【数学】2019届一轮复习人教A版等比数列及其前n项和学案 18页

第3讲　等比数列及其前n项和 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　等比数列的有关概念 ‎1．定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.‎ ‎2．等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab(ab≠0)．‎ 考点2　等比数列的有关公式 ‎1．通项公式：an＝a1qn－1.‎ ‎2．前n项和公式：Sn＝ ‎[必会结论]‎ 等比数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．‎ ‎(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝a.‎ ‎(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．‎ ‎(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.‎ ‎(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.‎ ‎(6)等比数列{an}满足或时，{an}是递增数列；满足或时，{an}是递减数列．‎ ‎[考点自测]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．(　　)‎ ‎(2)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　)‎ ‎(3)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.(　　)‎ ‎(4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　)‎ ‎(5)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×‎ ‎2．[2018·河南名校联考]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a‎2a‎3a4，则公比q的值为(　　)‎ A. B. C．2 D．3‎ 答案　D 解析　由a9＝a‎2a‎3a4得a1q8＝aq6，所以q2＝a，因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.故选D.‎ ‎3．[课本改编]等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋‎10a1，a5＝9，则a1＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　由已知条件及S3＝a1＋a2＋a3，得a3＝‎9a1，设数列{an}的公比为q，则q2＝9.‎ 所以a5＝9＝a1·q4＝‎81a1，得a1＝.故选C.‎ ‎4．[2018·黄冈调研]设等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则的值(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　根据等比数列的公式，得＝＝＝＝.故选A.‎ ‎5．[2015·全国卷Ⅰ]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.‎ 答案　6‎ 解析　∵a1＝2，an＋1＝2an，‎ ‎∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.‎ ‎6．[2018·衡中检测]在等比数列{an}中，若a4－a2＝6，a5－a1＝15，则a3＝________.‎ 答案　4或－4‎ 解析　设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，则 两式相除，得＝，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝.‎ 所以或故a3＝4或a3＝－4.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　等比数列的基本运算　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1　(1)[2017·全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“‎ 远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　)‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 答案　B 解析　设塔的顶层的灯数为a1，七层塔的总灯数为S7，公比为q，则由题意知S7＝381，q＝2，∴S7＝＝＝381，解得a1＝3.故选B.‎ ‎(2)[2017·江苏高考]等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝________.‎ 答案　32‎ 解析　设{an}的首项为a1，公比为q，‎ 则 两式相除得＝＝，‎ 解得所以a8＝×27＝25＝32.‎ 触类旁通 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)所求问题可迎刃而解．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．‎ ‎【变式训练1】　(1)[2018·东北师大附中月考]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，则＝(　　)‎ A．4n－1 B．4n－1‎ C．2n－1 D．2n－1‎ 答案　D 解析　设等比数列的公比为q，由题意，‎ 得解得 则an＝a1·n－1＝，Sn＝＝，所以＝2n－1.故选D.‎ ‎(2)[2018·安徽皖江名校联考]已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝________.‎ 答案　128‎ 解析　∵a2·a4＝a＝16，∴a3＝4(负值舍去)，‎ ‎∵a3＝a1q2＝4，S3＝7，∴q≠1，S2＝＝＝3，‎ ‎∴3q2－4q－4＝0，解得q＝－或q＝2，∵an>0，∴q＝－舍去，∴q＝2，∴a1＝1，∴a8＝27＝128.‎ 考向　等比数列的性质 命题角度1　等比数列性质的应用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例2　(1)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a‎1a‎2a3＝5，a‎7a‎8a9＝10，则a‎4a‎5a6＝(　　)‎ A．5 B．‎7 C．6 D．4 答案　A 解析　(a‎1a‎2a3)×(a‎7a‎8a9)＝a＝50，a‎4a‎5a6＝a＝5.选A.‎ ‎(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a‎2a6＝64，则S5＝________.‎ 答案　31‎ 解析　a‎3a5＝a‎2a6＝64，因为a3＋a5＝20，所以a3和a5为方程x2－20x＋64＝0的两根，因为an>0，q>1，所以a30的思维定式的影响，遗漏当q<0时的情况，认为S3＝＋1＋q≥3.‎ 解析　因为等比数列{an}中a2＝1，设其公比为q，所以S3＝a1＋a2＋a3＝a2＝1＋q＋.‎ 当公比q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2＝3，当且仅当q＝1时，等号成立；‎ 当公比q<0时，S3＝1－≤1－2＝－1，当且仅当q＝－1时，等号成立．‎ 所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．‎ 答案　D 答题启示　等比数列的公比q<0时，相邻两项一定异号，相隔一项的两项符号一定相同；等比数列的公比q>0时，数列中的各项符号相同；用等比数列前n项和公式时，如果其公比q不确定，要分q＝1和q≠1两种情况进行讨论.‎ ‎　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 跟踪训练 已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a‎5a6＝－8，则a1＋a10＝(　　)‎ A．7 B．‎5 C．－5 D．－7‎ 答案　D 解析　由已知得 解得或 当a4＝4，a7＝－2时，易得a1＝－8，a10＝1，‎ 从而a1＋a10＝－7；‎ 当a4＝－2，a7＝4时，易得a10＝－8，a1＝1，‎ 从而a1＋a10＝－7.故选D.‎ 板块四　模拟演练·提能增分 ‎ [A级　基础达标]‎ ‎1．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于(　　)‎ A．3 B．－‎3 C．－1 D．1‎ 答案　A 解析　两等式相减得a4－a3＝‎2a3，从而求得＝3＝q.故选A.‎ ‎2．已知等比数列{an}满足a1＝，a‎3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)‎ A．2 B．‎1 C. D. 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比为q，a1＝，a‎3a5＝4(a4－1)，由题可知q≠1，则a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，∴×q6＝4，∴q6－16q3＋64＝0，∴(q3－8)2＝0，∴q3＝8，∴q＝2，∴a2＝.故选C.‎ ‎3．[2018·江西九江一模]已知单调递增的等比数列{an}中，a2·a6＝16，a3＋a5＝10，则数列{an}的前n项和Sn＝(　　)‎ A．2n－2－ B．2n－1－ C．2n－1 D．2n＋1－2‎ 答案　B 解析　因为a2·a6＝16，所以a3·a5＝16，又a3＋a5＝10，等比数列{an}单调递增，所以a3＝2，a5＝8，所以公比q＝2，a1＝，所以Sn＝＝2n－1－.故选B.‎ ‎4．[2018·延庆模拟]等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝(　　)‎ A．n(n＋1) B．n(n－1)‎ C. D. 答案　A 解析　∵a2，a4，a8成等比数列，‎ ‎∴a＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，‎ 将d＝2代入上式，解得a1＝2，‎ ‎∴Sn＝2n＋＝n(n＋1)．故选A.‎ ‎5．[2015·全国卷Ⅱ]已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(　　)‎ A．21 B．‎42 C．63 D．84‎ 答案　B 解析　设等比数列{an}的公比为q，则a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故选B.‎ ‎6．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a‎3a5＝a1，且a4与a7的等差中项为，则S5等于(　　)‎ A．35 B．‎33 C．31 D．29‎ 答案　C 解析　设等比数列{an}的公比是q，所以a‎3a5＝aq6＝a1，得a1q6＝，即a7＝.又a4＋a7＝2×，解得a4＝2，所以q3＝＝，所以q＝，a1＝16，故S5＝＝＝31.故选C.‎ ‎7．[2018·昆明模拟]设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝(　　)‎ A．2 B. C. D．1或2‎ 答案　B 解析　设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，‎ ‎∴S6＝7k，S4＝3k，∴＝＝.故选B.‎ ‎8．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则的值为________．‎ 答案　 解析　因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b＝1×9＝9，易知b2>0，所以b2＝3‎ ‎，所以＝.‎ ‎9．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0a，所以b－a≠0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0，解得x＝或x＝(舍去)．‎ ‎10．等比数列{an}满足：对任意n∈N*,2(an＋2－an)＝3an＋1，an＋1>an，则公比q＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由题知2(anq2－an)＝3anq，即2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－，又an＋1>an，故q＝2.‎ ‎[B级　知能提升]‎ ‎1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为 ‎(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　解法一：∵Sn＝x·3n－1－＝·3n－，‎ 由上述结论，得＝，∴x＝.‎ 解法二：当n＝1时，a1＝S1＝x－；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2.‎ ‎∵{an}是等比数列，∴n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，即2x·3－1＝x－，解得x＝.故选C.‎ ‎2．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1·am＋1－2am＝0，且T‎2m－1＝128，则m的值为(　　)‎ A．4 B．‎7 C．10 D．12‎ 答案　A 解析　因为{an}是等比数列，所以am－1am＋1＝a.又am－1am＋1－2am＝0，则a－2am＝0.所以am＝2. 由等比数列的性质可知前‎2m－1项积T‎2m－1＝a，即‎22m－1＝128，故m＝4.选A.‎ ‎3．[2016·全国卷Ⅰ]设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a‎1a2…an的最大值为________．‎ 答案　64‎ 解析　设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，得a1＝8，q＝，所以an＝n－4(n∈N*)，即数列为递减数列．当n≤4时，an≥1；当n≥5时，0