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- 2021-06-16 发布
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第一节不等关系与一元二次不等式
1．两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔ab.
(2)a－b＝0⇔ab.
(3)a－b＜0⇔ab.
2．不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；
a>b，c>d⇒a＋cb＋d；
(4)可乘性：a>b，c>0⇒acbc；
a>b>0，c>d>0⇒acbd；
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实数根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实数根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|xx2}
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
在不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)中，如果二次项系数a<0
，则可根据不等式的性质，将其转化为正数，再对照上表求解．
1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.( )
(3)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数，不等号方向不变．( )
(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( )
(5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )
(6)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( )
(7)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)×
2．函数f(x)＝的定义域为( )
A．[0,3] B．(0,3)
C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选A 要使函数f(x)＝有意义，则3x－x2≥0，即x2－3x≤0，解得0≤x≤3.
3．若a B.>
C．|a|>|b| D．a2>b2
解析：选A 取a＝－2，b＝－1，则>不成立．
4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4) B．[0,4)
C．(0,4] D．[0,4]
解析：选D 当a＝0时，满足条件；当a≠0时，由题意知a>0且Δ＝a2－4a≤0，得00的解集是，则a＋b的值是________．
解析：由题意知－，是方程ax2＋bx＋2＝0的两根，
则解得
所以a＋b＝－14.
答案：－14
6．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．
解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β |≤0.
∴－3<α－|β|<3.
答案：(－3,3)
[考什么·怎么考]
不等式的性质及应用是不等式的一个基础内容，一般涉及函数、数列等知识.多以选择题形式考查，难度较小.
考法(一) 比较两个数(式)的大小
1．若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
解析：易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.
答案：＜
2．已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________．
解析：当q＝1时，＝3，＝5，所以＜.
当q＞0且q≠1时，
－＝－
＝＝＜0，
所以＜.
综上可知＜.
答案：＜
[题型技法] 比较两个数(式)大小的两种方法
考法(二) 不等式的性质
3．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
解析：选B 法一：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，
所以＞＞0.
又a＞b＞0，所以＞，
所以＜.故选B.
法二：⇒＜＜0⇒
⇒＞⇒＜.
法三：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，排除选项C、D；
又∵－＜－，排除A，故选B.
4．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“ab，c>d，则ac>bd
B．若ac>bc，则a>b
C．若<，则ab，c>d，则a－c>b－d
解析：选C 取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；当c<0时，ac>bc⇒a0，∴a1时，解为1＜x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，不等式的解集为.
[解题师说]
1．解一元二次不等式的4个步骤
一化
把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式
二判
计算对应方程的判别式
三求
求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根
四写
利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集
2．分式不等式的解法
求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解．
(1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔
3．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[冲关演练]
1．设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是( )
A．(－3,1)∪(3，＋∞) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－1,1)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1,3)
解析：选A 由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为或解得－33，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.
2．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是( )
A．(2,3)
B．(－∞，2)∪(3，＋∞)
C.
D.∪
解析：选A 由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两根，
所以由根与系数的关系得
解得
不等式x2－bx－a＜0即为x2－5x＋6＜0，解集为(2,3)．
3．求不等式12x2－ax>a2(a∈R)的解集．
解：原不等式可化为12x2－ax－a2>0，
即(4x＋a)(3x－a)>0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
当a>0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为∪.
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.
对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.常见的命题角度有：
(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围；
(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围；
(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围.
[题点全练]
角度(一) 形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围
1．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．[－2,2]
C．(－2,2] D．(－∞，－2)
解析：选C 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－20
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0
角度(二) 形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围
2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，求实数b的取值范围．
解：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)的图象开口向下，
所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，
所以当x∈[－1,1]时，f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，
则b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
所以实数b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
[题型技法]
一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法
(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．
(2)转化为函数值域问题，即
已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.
角度(三) 形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x<1或x>3.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
[题型技法]
一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x范围的方法
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
[冲关演练]
1．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3,0) B．[－3,0)
C．[－3,0] D．(－3,0]
解析：选D 当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，
则解得－3N
C．M＝N D．不确定
解析：选B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，
∴M >N.
2．若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选B ∵－<α<π，－<β<π，
∴－π<－β<，∴－<α－β<.
又∵α<β，∴α－β<0，从而－<α－β<0.
3．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B，不等式x2＋
ax＋b<0的解集为A∩B，则a＋b等于( )
A．－3 B．1
C．－1 D．3
解析：选A 由题意得，A＝，B＝，所以A ∩B＝，由根与系数的关系可知a＝－1，b＝－2，则a＋b＝－3.
4．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( )
A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜n
C．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m
解析：选D 法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验，可知D正确．
法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，
故m＜－n＜n＜－m成立．
5．(2018·广东清远一中一模)若关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选C 关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax0可化为(x＋1)(x－3)<0，
解得－10；③a－>b－；④ln a2>ln b2.其中正确的不等式的序号是( )
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
解析：选C 法一：因为<<0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误，综上所述，可排除A、B、D，故选C.
法二：由<<0，可知b0，所以<，故①正确；
②中，因为b－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；
③中，因为b－>0，所以a－>b－，故③正确；
④中，因为ba2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2>ln a2，故④错误．由以上分析，知①③正确。
7．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得00的解集是________．
解析：原不等式为(x－a)<0，
由00，即a2>16.
∴a>4或a<－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
B级——中档题目练通抓牢
1．如果a，b，c满足cac B．c(b－a)>0
C．cb20，则A、B、D一定正确；当b＝0时，C不正确．
2．若不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－20在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为.
答案：
6．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化为a2－6a－3<0，
解得3－2b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
等价于
解得
7．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求实数a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以
即
解得a≥.
则实数a的取值范围为.
C级——重难题目自主选做
1．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则实数a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1N
C．M＝N D．不确定
解析：选B M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M >N.
2.不等式>1的解集为( )
A. B．(－∞，1)
C.∪(1，＋∞) D.
解析：选A 原不等式等价于－1>0，
即>0，整理得<0，
不等式等价于(2x－1)(x－1)<0，解得0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
解析：选C 关于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax0可化为(x＋1)(x－3)<0，
解得－10在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
解析：由Δ＝a2＋8>0，知方程x2＋ax－2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x2＋ax－2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为.
答案：
8.已知函数f(x)＝为奇函数，则不等式f(x)＜4的解集为________．
解析：若x>0，则－x<0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3，b＝－1，所以f(x)＝当x≥0时，由x2－3x＜4，解得0≤x＜4；当x＜0时，由－x2－3x＜4，解得x＜0，所以不等式f(x)＜4的解集为(－∞，4)．
答案：(－∞，4)
9.设实数a，b，c满足：
①b＋c＝6－4a＋3a2，
②c－b＝4－4a＋a2.
试确定a，b，c的大小关系．
解：因为c－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b，
又2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2，
所以b－a＝a2－a＋1＝2＋>0，
所以b>a，从而c≥b>a.
10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解：(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
∴原不等式可化为a2－6a－3<0，
解得3－2b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
等价于
解得
B级——拔高题目稳做准做
1．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则实数a的取值范围是( )
A．[－4,1] B．[－4,3]
C．[1,3] D．[－1,3]
解析：选B 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1
时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，求实数a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2，当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以
即
解得a≥.
则实数a的取值范围为.
6.已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设f(x)＝.
(1)求a，b的值；
(2)若不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上有解，求实数k的取值范围．
解：(1)g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a，
因为a>0，所以g(x)在区间[2,3]上是增函数，
故解得
(2)由已知及(1)可得f(x)＝x＋－2，
f(2x)－k·2x≥0可化为2x＋－2≥k·2x，
化简得1＋2－2·≥k，令t＝，则t∈.
即k≤t2－2t＋1，
记h(t)＝t2－2t＋1，因为t∈，
故h(t)max＝1，所以实数k的取值范围是(－∞，1]．
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