知，垂足Q为点P在平面yOz上的投影，则点Q的纵、竖坐标与点P的纵、竖坐标相等，横坐标为0.‎ ‎8．如图所示，在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示 ‎，则＝__＋＋__.‎ 解析 由题意知＝＋＝＋＝(＋)＋＝＋＋.‎ ‎9．已知点A(1,2,1)，B(－1,3,4)，D(1,1,1)，若＝2，则||＝____.‎ 解析 设P(x，y，z)，故＝(x－1，y－2，z－1)，＝(－1－x,3－y,4－z)，又＝2，则有解得∴P(－，，3)，‎ ‎∴||＝＝.‎ 三、解答题 ‎10．如图，在棱长为a的正方体OABC－O‎1A1B‎1C1中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.‎ ‎(1)写出点E，F的坐标；‎ ‎(2)求证：A‎1F⊥C1E；‎ ‎(3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋.‎ 解析 (1)E(a，x,0)，F(a－x，a,0)．‎ ‎(2)证明：∵A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，‎ ‎∴＝(－x，a，－a)，＝(a，x－a，－a)，‎ ‎∴·＝－ax＋a(x－a)＋a2＝0，‎ ‎∴⊥，∴A‎1F⊥C1E.‎ ‎(3)证明：∵A1，E，F，C1四点共面，∴，，共面．‎ 选与为一组基向量，则存在唯一实数对(λ1，λ2)，使＝λ1＋λ2，‎ 即(－x，a，－a)＝λ1(－a，a,0)＋λ2(0，x，－a)＝(－aλ1，aλ1＋xλ2，－aλ2)，‎ ‎∴解得λ1＝，λ2＝1.‎ 于是＝＋.‎ ‎11．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.‎ ‎(1)求证：EF∥平面PAB；‎ ‎(2)求证：平面PAD⊥平面PDC．‎ 证明 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，‎ ‎∴E，F，＝，＝(1,0，－1)，＝(0,2，－1)，＝(0,0,1)，＝(0,2,0)，＝(1,0,0)，＝(1,0,0)．‎ ‎(1)∵＝－，∴∥，即EF∥AB．‎ 又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB．‎ ‎(2)∵·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，·＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，∴⊥，⊥.‎ 即AP⊥DC，AD⊥DC．又AP∩AD＝A，∴DC⊥平面PAD．‎ ‎∵DC⊂平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC．‎ ‎12．在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．‎ ‎(1)求证：EF⊥CD；‎ ‎(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB．若存在，求出点G的坐标；若不存出，试说明理由．‎ 解析 (1)证明：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，‎ 则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F.＝，＝(0，a,0)．∵·＝0，∴⊥，即EF⊥CD．‎ ‎(2)假设存在满足条件的点G，‎ 设G(x,0，z)，则＝.‎ 若使GF⊥平面PCB，则由·＝·(a,0,0)＝a＝0，得x＝；‎ 由·＝·(0，－a，a)‎ ‎＝＋a＝0，得z＝0.‎ ‎∴G点的坐标为，即存在满足条件的点G，且点G为AD的中点．‎