【数学】2018届一轮复习人教A版全集与补集问题学案 4页

‎1.3.2　‎全集与补集 问题导学 一、求补集的简单运算 活动与探究1‎ 设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9}，∁UA＝{5,7}，则a的值为______．‎ 迁移与应用 ‎1．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁UA＝______.‎ ‎2．设全集U＝{2,3，a2＋‎2a－3}，A＝{b,2}，∁UA＝{5}．求实数a和b的值．‎ ‎1．求补集的两个步骤 ‎(1)明确全集：根据题中所研究的对象，确定全集U.‎ ‎(2)借助补集定义：利用∁UA＝{x|x∈U，且xA}求A的补集．‎ ‎2．求集合的补集时，如果集合中元素个数较少，用列举法给出，则可直接利用补集的定义，分析元素的构成，求得补集；如果集合是无限集，特别是用不等式表示的集合，则通常要借助数轴分析元素的构成，求出补集．‎ 二、交、并、补的综合运算 活动与探究2‎ 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3＜x≤3}，求∁UA，A∩B， ∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.‎ 迁移与应用 ‎1．设全集为R，A＝{x|4≤x＜5}，B＝{x|3＜x＜9}，则∁R(A∪B)＝__________，(∁RA)∩B＝__________.‎ ‎2．集合S＝{x|x≤10，且x∈N＋}，AS，BS，且A∩B＝{4,5}，(∁SB)∩A＝{1,2,3}，(∁SA)∩(∁SB)＝{6,7,8}，求集合A和B.‎ 集合交、并、补运算的方法 三、已知集合的交集、并集、补集求参数问题 活动与探究3‎ 已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是(　　)．‎ A．a≤2 B．a＜1‎ C．a≥2 D．a＞2[ ]‎ 迁移与应用 ‎1．已知全集U＝R，A＝{x|x＜1，或x＞3}，B＝{x|x＜m}，且(∁UA)∩B＝，求实数m的取值范围．‎ ‎2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|－m＜x＜－m＋2}，若B⊆∁UA，则实数m的取值范围是__________．‎ 已知集合的交集、并集、补集或集合间的关系求参数的取值范围时，可借助数轴，根据集合间的关系求解，具体操作时，要注意端点值的“取”与“不取”．‎ 另外，还要注意分类讨论思想的应用．‎ 当堂检测 ‎1．已知全集U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}，则A＝(　　)．‎ A．{0} B．{1} C．{0,1} D．‎ ‎2．已知U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，则∁UA＝(　　)． ‎ A．{x|x是钝角三角形} ‎ B．{x|x是直角三角形}‎ C．{x|x是钝角三角形或锐角三角形}‎ D．{x|x是钝角三角形或直角三角形}‎ ‎3．集合U＝{1,2,3,4,5,6}，S＝{1,4,5}，T＝{2,3,4}，则S∩(∁UT)等于(　　)．‎ A．{1,4,5,6} B．{1,5}‎ C．{4} D．{1,2,3,4,5}[ ]‎ ‎4．已知A＝{x|x≤1，或x＞3}，B＝{x|x＞2}，则(∁RA)∪B＝__________.‎ ‎5．已知全集U＝{2,0,3－a2}，P＝{2，a2－a－2}，且∁UP＝{－1}，求实数a的值．‎ 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。‎ 答案：‎ 课前预习导学 ‎【预习导引】‎ ‎1．给定集合　给定的集合　U 预习交流1　提示：不一定，全集是一个相对的概念，不同的问题中全集可能不同，这要看题目具体的规定．例如，我们要分别统计A班男同学和女同学的数学成绩，A班的全体同学的数学成绩便是一个全集．同样地，我们把分析对象扩展到整个年级，则全年级同学的数学成绩便是一个全集．‎ ‎2．(1)U中所有不属于A的元素　∁UA　∁UA＝{x|x∈U，且xA}　(2)①U　②‎ 预习交流2　提示：正确．由补集的定义知，A与∁UA没有公共元素，且A的元素与∁UA的元素组成了全集U.‎ 预习交流3　提示：由补集的定义可知：∁UU＝，∁U＝U，∁U(∁UA)＝A.[ ]‎ 课堂合作探究 ‎【问题导学】‎ 活动与探究1　思路分析：本题中集合用列举法给出，元素个数较少，可利用补集的定义求解．‎ ‎2或8　解析：∵∁UA＝{5,7}，∴‎5‎A,‎7‎A.‎ 又∵A＝{1，|a－5|,9}，‎ ‎∴|a－5|＝3，‎ 解得a＝2或8.‎ 迁移与应用　1.{x|0＜x＜1}　解析：全集U＝R，画出数轴由补集的定义可知∁UA＝{x|0＜x＜1}．‎ ‎2．解：∵∁UA＝{5}，∴5∈U,‎5‎A，且A⊆U. ‎ ‎∴解得或 ‎∴或 活动与探究2　思路分析：由于U，A，B均为无限集，所求问题是集合间的交、并、补运算，故考虑借助数轴求解．‎ 解：把全集U和集合A，B在数轴上表示如下：‎ 由图可知∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，‎ A∩B＝{x|－2＜x＜3}，‎ ‎∁U(A∩B)＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，‎ ‎(∁UA)∩B＝{x|－3＜x≤－2，或x＝3}．‎ 迁移与应用　1．{x|x≤3或x≥9}　{x|3＜x＜4或5≤x＜9}　解析：把全集R和集合A，B在数轴上表示如下：‎ 由图知，A∪B＝{x|3＜x＜9}，所以∁R(A∪B)＝{x|x≤3或x≥9}，∁RA＝{x|x＜4或x≥5}，‎ ‎(∁RA)∩B＝{x|3＜x＜4或5≤x＜9}．‎ ‎2．解：S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}．‎ ‎∵A∩B＝{4,5}，‎ ‎∴将4,5写在A∩B中．‎ ‎∵(∁SB)∩A＝{1,2,3}，‎ ‎∴将1,2,3写在A中A∩B之外．‎ ‎∵(∁SB)∩(∁SA)＝{6,7,8}，‎ ‎∴将6,7,8写在S中A∪B之外．‎ ‎∵(∁SB)∩A与(∁SB)∩(∁SA)中均无9,10，‎ ‎∴9,10在B中A∩B之外．‎ 如图所示．[ ]‎ 故A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5,9,10}．‎ 活动与探究3　思路分析：首先求出∁RB，再结合A∪(∁RB)＝R，借助数轴列出关于a的不等式(组)从而求出a的取值范围．‎ C　解析：∵B＝{x|1＜x＜2}，‎ ‎∴∁RB＝{x|x≤1，或x≥2}．[ ]‎ 由A∪(∁RB)＝R，如图所示．‎ 由图可知a≥2.‎ 迁移与应用　1．解：∁UA＝{x|1≤x≤3}，用数轴表示∁UA，B，如图，‎ 由数轴得，要使(∁UA)∩B＝成立，需有m≤1.‎ ‎2．m≤1　解析：由已知得∁UA＝{x|x≥－1}，而B一定不是，因此，要使B⊆∁UA，应有－m≥－1，解得m≤1.‎ ‎【当堂检测】‎ ‎1．C　2．D ‎ ‎3．B　解析：∵U＝{1,2,3,4,5,6}，T＝{2,3,4}．‎ ‎∴∁UT＝{1,5,6}．‎ ‎∴S∩(∁UT)＝{1,4,5}∩{1,5,6}＝{1,5}．‎ ‎4．{x|x＞1}　解析：∵∁RA＝{x|1＜x≤3}，‎ ‎∴(∁RA)∪B＝{x|x＞1}．‎ ‎5．解：∵∁UP＝{－1}，‎ ‎∴－1∈U，且－1P.‎ ‎∴解得a＝2.‎ 经检验，a＝2符合题意，故实数a的值为2.‎