【数学】2020届一轮复习人教版（理）第7章第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系学案 13页

第3讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎[考纲解读]　1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题．(重点)‎ ‎2.主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系，能正确求出异面直线所成的角．(重点、难点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础，但却很少独立命题．预测2020年高考会有以下两点命题方式：①以命题形式考查空间点、线、面的位置关系；②以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角．题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.‎ ‎1．空间两条直线的位置关系 ‎(1)位置关系分类：‎ ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ ‎(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ ‎2．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 ‎3．必记结论 ‎(1)唯一性定理 ‎①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．‎ ‎②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．‎ ‎③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．‎ ‎④过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．‎ ‎(2)异面直线的判定定理 平面外一点A与平面内一点B的连线与平面内不经过B点的直线互为异面直线．‎ ‎1．概念辨析 ‎(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面．(　　)‎ ‎(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　)‎ ‎(3)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(　　)‎ ‎(4)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎2．小题热身 ‎(1)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(　　)‎ A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线 答案　C 解析　不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都存在直线m使得m⊥l.‎ ‎(2)以下四个命题中，正确命题的个数是(　　)‎ ‎①不共面的四点中，其中任意三点不共线；‎ ‎②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；‎ ‎③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；‎ ‎④依次首尾相接的四条线段必共面．‎ A．0 B．1‎ C．2 D．3‎ 答案　B 解析　①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故正确的个数为1.‎ ‎(3)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 答案　C 解析　连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，‎ ‎∴∠D1B1C＝60°.‎ ‎(4)设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．‎ ‎①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.‎ 答案　③④‎ 题型 　平面的基本性质 如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分别为FA，FD的中点．‎ ‎(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；‎ ‎(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？‎ 解　(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，得GH綊AD.‎ 又BC綊AD，所以GH綊BC，所以四边形BCHG是平行四边形．‎ ‎(2)由BE綊AF，G为FA中点，知BE綊GF，‎ 所以四边形BEFG为平行四边形，所以EF∥BG.‎ 由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH.‎ 所以EF与CH共面，‎ 又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面．‎ 结论探究　若举例说明中条件不变，证明：FE，AB，DC交于一点．‎ 证明　由举例说明可知，四边形EBGF和四边形BCHG都是平行四边形，故可得四边形ECHF为平行四边形，‎ ‎∴EC∥HF，且EC＝DF，∴四边形ECDF为梯形．‎ ‎∴FE，DC交于一点，设FE∩DC＝M.‎ ‎∵M∈FE，FE⊂平面BAFE，‎ ‎∴M∈平面BAFE.同理M∈平面BADC.‎ 又平面BAFE∩平面BADC＝BA，‎ ‎∴M∈BA，∴FE，AB，DC交于一点．‎ ‎1．证明点共面或线共面的常用方法 ‎(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．‎ ‎(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．如举例说明(2)．‎ ‎(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．‎ ‎2．证明空间点共线问题的方法 ‎(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．‎ ‎(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．‎ ‎3．证明线共点问题的常用方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．如举例说明中的结论探究．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：‎ ‎(1)E，C，D1，F四点共面；‎ ‎(2)CE，D1F，DA三线共点．‎ 证明　(1)如图，连接EF，CD1，A1B.‎ ‎∵E，F分别是AB，AA1的中点，‎ ‎∴EF∥BA1.‎ 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，‎ ‎∴E，C，D1，F四点共面．‎ ‎(2)∵EF∥CD1，EF