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- 2021-06-16 发布
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第六节指数与指数函数
1．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：
a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：
a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
2．指数函数的图象与性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
图象
a>1
00时，y>1
当x<0时，y>1；
当x>0时，00，且a≠1)，则m0，且a≠1)的图象必经过点( )
A．(0,1) B．(1,1)
C．(2,0) D．(2,2)
解析：选D 由f(2)＝a0＋1＝2，知f(x)的图象必过点(2,2)．
4．函数y＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
答案：C
5．函数y＝ 的定义域是________．
解析：要使该函数有意义，则解得x>0，所以定义域为(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
6．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．
解析：∵f(x)＝(a－2)x为减函数，∴00，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．(a)4＝
解析：选D 对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a)4＝，故D正确．
2．化简：＝________.
解析：原式＝＝a·b＝.
答案：
3．化简：0＋2－2×－(0.01)0.5＝________.
解析：原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
答案：
[怎样快解·准解]
1．指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
2．易错提醒
(1)分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将a写成a时必须认真考查a的取值才能决定，如(－1)＝＝1，而(－1)＝无意义．
(2)结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂，形式力求统一．
指数函数的图象是指数函数的基础，研究指数函数的关键是研究其图象.高考以考查其
图象辨析及应用为主，以选择题、填空题的形式考查，属于基础题.
[典题领悟]
1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．01时，指数函数的图象呈上升趋势；当01时，代入不成立．故a的值为.
答案：
3．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
解析：∵f(x)为偶函数，
当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
∴f(x)＝
当f(x－2)＞0时，有或
解得x＞4或x＜0.
∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．
答案：{x|x>4或x<0}
角度(三) 探究指数型函数的性质
4．已知函数f(x)＝.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝－，
令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，
由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.
[题“根”探求]
看个性
角度(一)是利用指数函数的性质比较幂值的大小，其方法是：先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；
角度(二)是利用指数函数的性质解简单的指数方程或不等式，其方法是：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解；
角度(三)是指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解
找共性
以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y＝af(x)的函数的单调性，它的单调区间与f(x)的单调区间有关：
(1)若a>1，函数f(x)的单调增(减)区间即函数y＝af(x)的单调增(减)区间；
(2)若01，所以b0时，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此时－x<0，则f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此时－x>0，则f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函数f(x)是奇函数，且单调递增，故选C.
7．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点A，则f(－1)＝________.
解析：依题意可知a2＝，解得a＝，
所以f(x)＝x，
所以f(－1)＝－1＝.
答案：
8．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.
解析：当a＞1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为增函数，则a2－1＝2，所以a＝±.又因为a＞1，所以a＝.
当0＜a＜1时，f(x)＝ax－1在[0,2]上为减函数，又因为f(0)＝0≠2，所以0＜a＜1不成立．
综上可知，a＝.
答案：
9．不等式2>x＋4的解集为________．
解析：不等式2>x＋4可化为 >x＋4，等价于x2－2x0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．
解析：①当01时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图(2)，若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|(a>1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．
所以实数a的取值范围是.
答案：
6．已知函数f(x)＝|x|－a.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的最大值是，求a的值．
解：(1)令t＝|x|－a，则f(x)＝t，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，
又y＝t是单调递减的，
所以f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是[0，＋∞)．
(2)由于f(x)的最大值是，
且＝－2，
所以g(x)＝|x|－a应该有最小值－2，
从而a＝2.
7．已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)∵f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
∴
②÷①得a2＝4，又a>0且a≠1，
∴a＝2，b＝3，
∴f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝x＋x，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
∴m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，
故所求实数m的取值范围是.
C级——重难题目自主选做
1．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y
C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
解析：选D 设2x＝3y＝5z＝k>1，
∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.
∵2x－3y＝2log2k－3log3k＝－
＝＝＝>0，
∴2x>3y；
∵3y－5z＝3log3k－5log5k＝－
＝＝＝<0，
∴3y<5z；
∵2x－5z＝2log2k－5log5k＝－
＝＝＝<0，
∴5z>2x.∴5z>2x>3y.
2．若函数f(x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)在区间[m，n]上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)max－f(x)min＝3，则n－m的取值范围是________．
解析：因为函数f(x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x) 的图象关于直线x＝1对称，
所以a＝－1，
所以f(x)＝2|x－1|.
作出函数y＝f(x)的图象如图所示．
当m＜n≤1或1≤m＜n时，离对称轴越远，m与n差越小，由y＝2x－1与y＝21－x的性质知极限值为0.当m＜1＜n时，函数f(x)在区间[m，n]上的最大值与最小值的差为f(x)max－f(x)min＝2|±2|－20＝3，则n－m取得最大值是2－(－2)＝4，所以n－m的取值范围是(0,4]．
答案：(0,4]
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1．化简4a·b÷的结果为( )
A．－ B．－
C．－ D．－6ab
解析：选C 原式＝4÷ab
＝－6ab－1＝－，故选C.
2.函数y＝的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
解析：选C 设t＝x2＋2x－1，则y＝t.
因为0＜＜1，所以y＝t为关于t的减函数．
因为t＝(x＋1)2－2≥－2，
所以0＜y＝t≤－2＝4，
故所求函数的值域为(0,4]．
3.若函数f(x)＝2x＋b－1(b∈R)的图象不经过第二象限，则b的取值范围为( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，1]
C．[0，＋∞) D．(－∞，0]
解析：选D 因为当x<0时，y＝2x∈(0,1)．
又函数f(x)＝2x＋b－1(b∈R)的图象不经过第二象限，
则有b－1≤－1，解得b≤0.故选D.
4.(2018·湖北四市联考)已知函数f(x)＝2x－2，则函数y＝|f(x)|的图象可能是( )
解析：选B y＝|f(x)|＝|2x－2|＝易知函数y＝|f(x)|的图象的分段点是x＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|≥0.又|f(x)|在(－∞，1)上单调递减，故选B.
5．已知函数f(x)＝的值域是[－8,1]，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3] B．[－3,0)
C．[－3，－1] D．{－3}
解析：选B 当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x＜0时，f(x)∈，所以－，－1[－8,1]，即－8≤－＜－1，即－3≤a＜0.所以实数a的取值范围是[－3,0)．
6.不等式2>x＋4的解集为________．
解析：不等式2>x＋4可化为>x＋4，等价于x2－2x
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