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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版(文)第六章第一节不等关系与一元二次不等式学案

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第一节不等关系与一元二次不等式 ‎1.两个实数比较大小的依据 ‎(1)a-b>0⇔ab.‎ ‎(2)a-b=0⇔ab.‎ ‎(3)a-b<0⇔ab.‎ ‎2.不等式的性质 ‎(1)对称性:a>b⇔bb,b>c⇒a>c;‎ ‎(3)可加性:a>b⇔a+cb+c;‎ a>b,c>d⇒a+cb+d;‎ ‎(4)可乘性:a>b,c>0⇒acbc;‎ a>b>0,c>d>0⇒acbd;‎ ‎(5)可乘方性:a>b>0⇒anbn(n∈N,n≥1);‎ ‎(6)可开方性:a>b>0⇒ (n∈N,n≥2).‎ ‎3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 判别式 Δ=b2-‎‎4ac Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实数根x1,x2(x1<x2)‎ 有两相等实数根x1=x2=- 没有实数根 一元二次不等式ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ R 一元二次不等式ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 ‎{x|x1<x<x2}‎ ‎∅‎ 在不等式ax2+bx+c>0(a≠0)中,如果二次项系数a<0‎ ‎,则可根据不等式的性质,将其转化为正数,再对照上表求解.‎ ‎1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a1,则a>b.(  )‎ ‎(3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数,不等号方向不变.(  )‎ ‎(4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.(  )‎ ‎(5)同向不等式具有可加性和可乘性.(  )‎ ‎(6)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(  )‎ ‎(7)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.(  )‎ 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)×‎ ‎2.函数f(x)=的定义域为(  )‎ A.[0,3]        B.(0,3)‎ C.(-∞,0]∪[3,+∞) D.(-∞,0)∪(3,+∞)‎ 解析:选A 要使函数f(x)=有意义,则3x-x2≥0,即x2-3x≤0,解得0≤x≤3.‎ ‎3.若a B.> C.|a|>|b| D.a2>b2‎ 解析:选A 取a=-2,b=-1,则>不成立.‎ ‎4.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=∅,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(0,4) B.[0,4)‎ C.(0,4] D.[0,4]‎ 解析:选D 当a=0时,满足条件;当a≠0时,由题意知a>0且Δ=a2-‎4a≤0,得00的解集是,则a+b的值是________.‎ 解析:由题意知-,是方程ax2+bx+2=0的两根,‎ 则解得 所以a+b=-14.‎ 答案:-14‎ ‎6.若1<α<3,-4<β<2,则α-|β|的取值范围是________.‎ 解析:∵-4<β<2,∴0≤|β|<4,∴-4<-|β |≤0.‎ ‎∴-3<α-|β|<3.‎ 答案:(-3,3)‎      ‎ [考什么·怎么考]‎ 不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容,一般涉及函数、数列等知识.多以选择题形式考查,难度较小.‎ 考法(一) 比较两个数(式)的大小 ‎1.若a=,b=,则a____b(填“>”或“<”).‎ 解析:易知a,b都是正数,==log89>1,所以b>a.‎ 答案:<‎ ‎2.已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前n项和为Sn,则与的大小关系为________.‎ 解析:当q=1时,=3,=5,所以<.‎ 当q>0且q≠1时,‎ -=- ‎==<0,‎ 所以<.‎ 综上可知<.‎ 答案:< ‎[题型技法] 比较两个数(式)大小的两种方法 考法(二) 不等式的性质 ‎3.若a>b>0,c<d<0,则一定有(  )‎ A.>          B.< C.> D.< 解析:选B 法一:因为c<d<0,所以-c>-d>0,‎ 所以>>0.‎ 又a>b>0,所以>,‎ 所以<.故选B.‎ 法二:⇒<<0⇒‎ ⇒>⇒<.‎ 法三:令a=3,b=2,c=-3,d=-2,‎ 则=-1,=-1,排除选项C、D;‎ 又∵-<-,排除A,故选B.‎ ‎4.设a,b∈R,则“(a-b)·a2<‎0”‎是“ab,c>d,则ac>bd B.若ac>bc,则a>b C.若<,则ab,c>d,则a-c>b-d 解析:选C 取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc⇒a0,∴a1时,解为1<x<.‎ 综上,当0<a<1时,不等式的解集为;‎ 当a=1时,不等式的解集为∅;‎ 当a>1时,不等式的解集为.‎ ‎[解题师说]‎ ‎1.解一元二次不等式的4个步骤 一化 把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式 二判 计算对应方程的判别式 三求 求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根 四写 利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集 ‎2.分式不等式的解法 求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形,转化为整式不等式(组)求解.‎ ‎(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0);‎ ‎(2)≥0(≤0)⇔ ‎3.解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 ‎(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.‎ ‎(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.‎ ‎(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1.设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是(  )‎ A.(-3,1)∪(3,+∞)   B.(-3,1)∪(2,+∞)‎ C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)‎ 解析:选A 由题意知f(1)=3,故原不等式可化为或解得-33,所以原不等式的解集为(-3,1)∪(3,+∞),故选A.‎ ‎2.已知不等式ax2-bx-1≥0的解集是,则不等式x2-bx-a<0的解集是(  )‎ A.(2,3)‎ B.(-∞,2)∪(3,+∞)‎ C. D.∪ 解析:选A 由题意知-,-是方程ax2-bx-1=0的两根,‎ 所以由根与系数的关系得 解得 不等式x2-bx-a<0即为x2-5x+6<0,解集为(2,3).‎ ‎3.求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集.‎ 解:原不等式可化为12x2-ax-a2>0,‎ 即(4x+a)(3x-a)>0,‎ 令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-,x2=.‎ 当a>0时,不等式的解集为∪;‎ 当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);‎ 当a<0时,不等式的解集为∪.‎      一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时,要注意三者之间的相互联系,并在一定条件下相互转换.‎ 对于一元二次不等式恒成立问题,常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号,进而求出参数的取值范围.常见的命题角度有:‎ (1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围;‎ (2)形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围;‎ (3)形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])确定x的范围.‎ ‎[题点全练]‎ 角度(一) 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围 ‎1.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,2]        B.[-2,2]‎ C.(-2,2] D.(-∞,-2)‎ 解析:选C 当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,对一切x∈R恒成立.‎ 当a≠2时,则 即解得-20‎ a>0,Δ<0‎ ax2+bx+c≥0‎ a>0,Δ≤0‎ ax2+bx+c<0‎ a<0,Δ<0‎ ax2+bx+c≤0‎ a<0,Δ≤0‎ 角度(二) 形如f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围 ‎2.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,求实数b的取值范围.‎ 解:由f(1-x)=f(1+x)知f(x)的图象关于直线x=1对称,即=1,解得a=2.‎ 又因为f(x)的图象开口向下,‎ 所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,‎ 所以当x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,‎ 若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,‎ 则b2-b-2>0恒成立,‎ 解得b<-1或b>2.‎ 所以实数b的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).‎ ‎[题型技法] ‎ 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法 ‎(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).‎ ‎(2)转化为函数值域问题,即 已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.‎ 角度(三) 形如f(x)≥0(参数m∈[a,b])确定x的范围 ‎3.对任意m∈[-1,1],函数f(x)=x2+(m-4)x+4-‎2m的值恒大于零,求x的取值范围.‎ 解:由f(x)=x2+(m-4)x+4-‎‎2m ‎=(x-2)m+x2-4x+4,‎ 令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.‎ 由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,‎ 所以 解得x<1或x>3.‎ 故当x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意的m∈[-1,1],函数f(x)的值恒大于零.‎ ‎[题型技法]‎ 一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数.一般情况下,知道谁的范围,就选谁当主元,求谁的范围,谁就是参数.即把变元与参数交换位置,构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解.‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1.若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为(  )‎ A.(-3,0)        B.[-3,0)‎ C.[-3,0] D.(-3,0]‎ 解析:选D 当k=0时,显然成立;‎ 当k≠0时,即一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,‎ 则解得-3N C.M=N D.不确定 解析:选B M-N=a‎1a2-(a1+a2-1)‎ ‎=a‎1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1),‎ 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),‎ ‎∴a1-1<0,a2-1<0.‎ ‎∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,‎ ‎∴M >N.‎ ‎2.若角α,β满足-<α<β<π,则α-β的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B ∵-<α<π,-<β<π,‎ ‎∴-π<-β<,∴-<α-β<.‎ 又∵α<β,∴α-β<0,从而-<α-β<0.‎ ‎3.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+x-6<0的解集为B,不等式x2+‎ ax+b<0的解集为A∩B,则a+b等于(  )‎ A.-3 B.1‎ C.-1 D.3‎ 解析:选A 由题意得,A=,B=,所以A ∩B=,由根与系数的关系可知a=-1,b=-2,则a+b=-3.‎ ‎4.若m<0,n>0且m+n<0,则下列不等式中成立的是(  )‎ A.-n<m<n<-m B.-n<m<-m<n C.m<-n<-m<n D.m<-n<n<-m 解析:选D 法一:(取特殊值法)令m=-3,n=2分别代入各选项检验,可知D正确.‎ 法二:m+n<0⇒m<-n⇒n<-m,又由于m<0<n,‎ 故m<-n<n<-m成立.‎ ‎5.(2018·广东清远一中一模)若关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(  )‎ A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(1,3)‎ C.(-1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)‎ 解析:选C 关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),即不等式ax0可化为(x+1)(x-3)<0,‎ 解得-10;③a->b-;④ln a2>ln b2.其中正确的不等式的序号是(  )‎ A.①④ B.②③‎ C.①③ D.②④‎ 解析:选C 法一:因为<<0,故可取a=-1,b=-2.显然|a|+b=1-2=-1<0,所以②错误;因为ln a2=ln(-1)2=0,ln b2=ln(-2)2=ln 4>0,所以④错误,综上所述,可排除A、B、D,故选C.‎ 法二:由<<0,可知b0,所以<,故①正确;‎ ‎②中,因为b-a>0,故-b>|a|,即|a|+b<0,故②错误;‎ ‎③中,因为b->0,所以a->b-,故③正确;‎ ‎④中,因为ba2>0,而y=ln x在定义域(0,+∞)上为增函数,所以ln b2>ln a2,故④错误.由以上分析,知①③正确。‎ ‎7.不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集是________.‎ 解析:不等式|x(x-2)|>x(x-2)的解集即x(x-2)<0的解集,解得00的解集是________.‎ 解析:原不等式为(x-a)<0,‎ 由00,即a2>16.‎ ‎∴a>4或a<-4.‎ 答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)‎ B级——中档题目练通抓牢 ‎1.如果a,b,c满足cac B.c(b-a)>0‎ C.cb20,则A、B、D一定正确;当b=0时,C不正确.‎ ‎2.若不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为{x|-20在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是________.‎ 解析:由Δ=a2+8>0,知方程x2+ax-2=0恒有两个不等实数根,又知两根之积为负,所以方程x2+ax-2=0必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-,故a的取值范围为.‎ 答案: ‎6.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.‎ ‎(1)解关于a的不等式f(1)>0;‎ ‎(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.‎ 解:(1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,‎ ‎∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+‎6a+3,‎ ‎∴原不等式可化为a2-‎6a-3<0,‎ 解得3-2b的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,‎ 等价于 解得 ‎7.已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.‎ ‎(1)若a=2,试求函数y=(x>0)的最小值;‎ ‎(2)对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,试求实数a的取值范围.‎ 解:(1)依题意得y===x+-4.‎ 因为x>0,所以x+≥2,当且仅当x=时,即x=1时,等号成立.所以y≥-2.‎ 所以当x=1时,y=的最小值为-2.‎ ‎(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,‎ 所以要使“∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”,‎ 只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.‎ 不妨设g(x)=x2-2ax-1,‎ 则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.‎ 所以 即 解得a≥.‎ 则实数a的取值范围为.‎ C级——重难题目自主选做 ‎1.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[-4,1] B.[-4,3]‎ C.[1,3] D.[-1,3]‎ 解析:选B 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1N C.M=N D.不确定 解析:选B M-N=a‎1a2-(a1+a2-1)‎ ‎=a‎1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1),‎ 又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.‎ ‎∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,∴M >N.‎ ‎2.不等式>1的解集为(  )‎ A. B.(-∞,1)‎ C.∪(1,+∞) D. 解析:选A 原不等式等价于-1>0,‎ 即>0,整理得<0,‎ 不等式等价于(2x-1)(x-1)<0,解得0的解集是(  )‎ A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(1,3)‎ C.(-1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞)‎ 解析:选C 关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),即不等式ax0可化为(x+1)(x-3)<0,‎ 解得-10在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是________.‎ 解析:由Δ=a2+8>0,知方程x2+ax-2=0恒有两个不等实数根,又知两根之积为负,所以方程x2+ax-2=0必有一正根、一负根.于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0,解得a>-,故a的取值范围为.‎ 答案: ‎8.已知函数f(x)=为奇函数,则不等式f(x)<4的解集为________.‎ 解析:若x>0,则-x<0,则f(-x)=bx2+3x.因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即bx2+3x=-x2-ax,可得a=-3,b=-1,所以f(x)=当x≥0时,由x2-3x<4,解得0≤x<4;当x<0时,由-x2-3x<4,解得x<0,所以不等式f(x)<4的解集为(-∞,4).‎ 答案:(-∞,4)‎ ‎9.设实数a,b,c满足:‎ ‎①b+c=6-‎4a+‎3a2,‎ ‎②c-b=4-‎4a+a2.‎ 试确定a,b,c的大小关系.‎ 解:因为c-b=(a-2)2≥0,所以c≥b,‎ 又2b=2+‎2a2,所以b=1+a2,‎ 所以b-a=a2-a+1=2+>0,‎ 所以b>a,从而c≥b>a.‎ ‎10.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.‎ ‎(1)解关于a的不等式f(1)>0;‎ ‎(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.‎ 解:(1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,‎ ‎∴f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+‎6a+3,‎ ‎∴原不等式可化为a2-‎6a-3<0,‎ 解得3-2b的解集为(-1,3)等价于方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,‎ 等价于 解得 B级——拔高题目稳做准做 ‎1.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则实数a的取值范围是(  )‎ A.[-4,1] B.[-4,3]‎ C.[1,3] D.[-1,3]‎ 解析:选B 原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1‎ 时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即10)的最小值;‎ ‎(2)对于任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)依题意得y===x+-4.‎ 因为x>0,所以x+≥2,当且仅当x=时,即x=1时,等号成立.所以y≥-2.‎ 所以当x=1时,y=的最小值为-2.‎ ‎(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,‎ 所以要使“∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”,‎ 只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.‎ 不妨设g(x)=x2-2ax-1,‎ 则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.‎ 所以 即 解得a≥.‎ 则实数a的取值范围为.‎ ‎6.已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1,设f(x)=.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)若不等式f(2x)-k·2x≥0在x∈[-1,1]上有解,求实数k的取值范围.‎ 解:(1)g(x)=a(x-1)2+1+b-a,‎ 因为a>0,所以g(x)在区间[2,3]上是增函数,‎ 故解得 ‎(2)由已知及(1)可得f(x)=x+-2,‎ f(2x)-k·2x≥0可化为2x+-2≥k·2x,‎ 化简得1+2-2·≥k,令t=,则t∈.‎ 即k≤t2-2t+1,‎ 记h(t)=t2-2t+1,因为t∈,‎ 故h(t)max=1,所以实数k的取值范围是(-∞,1].‎