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- 2021-06-16 发布
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第06节 空间直角坐标系、空间向量及其运算
【考纲解读】
考 点
考纲内容
5年统计
分析预测
空间直角坐标系、空间向量及其运算
1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置
2.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
3.掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算。
4.掌握空间两点间的距离公式,会求向量的长度、两向量夹角,并会解决简单的立体几何问题。
2015•浙江文18;理17.
1. 空间向量的线性运算及其坐标表示.
2. 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
3.应用空间向量解决立体几何问题.
4.备考重点:
(1) 掌握空间向量的线性运算、坐标运算;
(2)掌握空间向量的数量积计算方法.
(3)利用向量判断垂直关系、平行关系.
【知识清单】
1. 空间向量的线性运算
1.空间向量的有关概念
(1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量,其大小叫做向量的模或长度.
(2)几种常用特殊向量
①单位向量:长度或模为1的向量.
②零向量:长度为0的向量.
③相等向量:方向相同且模相等的向量.
④相反向量:方向相反而模相等的向量.
⑤共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,则这些向量叫作共线向量或平行向量.
⑥共面向量:平行于同一个平面的向量.
2.空间向量的线性运算
(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广.
设a,b是空间任意两向量,若,P∈OC,则,,.
(2)向量加法与数乘向量运算满足以下运算律
①加法交换律:a+b=b + a .
②加法结合律:(a+b)+c=a +(b+c).
③数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.
④数乘结合律:λ(μa)=(λμ) a.(λ∈R,μ∈R).
对点练习:
【人教A版,P117复习题第1题】如图,空间四边形中,点在上,且,点为中点,则等于( )
A. B.
C. D.
【答案】B
2. 共线向量定理、共面向量定理的应用
(1)共线向量定理:对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
(2)共面向量定理:如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y,使.
(3)空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组{x,y,z},使.把{a,b,c}叫做空间的一个基底.
推论:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x、y、z,
使.其中x+y+z=1.
对点练习:
已知,,,若三向量共面,则实数等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题三个向量共面可设:,则:
得:,解得:,.
3. 空间向量的数量积及其应用
1.两个向量的数量积
(1)a·b=|a||b|cos〈a,b〉;
(2)a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量);
(3)|a|2=a2,|a|=.
2.向量的坐标运算
a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和
a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
向量差
a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数量积
a·b=a1b1+a2b2+a3b3
共线
a∥b⇒a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直
a⊥b⇔a1b1+a2b2+a3b3=0
夹角
公式
cos〈a,b〉=
对点练习:
已知向量,,且与互相垂直,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
4.空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算
空间直角坐标系及有关概念
(1)空间直角坐标系:以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴,y轴,z轴.这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x轴,y轴,z轴统称坐标轴.由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面.
(2)右手直角坐标系的含义:当右手拇指指向x轴的正方向,食指指出y轴的正方向时,中指指向z轴的正方向.
(3)空间一点M的坐标用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.
2.空间两点间的距离公式
设点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=.
对点练习:
【2017届广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市高三5月联考】如图,在三棱锥中,平面平面, 与均为等腰直角三角形,且, .点是线段上的动点,若线段上存在点,使得异面直线与成
的角,则线段长的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
,结合可得,所以,则,即,应选答案B.
【考点深度剖析】
本部分内容较少单独考查,主要考查向量数量积的坐标表示、空间向量方法在在证明平行与垂直及计算夹角与距离的应用.
【重点难点突破】
考点一 空间向量的线性运算
【1-1】空间四边形ABCD中,若向量,,点E,F分别为线段BC,AD的中点,则的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【1-2】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设,E,F分别是AD1,BD的中点.
(1)用向量表示,;
(2)若,求实数x,y,z的值.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1),
.
(2),所以.
【领悟技法】
1.选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.
2.首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,求若干个向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决.
【触类旁通】
【变式一】如图,在空间四边形中, , , .点在上,且, 是的中点,则=( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【变式二】【百强校】2015-2016学年】辽宁省葫芦岛市一中如图,在平行六面体中,为的交点.若 ,
,则下列向量中与相等的向量是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意知,
,故应选.
考点2 共线向量定理、共面向量定理的应用
【2-1】【浙江省杭州市萧山区第一中学】已知,,若,则( )
A. , B. , C. , D. ,
【答案】A
【2-2】有4个命题:①若p=xa+yb,则p与a、b共面;②若p与a、b共面,则p=xa+yb;③若=x+y,则P、M、A、B共面;④若P、M、A、B共面,则=x+y.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【答案】B
【解析】①正确,②中若a,b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立,③正确,④中若M,A,B共线,点P不在此直线上,则=x+y不正确.故选B.
【领悟技法】
1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量,其它任意一向量都可用这一组基向量表示.
2.中点向量公式,在解题时可以直接使用.
3.证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线.
(1);
(2)对空间任一点O,;
(3)对空间任一点O,.
4.证明空间四点共面的方法
对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面
(1);
(2)对空间任一点O,;
(3)对空间任一点O,;
(4)∥(或∥或∥).
【触类旁通】
【变式一】若,,不共线,对于空间任意一点都有,则,,,四点( )
A.不共面 B.共面 C.共线 D.不共线
【答案】B
【变式二】【浙江慈溪中学】已知,,,,若,则________;若,,,四点共面,则__________.
【答案】,.
【解析】由题意得,,,∴,
∴;若,,,四点共面,∴存在唯一的实数,使得,,
∴,∴.
考点3 空间向量的数量积及其应用
【3-1】已知A(2,3,-1),B(2,6,2),C(1,4,-1),则向量与的夹角为( )
A.45° B.90° C.30° D.60°
【答案】D
【解析】因为,所以,故选D.
【3-2】【2018届江西省南昌三中高三上学期第二次考试】已知半径为的球内切于正四面体,线段是球的一条动直径是直径的两端点),点是正四面体的表面上的一个动点,则的取值范围是______________________.
【答案】
而又
由题意M,N是直径的两端点,可得,,
由此可知,要求出的取值范围,只需求出,的范围即可.
当P位于E(切点)时,OP取得最小值1;
当P位于A处时,OP取得最大值3.
综上可得的最小值为11=0,最大值为91=8.
则的取值范围是[0,8].
再由,知取值范围是
故答案为: .
【领悟技法】
1. 当题目条件有垂直关系时,常转化为数量积为零进行应用;
2. 当异面直线所成的角为时,常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算.应该注意的是,,所以
3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形,也可依据|a|=转化为向量求解.
【触类旁通】
【变式一】已知向量, ,且与互相垂直,则的值为( )
A. 2 B. 0 C. -1 D. 1
【答案】B
【变式二】【2017届河南省郑州、平顶山、濮阳市高三二模】已知空间四边形,满足, , , ,则的值( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
考点4 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算
【4-1】【2017届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】已知动点P在棱长为1的正方体的表面上运动,且线段,记点P的轨迹长度为.给出以下四个命题:
①; ②; ③
④函数在上是增函数, 在上是减函数.
其中为真命题的是___________(写出所有真命题的序号)
【答案】①④
【解析】
,故答案③不正确;由于时,单调递增且当时, 最大;当,单调递减,故答案④正确;应填答案①④。
【4-2】在空间直角坐标系中,点关于轴的对称点是,则点P 到坐标原点O的距离_____________.
【答案】
【解析】两点关于y轴对称,则两点的横坐标,竖坐标互为相反数,纵坐标相同,所以由点关于轴的对称点是可得 ,.
【领悟技法】
1.求向量的数量积的方法:
①设向量a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cos θ;
②若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a·b=x1x2+y1y2+z1z2.
根据已知条件,准确选择上述两种方法,可简化计算.
2.求向量模的方法:
①|a|=;
②若a=(x,y,z),则|a|=.
3.空间向量的坐标运算
(1)设i、j、k为两两垂直的单位向量,如果,则叫做向量的坐标.
(2)设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么
①a±b=.
②a·b=,
③cos〈a,b〉=,
④|a|== ,
⑤λa=,
⑥a∥b⇔(λ∈R),
⑦a⊥b⇔.
(3)设点M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2),
则
【触类旁通】
【变式一】在空间直角坐标系中的点,有下列叙述:
①点关于横轴(轴)的对称点是;
②点关于坐标平面的对称点为;
③点关于纵轴(轴)的对称点是;
④点关于坐标原点的对称点为.
其中错误的叙述个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】点关于横轴的对称点,故①错;对于②,点关于坐标平面的对称点为,故②错;对于③,点关于纵轴的对称点是,故③错;④正确.
【变式二】已知点M(a,b,c)是空间直角坐标系O﹣xyz中的一点,则与点M关于z轴对称的点的坐标是( )
A.(a,﹣b,﹣c) B.(﹣a,b,﹣c)
C.(﹣a,﹣b,c) D.(﹣a,﹣b,﹣c)
【答案】C
【易错试题常警惕】
易错典例1.【浙江卷】已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
易错分析:用向量方法解决立体几何问题时,基底选择不当容易出现错误.
正确解析:如图,在图(1)中,易知AE=CF=,BE=EF=FD=.
答案:B
温馨提醒:(1)用向量法解决立体几何问题的关键是找到合适的基底,且该基底既能反映条件的特征,也能方便地与结论联系;例如本题中,翻折过程中二面角大小在变化,即,因此以为基向量,同时也便于运算.(2)注意将平面图形分析到位,并将已知条件转化到立体图形中去.
易错典例2.已知,则直线AD与BC( )
A.平行 B.相交
C.重合 D.平行或重合
易错分析:误解了向量平行的概念,两个向量平行,它们所在的直线可能平行或重合,是哪一种情形要视具体问题而定.
正确解析:因为,所以∥,又和有公共的端点B,所以A,B,C三点共线;因为=3,又与有公共的端点C,所以B,C,D三点共线.所以A,B,C,D四点共线,所以直线AD与BC重合.选C.
答案:C
温馨提醒:1.注意向量夹角的确定,避免首尾相连的向量夹角确定错误;2
.注意向量夹角与两直线夹角的区别;3.注意向量共线与两直线平行与重合的区别.
【学科素养提升之思想方法篇】
化“生”为“熟”——转化与化归的思想方法
1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法,数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归,数形结合思想体现了数与形的相互转化;函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化,以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说,转化与化归是数学思想方法的灵魂.
2. 转化包括等价转化和非等价转化,非等价转化又分为强化转化和弱化转化
等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的,这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果,非等价转化其过程则是充分的或必要的,这样的转化能给人带来思维的启迪,找到解决问题的突破口,非等价变形要对所得结论进行必要的修改.
非等价转化(强化转化和弱化转化)在思维上带有跳跃性,是难点,在压轴题的解答中常常用到,一定要特别重视!
3.转化与化归的原则
(1)熟悉化原则:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题;
(2)直观化原则:将抽象的问题转化为具体的直观的问题;
(3)简单化原则:将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的特殊的问题;将实际问题转化为数学问题,使问题便与解决.
(4)正难则反原则:若过正面问题难以解决,可考虑问题的反面,从问题的反面寻求突破的途径;
(5)低维度原则:将高维度问题转化成低维度问题.
4.转化与化归的基本类型
(1) 正与反、一般与特殊的转化;
(2) 常量与变量的转化;
(3) 数与形的转化;
(4) 数学各分支之间的转化;
(5) 相等与不相等之间的转化;
(6) 实际问题与数学模型的转化.
5.常见的转化方法
(1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题;
(2)换元法:运用“换元”把非标准形式的方程、不等式、函数转化为容易解决的基本问题;
(3)参数法:引进参数,使原问题的变换具有灵活性,易于转化;
(4)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决的问题;
(5)坐标法:以坐标系为工具,用代数方法解决解析几何问题,是转化方法的一种重要途径;
(6)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定转化的途径;
(7)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊化后的结论适合原问题;
(8)一般化方法:若原问题是某个一般化形式问题的特殊形式且有较难解决,可将问题通过一般化的途径进行转化;
(9)等价问题法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到转化目的;
(10)补集法:(正难则反)若过正面问题难以解决,可将问题的结果看作集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过解决全集U及补集获得原问题的解决.
立体几何中的转化与化归,主要利用直接转化法或坐标法,将空间问题转化成平面问题、将几何问题转化成代数问题加以解决.
【典例】三棱锥中,两两垂直且相等,点分别是线段和上移动,且满足,,则和所成角余弦值的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
因为对称轴为,所以关于为递增函数,关于为递增函数.
又因为与独立取值,所以,所以和所成角余弦值的取值范围为,即为所求.