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- 2021-06-16 发布
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第3节 数学归纳法及其应用
最新考纲 1.了解数学归纳法的原理;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
知 识 梳 理
1.数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N+)时命题成立;
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N+)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.
2.数学归纳法的框图表示
[常用结论与微点提醒]
1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.
2.推证n=k+1时一定要用上n=k时的假设,否则不是数学归纳法.
3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项,这是归纳、猜想的基础.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证n=1时结论成立.( )
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( )
(3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用.( )
(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.( )
解析 对于(1),有的证明问题第一步并不是验证n=1时结论成立,如证明凸n
边形的内角和为(n-2)·180°,第一步要验证n=3时结论成立,所以(1)不正确;对于(2),有些命题也可以直接证明;对于(3),数学归纳法必须用归纳假设;对于(4),由n=k到n=k+1,有可能增加不止一项.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验n等于( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 三角形是边数最少的凸多边形,故第一步应检验n=3.
答案 C
3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程中,第二步假设n=k时等式成立,则当n=k+1时,应得到( )
A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1
B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1
C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1
D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1
解析 观察可知等式的左边共n项,故n=k+1时,应得到1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1.
答案 D
4.用数学归纳法证明12+22+…+(n-1)2+n2+(n-1)2+…+22+12=时,由n=k的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是( )
A.(k+1)2+2k2 B.(k+1)2+k2
C.(k+1)2 D.(k+1)[2(k+1)2+1]
解析 由n=k到n=k+1时,左边增加(k+1)2+k2.
答案 B
5.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,当第二步假设n=2k-1(k∈N+)命题为真时,进而需证n= 时,命题亦真.
解析 由于步长为2,所以2k-1后一个奇数应为2k+1.
答案 2k+1
考点一 利用数学归纳法证明等式
【例1】 用数学归纳法证明:
+++…+=(n∈N+).
证明 (1)当n=1时,
等式左边==,
等式右边==,
等式左边=等式右边,所以等式成立.
(2)假设n=k(k∈N+且k≥1)时等式成立,即有
+++…+=,
则当n=k+1时,+++…++=+
===
=.
所以当n=k+1时,等式也成立,
由(1)(2)可知,对于一切n∈N+,等式都成立.
规律方法 用数学归纳法证明等式应注意的两个问题
(1)要弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,以及初始值n0的值.
(2)由n=k到n=k+1时,除考虑等式两边变化的项外还要充分利用n=k时的式子,即充分利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明.
【训练1】 设f(n)=1+++…+(n∈N+).求证:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+).
证明 (1)当n=2时,左边=f(1)=1,
右边=2=1,左边=右边,等式成立.
(2)假设n=k(k≥2,k∈N+)时,结论成立,
即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1],
那么,当n=k+1时,
f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)
=k[f(k)-1]+f(k)
=(k+1)f(k)-k=(k+1)·-k
=(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)[f(k+1)-1],
∴当n=k+1时结论仍然成立.
由(1)(2)可知:f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1](n≥2,n∈N+).
考点二 利用数学归纳法证明不等式(典例迁移)
【例2】 (经典母题)已知数列{an},an≥0,a1=0,a+an+1-1=a,求证:当n∈N+时,an0,又ak+1>ak≥0,
所以ak+2+ak+1+1>0,
所以ak+10,又ak+2<-1,ak+1<-1,
所以ak+2+ak+1+1<0,所以ak+2-ak+1<0,即ak+22,对一切n∈N+,an>0,an+1=,试证明an>2.
证明 (1)当n=1时,a1=a>2,即an>2成立.
(2)假设n=k时,ak>2成立,
那么ak+1==·=+1,
因为ak>2,所以ak-1>1,
又因为函数y=x+在(1,+∞)上单调递增,
所以+1>(1+1)+1=2,
即ak+1>2,所以当n=k+1时,an>2成立,综上可知,an>2对任何n∈N+都成立.
规律方法 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题
(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法.
(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法.
【训练2】 用数学归纳法证明:1+++…+<2-(n∈N+,n≥2).
证明 (1)当n=2时,1+=<2-=,命题成立.
(2)假设n=k(k≥2,且k∈N+)时命题成立,
即1+++…+<2-.
当n=k+1时,1+++…++<2-+<2-+=2-+-=2-,命题成立.
由(1)(2)知原不等式在n∈N+,n≥2时均成立.
考点三 归纳、猜想、证明
【例3】 已知数列{an}的前n项和Sn满足:Sn=+-1,且an>0,n∈N+.
(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;
(2)证明(1)中的猜想.
(1)解 当n=1时,由已知得a1=+-1,
即a+2a1-2=0.
∴a1=-1(a1>0).
当n=2时,由已知得a1+a2=+-1,
将a1=-1代入并整理得a+2a2-2=0.
∴a2=-(a2>0).
同理可得a3=-.
猜想an=-(n∈N+).
(2)证明 ①由(1)知,当n=1,2,3时,通项公式成立.
②假设当n=k(k≥3,k∈N+)时,通项公式成立,
即ak=-.
由于ak+1=Sk+1-Sk=+--,
将ak=-代入上式,整理得
a+2ak+1-2=0,
∴ak+1=-,
即n=k+1时通项公式成立.
根据①②可知,对所有n∈N+,an=-成立.
规律方法 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题,其基本模式是“归纳—猜想—证明”,即先由合情推理发现结论,然后经逻辑推理论证结论的正确性.
(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.
【训练3】 设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(1)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;
(2)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围.
解 由题设得,g(x)=(x≥0).
(1)由已知,g1(x)=,g2(x)=g(g1(x))==,g3(x)=,…,可猜想gn(x)=.
下面用数学归纳法证明.
①当n=1时,g1(x)=,结论成立.
②假设n=k时结论成立,即gk(x)=.
那么,当n=k+1时,gk+1(x)=g(gk(x))
===,即结论成立.
根据①②可知,结论对n∈N+成立.
(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)-(x≥0),
则φ′(x)=-=,
当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增.
又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,
∴a≤1时,ln(1+x)≥恒成立(仅当x=0时等号成立).
当a>1时,对x∈(0,a-1]有φ′(x)≤0,
∴φ(x)在(0,a-1]上单调递减,
∴φ(a-1)<φ(0)=0.
即a>1时,存在x>0,使φ(x)<0,
∴ln(1+x)≥不恒成立,
综上可知,实数a的取值范围是(-∞,1].
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、选择题
1.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( )
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2
解析 观察可知,等式的左端是n2个连续自然数的和,当n=k时为1+2+3+…+k2,当n=k+1时为1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2.
答案 D
2.(2018·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N+)成立,其初始值至少应取( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析 左边求和可得1+++…+=
=2-,
右边==2-,故2->2-,
即<=,所以2n-1>26,解得n>7.
所以初始值至少应取8.
答案 B
3.凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为( )
A.f(n)+n+1 B.f(n)+n
C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2
解析 边数增加1,顶点也相应增加1个,它与和它不相邻的n-2个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加n-1条.
答案 C
4.对于不等式1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推理n=k+1时,左边应增加的项数是 .
解析 当n=k时,不等式的左边有2k-1项,当n=k+1时,不等式左边应有
2k+1-1项,故左边应增加的项数是(2k+1-1)-(2k-1)=2k.
答案 2k
7.(2018·九江模拟)已知f(n)=1+++…+(n∈N+),经计算得f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,则其一般结论为 .
解析 观察规律可知f(22)>,f(23)>,f(24)>,f(25)>,…,故得一般结论为f(2n)>(n≥2,n∈N+).
答案 f(2n)>(n≥2,n∈N+)
8.设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n表示).
解析 由题意知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以归纳出每增加一条直线,交点增加的个数为原有直线的条数.
所以f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,
猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1(n≥4).
有f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1),
所以f(n)=(n+1)(n-2).
答案 5 (n+1)(n-2)
三、解答题
9.用数学归纳法证明:
++…+=(n∈N+).
证明 (1)当n=1时,左边==,
右边==,
左边=右边,等式成立.
(2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,等式成立.
即++…+=,
当n=k+1时,
左边=++…++
=+
=
=,
右边==,
左边=右边,等式成立.
即对所有n∈N+,原式都成立.
10.已知点Pn(an,bn)满足an+1=an·bn+1,bn+1=(n∈N+),且点P1的坐标为(1,-1).
(1)求过点P1,P2的直线l的方程;
(2)试用数学归纳法证明:对于n∈N+,点Pn都在(1)中的直线l上.
(1)解 由题意得a1=1,b1=-1,
b2==,a2=1×=,∴P2.
∴直线l的方程为=,即2x+y-1=0.
(2)证明 ①当n=1时,2a1+b1=2×1+(-1)=1成立.
②假设n=k(k≥1且k∈N+)时,2ak+bk=1成立.
则2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1=·(2ak+1)===1,
∴当n=k+1时,2ak+1+bk+1=1也成立.
由①②知,对于n∈N+,都有2an+bn=1,
即点Pn在(1)中的直线l上.
能力提升题组
(建议用时:20分钟)
11.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2成立”.那么,下列命题总成立的是( )
A.若f(1)<1成立,则f(10)<100成立
B.若f(2)<4成立,则f(1)≥1成立
C.若f(3)≥9成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k2成立
D.若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立
解析 由条件可知不等式的性质只对大于等于号成立,所以A错误;若f(1)≥1成立,则得到f(2)≥4,与f(2)<4矛盾,所以B错误;当f(3)≥9成立,无法推导出f(1),f(2),所以C错误;若f(4)≥16成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k2成立,正确.
答案 D
12.设数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的自然数n都有:(Sn-1)2=anSn,通过计算S1,S2,S3,猜想Sn= .
解析 由(S1-1)2=S,得S1=;
由(S2-1)2=(S2-S1)S2,得S2=;
由(S3-1)2=(S3-S2)S3,得S3=.
猜想Sn=.
答案
13.已知数列{an}满足a1=a>2,an=(n≥2,n∈N+).
(1)求证:对任意n∈N+,an>2恒成立;
(2)判断数列{an}的单调性,并说明你的理由.
(3)设Sn为数列{an}的前n项和,求证:当a=3时,Sn<2n+.
(1)证明 用数学归纳法证明an>2(n∈N+):
①当n=1时,a1=a>2,结论成立;
②假设n=k(k≥1)时结论成立,即ak>2,则n=k+1时,ak+1=>=2,所以n=k+1时,结论成立.
故由①②及数学归纳法原理,知对一切的n∈N+,都有an>2成立.
(2)解 {an}是单调递减的数列.
因为a-a=an+2-a=-(an-2)(an+1),又an>2,
所以a-a<0,所以an+12(n∈N+,
所以=<,
所以an+1-2<(an-2)<(an-1-2)<…<·(a1-2).所以,当a=3时,an+1-2<,
即an+1<+2.当n=1时,S1=3<2+,
当n≥2时,
Sn=3+a2+a3+…+an
<3+++…+
=3+2(n-1)+
=2n+1+<2n+.
综上,当a=3时,Sn<2n+(n∈N+).