【数学】2020届一轮复习人教A版含参数的常用逻辑问题数学案 6页

‎ 专题一 集合与常用逻辑用语 问题二：含参数的常用逻辑问题 一、考情分析 集合是高考数考查热点内容,难度中等或中等以下.判断命题的真假、全称命题与特称命题的否定,充分条件与必要条件的判断,是考查的主要形式,常与其他知识交汇考查,其中由命题真假或两条件之间的关系确定参数范围,是本节中的一个难点．‎ 二、经验分享 ‎(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；‎ ‎(2)注意下面两种叙述方式的区别：①p是q的充分不必要条件；②p的充分不必要条件是q.‎ ‎(3)充分条件、必要条件的三种判定方法 ①定义法：根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题．‎ ②集合法：根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．‎ ③等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题．‎ ‎(4)充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：‎ ①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．=‎ ②要注意区间端点值的检验．‎ ‎(5)“p∨q”“p∧q”“ p”等形式命题真假的判断步骤 ①确定命题的构成形式；‎ ②判断其中命题p、q的真假；‎ ③确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．‎ ‎(6)判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x＝x0,使p(x0)成立．‎ ‎(7)对全(特)称命题进行否定的方法 ‎①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词．‎ ‎②对原命题的结论进行否定．‎ ‎(8)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决．‎ 三、知识拓展 ‎1．从集合角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即A＝{x|p(x)},B＝{x|q(x)},则关于充分条件、必要条件又可以叙述为 ‎(1)若AB,则p是q的充分条件；‎ ‎(2)若AB,则p是q的必要条件；‎ ‎(3)若A＝B,则p是q的充要条件；‎ ‎(4)若AB,则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(5)若AB,则p是q的必要不充分条件；‎ ‎2．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律 ‎(1)p∨q：p、q中有一个为真,则p∨q为真,即有真为真；‎ ‎(2)p∧q：p、q中有一个为假,则p∧q为假,即有假即假；‎ ‎(3)p：与p的真假相反,即一真一假,真假相反．.‎ ‎3．“否命题”与“命题的否定”的区别．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念,“否命题”是对原命题既否定其条件,又否定其结论,而“命题的否定”是否定原命题,只否定命题的结论．‎ 四、题型分析 ‎(一)与充分条件、必要条件有关的参数问题 充分条件和必要条件的理解,可以翻译成“若则”命题的真假,或者集合与集合之间的包含关系,尤其转化为集合间的关系后,利用集合知识处理．‎ ‎【例1】【2017湖南省郴州市上期第一次质量监测】设集合,集合.已知命题,命题,且命题是命题的必要不充分条件,求实数的取值范围.‎ ‎【分析】先化简给定集合,再利用是的必要不充分条件 解题 ‎【点评】充分条件、必要条件的应用,一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．‎ ‎【小试牛刀】【2018届河北衡水高三上期分综合考试】已知命题 “关于的方程 有实根”,若为真命题的充分不必要条件为,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】为“方程没有实根”,由为真命题可得,解之得,由为真命题的充分不必要条件为,可得,解之得,故选B.‎ ‎(二)与逻辑联接词有关的参数问题 逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关,由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关,其中往往会涉及参数的取值范围问题．根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围．‎ ‎【例2】【2017宁夏育才中月考】已知命题函数在区间上单调递增；命题函数的图象上任意一点处的切线斜率恒大于1,若“”为真命题,“”也为真命题,求实数的取值范围.‎ ‎【分析】先确定 真值相同．再根据,同真时或同假确定实数的取值范围.‎ ‎【点评】含逻辑联结词的命题的真假要转化为简单命题的真假,解题时要首先考虑简单命题为真时参数的范围．然后再根据复合命题的真假列不等式(组)求参数范围 ‎【小试牛刀】【2018届湖北省高中期中联考】已知命题 “函数在区间上是增函数”；命题 “存在,使成立”,若为真命题,则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎(三)与全称命题、特称命题真假有关的参数问题 全称命题和特称命题从逻辑结构而言,是含义相反的两种命题,利用正难则反的思想互相转化,达到解题的目的．‎ ‎【例3】若命题“使得”为假命题,则实数的取值范围是 （ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【分析】命题“使得”的否定是真命题,故将本题转化为恒成立问题求解．‎ ‎【解析】由命题“使得”为假命题,则命题“使得”为真命题．所以．故选（C）．‎ ‎【点评】已知命题为假命题,则其否定是真命题,故将该题转化为恒成立问题处理．‎ ‎【小试牛刀】【2017山东潍坊2017届高三上期期中联考】已知,设,成立；,成立,如果“”为真,“”为假,求的取值范围. ‎ ‎【答案】或．‎ ‎【解析】若为真：对,恒成立,设,配方得,∴在上的最小值为,∴,解得,∴为真时：‎ ‎；若为真：,成立,∴成立.设,‎ 易知在上是增函数,∴的最大值为,∴,∴为真时,,‎ ‎∵”为真,“”为假,∴与一真一假,当真假时,∴,当假真时,∴,综上所述,的取值范围是或.‎ ‎（四）与全称量词、特称量词有关的参数问题 全称量词“”表示对于任意一个,指的是在指定范围内的恒成立问题,而特称量词“”表示存在一个,指的是在指定范围内的有解问题,上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围．‎ ‎【例3】已知命题：“”,命题：“”．‎ 若命题“且”是真命题,则实数的取值范围为（ ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【分析】若命题“且”是真命题,则命题都是真命题,首先将命题对应的参数范围求出来,求交集即可．‎ ‎【解析】若p为真,则即对恒成立,因为的最小值为1,则a≤1,若q为真,即有实根,则=,解得或a≥1,所以命题“且”是真命题,则实数a满足或,故选A．‎ ‎【点评】命题是恒成立问题,命题是有解问题．‎ ‎【小试牛刀】【2018届辽宁省鞍山高三期中模拟考试】已知命题“,使”是假命题,则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】原命题是假命题,所以其否定“, ”是真命题 ‎,解得 ,故选B