【数学】2018届一轮复习人教A版双曲线学案 10页

‎1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．‎ ‎2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．‎ ‎3．理解数形结合的思想．‎ 知识点一　双曲线的定义 ‎ 平面内动点P与两个定点F1，F2(|F‎1F2|＝‎2c>0)的距离____________为常数‎2a(‎2a<‎2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．‎ 答案 之差的绝对值 ‎1．判断正误 ‎(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(　　)‎ ‎(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×‎ ‎2．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　　)‎ A．1 B．17‎ C．1或17 D．以上答案均不对 解析：由题意知|PF1|＝90，b>0)‎ －＝1‎ ‎(a>0，b>0)‎ 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a，y≥a 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标：‎ A1(－a,0)，A2(a,0)‎ 顶点坐标：‎ A1______，A2______‎ 渐近线 y＝±x ‎__________‎ 离心率 e＝，e∈______，其中c＝ 实虚轴 线段A‎1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A‎1A2|＝____；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c 的关系 c2＝______(c>a>0，c>b>0)‎ ‎2.等轴双曲线 ‎______和______等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为______，离心率为______．‎ 答案 ‎1．(0，－a)　(0，a)　y＝±x　(1，＋∞)　‎2a　a2＋b2‎ ‎2．实轴　虚轴　y＝±x　e＝ ‎3．双曲线方程：＋＝1，那么k的范围是(　　)‎ A．k>5‎ B．25‎ 解析：由题意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－25.‎ 答案：D ‎4．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF‎2F1＝，则E的离心率为(　　)‎ A. B． C. D．2‎ 解析：设F1(－c,0)，将x＝－c代入双曲线方程，得－＝1，所以＝－1＝，所以y＝±.因为sin∠MF‎2F1＝，所以tan∠MF‎2F1＝＝＝＝＝－＝－＝，所以e2－e－1＝0，所以e＝.故选A.‎ 答案：A ‎5．(选修1－1P53练习第3题改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为__________．‎ 解析：设要求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.‎ 答案：x2－＝1‎ 热点一　双曲线的定义及应用 ‎ ‎【例1】　已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P在双曲线右支上运动，则|PF|＋|PA|的最小值为______．‎ ‎【解析】　如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.‎ ‎【答案】　9‎ ‎【总结反思】‎ 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝‎2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.‎ ‎ ‎ ‎(1)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝‎2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，‎ ‎∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，在△PF‎1F2中，‎ ‎|F‎1F2|＝‎2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2‎ ‎＝＝.‎ ‎(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，‎ 则||PF1|－|PF2||＝8<10＝|F‎1F2|.‎ 由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a＝4，b＝3.‎ 故曲线C2的标准方程为－＝1.‎ 答案：(1)C　(2)A 热点二　双曲线的标准方程 ‎ ‎【例2】　(2016·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－y2＝1 B．x2－＝1‎ C.－＝1 D．－＝1‎ ‎【解析】　由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.‎ ‎【答案】　A ‎【总结反思】‎ 求双曲线的标准方程的方法 ‎(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线由双曲线定义，确定‎2a,2b或‎2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．‎ ‎(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值.‎ ‎ ‎ ‎(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎(2)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为__________．‎ 解析：(1)由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝＝，所以a2＝5，b2＝20，所以双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎(2)法1：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ ‎(λ≠0)．∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.‎ 法2：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知条件可得解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1.‎ 答案：(1)A　(2)－y2＝1‎ 热点三　双曲线的几何性质 ‎ 考向1　求双曲线的离心率 ‎【例3】　(2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．‎ ‎【解析】　‎ 如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，|MN|＝‎2c＝2，故|BN|＝＝＝.由双曲线的定义可得‎2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，而‎2c＝|MN|＝2.所以双曲线的离心率e＝＝2.‎ ‎【答案】　2‎ 考向2　求双曲线的渐近线 ‎【例4】　已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝‎6a，且△PF‎1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是(　　)‎ A.x±y＝0 B．x±y＝0‎ C．x±2y＝0 D．2x±y＝0‎ ‎【解析】　由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝‎2a，又|PF1|＋|PF2|＝‎6a，解得|PF1|＝‎4a，|PF2|＝‎2a.在△PF‎1F2中，|F‎1F2|＝‎2c，而c>a，所以有|PF2|<|F‎1F2|，所以∠PF‎1F2＝30°，所以(‎2a)2＝(‎2c)2＋(‎4a)2－2·‎2c·4acos30°，得c＝a，所以b＝＝a.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.‎ ‎【答案】　A 考向3　求变量的取值范围 ‎【例5】　已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　由题意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F2(，0)，∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.‎ ‎(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c 的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.‎ ‎ ‎ ‎(1)(2017·安徽合肥质检)若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x ‎(3)(2017·江西名校学术联盟一调)设A1，A2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率k·k<2，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)‎ A．(0，) B．(1，)‎ C．(，＋∞) D．(0,3) ‎ 解析：(1)由题意，得＝2⇒b＝‎2a，C2的焦距‎2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.‎ ‎(2)由题意得，e＝＝⇒c＝a⇒a2＝a2＋b2⇒b＝a，故渐近线方程为y＝±x＝±x，故选C.‎ ‎(3)设M(x，y)，A1(－a,0)，A2(a,0)，则k＝，k＝，∴k·k＝(*)．又M(x，y)在双曲线－＝1上，∴y2＝b2，代入(*)式得，＝<2，即＝e2－1<2⇒1