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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版(文)6-2等差数列及其前n项和学案

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‎ 6.2 等差数列及其前n项和 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解等差数列的概念.‎ ‎2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.‎ ‎4.了解等差数列与一次函数的关系.‎ 以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主,等差数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查,也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.‎ ‎1.等差数列的定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.‎ ‎2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.‎ ‎3.等差中项 由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.‎ ‎4.等差数列的常用性质 ‎(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).‎ ‎(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.‎ ‎(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.‎ ‎(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.‎ ‎(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.‎ ‎(6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列.‎ ‎5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=或Sn=na1+d.‎ ‎6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn=n2+n.‎ 数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).‎ ‎7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.‎ 知识拓展 等差数列的四种判断方法 ‎(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.‎ ‎(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.‎ ‎( × )‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ )‎ ‎(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × )‎ ‎(4)已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为-2.( √ )‎ ‎(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √ )‎ ‎(6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.‎ ‎( √ )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P46A组T2]设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )‎ A.31 B.32‎ C.33 D.34‎ 答案 B 解析 由已知可得 解得 ‎∴S8=8a1+d=32.‎ ‎3.[P39T5]在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=________.‎ 答案 180‎ 解析 由等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180.‎ 题组三 易错自纠 ‎4.一个等差数列的首项为,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是( )‎ A.d> B.d< C.0,a7+a10<0,则当n=_______时,{an}的前n项和最大.‎ 答案 8‎ 解析 因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.‎ 故当n=8时,其前n项和最大.‎ ‎6.一物体从1960m的高空降落,如果第1秒降落4.90m,以后每秒比前一秒多降落9.80m,那么经过________秒落到地面.‎ 答案 20‎ 解析 设物体经过t秒降落到地面.‎ 物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.‎ 所以4.90t+t(t-1)×9.80=1960,‎ 即4.90t2=1960,解得t=20.‎ 题型一 等差数列基本量的运算 ‎1.(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )‎ A.1B.2C.4D.8‎ 答案 C 解析 设{an}的公差为d,‎ 由得 解得d=4.故选C.‎ ‎2.(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于( )‎ A.100B.99C.98D.97‎ 答案 C 解析 由等差数列性质,知S9===9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公差d==1,‎ ‎∴a100=a10+90d=98,故选C.‎ 思维升华等差数列运算问题的通性通法 ‎(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.‎ ‎(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.‎ 题型二 等差数列的判定与证明 典例已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).‎ ‎(1)求证:数列{bn}是等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.‎ ‎(1)证明 因为an=2-(n≥2,n∈N*),‎ bn=(n∈N*),‎ 所以bn+1-bn=- ‎=-=-=1.‎ 又b1==-.‎ 所以数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.‎ ‎(2)解 由(1)知bn=n-,则an=1+=1+.‎ 设f(x)=1+,‎ 则f(x)在区间和上为减函数.‎ 所以当n=3时,an取得最小值-1,当n=4时,an取得最大值3.‎ 引申探究 本例中,若将条件变为a1=,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an}的通项公式.‎ 解 由已知可得=+1,即-=1,又a1=,‎ ‎∴是以=为首项,1为公差的等差数列,‎ ‎∴=+(n-1)·1=n-,∴an=n2-n.‎ 思维升华等差数列的四个判定方法 ‎(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.‎ ‎(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.‎ ‎(3)通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差数列.‎ ‎(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.‎ 跟踪训练若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.‎ ‎(1)求证:是等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明 当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,‎ 得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2,‎ 又==2,‎ 故是首项为2,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)解 由(1)可得=2n,∴Sn=.‎ 当n≥2时,‎ an=Sn-Sn-1=-= ‎=-.‎ 当n=1时,a1=不适合上式.‎ 故an= 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质 典例 (2018届河北武邑中学调研)数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),且a2+a4+a6=12,则a3+a4+a5等于( )‎ A.9B.10C.11D.12‎ 答案 D 解析 数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),则数列{an}是等差数列,利用等差数列的性质可知,a3+a4+a5=a2+a4+a6=12.故选D.‎ 命题点2 等差数列前n项和的性质 典例 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )‎ A.63B.45C.36D.27‎ 答案 B 解析 由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),‎ 得到S9-S6=2S6-3S3=45,故选B.‎ ‎(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2014,-=6,则S2018=________.‎ 答案 6054‎ 解析 由等差数列的性质可得也为等差数列.‎ 设其公差为d,则-=6d=6,∴d=1.‎ 故=+2017d=-2014+2017=3,‎ ‎∴S2018=3×2018=6054.‎ 思维升华等差数列的性质 ‎(1)项的性质:在等差数列{an}中,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.‎ ‎(2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则 ‎①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);‎ ‎②S2n-1=(2n-1)an.‎ 跟踪训练 (1)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若am=10,S2m-1=110,则m的值为________.‎ 答案 6‎ 解析 ∵{an}是等差数列,‎ ‎∴S2m-1=×(2m-1)‎ ‎=(2m-1)am=10(2m-1)=110,可得m=6.‎ ‎(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若=,则等于( )‎ A.B.C.D. 答案 A 解析 ==== ‎==.‎ 等差数列的前n项和及其最值 考点分析公差不为0的等差数列,求其前n项和与最值在高考中时常出现,题型有小题,也有大题,难度不大.‎ 典例1(1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54,则此数列前10项的和S10等于( )‎ A.45 B.60‎ C.75 D.90‎ ‎(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=________.‎ 解析 (1)由题意得a3+a8=9,‎ 所以S10====45.‎ ‎(2)方法一 设数列{an}的首项为a1,公差为d,‎ 则解得 所以S110=110a1+d=-110.‎ 方法二 因为S100-S10==-90,‎ 所以a11+a100=-2,‎ 所以S110= ‎==-110.‎ 答案 (1)A (2)-110‎ 典例2在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.‎ 规范解答 解 ∵a1=20,S10=S15,‎ ‎∴10×20+d=15×20+d,‎ ‎∴d=-.‎ 方法一 由an=20+(n-1)×=-n+,‎ 得a13=0.‎ 即当n≤12时,an>0,当n≥14时,an<0.‎ ‎∴当n=12或n=13时,Sn取得最大值,‎ 且最大值为S12=S13=12×20+×=130.‎ 方法二 Sn=20n+· ‎=-n2+n=-2+.‎ ‎∵n∈N*,∴当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.‎ 方法三 由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.‎ ‎∴5a13=0,即a13=0.‎ ‎∴当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.‎ ‎1.已知等差数列{an}满足:a3=13,a13=33,则a7等于( )‎ A.19 B.20‎ C.21 D.22‎ 答案 C 解析 在等差数列{an}中,d==2,‎ 则a7=a3+4d=13+8=21.故选C.‎ ‎2.(2018·日照模拟)由公差为d的等差数列a1,a2,a3,…组成的新数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…是( )‎ A.公差为d的等差数列 B.公差为2d的等差数列 C.公差为3d的等差数列 D.非等差数列 答案 B 解析 设新数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…的第n项是bn,则bn=an+an+3=2a1+(n-1)d+(n+2)d=2a1+(2n+1)d,∴bn+1-bn=2d,∴新数列是以2d为公差的等差数列,故选B.‎ ‎3.(2018届贵州黔东南州联考)已知等差数列的前3项依次为a,a+2,3a,前n项和为Sn,且Sk=110,则k的值为( )‎ A.9 B.11‎ C.10 D.12‎ 答案 C 解析 由a,a+2,3a成等差数列,得2(a+2)=a+3a,解得a=2,所以d=4-2=2,所以Sk=2k+×2=k2+k=110,解得k=10,故选C.‎ ‎4.(2018届广东广州海珠区综合测试)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则{an}的前6项和为( )‎ A.-20 B.-18‎ C.-16 D.-14‎ 答案 B 解析 等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a=a1a4,即(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,S6=6×(-8)+×2=-18,故选B.‎ ‎5.(2017·唐山统考)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=22,则a3+a7+a8等于( )‎ A.18 B.12‎ C.9 D.6‎ 答案 D 解析 由题意得S11===22,即a1+5d=2,所以a3+a7+a8=a1+2d+a1+6d+a1+7d=3(a1+5d)=6,故选D.‎ ‎6.(2017·湖南省湘中名校联考)若{an}是等差数列,首项a1>0,a2016+a2017>0,a2016·a2017<0,则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是( )‎ A.2016 B.2017‎ C.4032 D.4033‎ 答案 C 解析 因为a1>0,a2016+a2017>0,a2016·a2017<0,所以d<0,a2016>0,a2017<0,所以S4032==>0,S4033==4033a2017<0,所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4032,故选C.‎ ‎7.(2018届江苏淮安盱眙中学调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-3,ak+1=,Sk=-15,则正整数k=________.‎ 答案 17‎ 解析 ∵等差数列{an}的前n项和为Sn,‎ a1=-3,ak+1=,Sk=-15,Sk+1=Sk+ak+1,‎ ‎∴Sk+1==-15+,解得k=17.‎ ‎8.等差数列{an}中的a4,a2016是3x2-12x+4=0的两根,则=________.‎ 答案 - 解析 因为a4和a2016是3x2-12x+4=0的两根,所以a4+a2016=4.又a4,a1010,a2016成等差数列,所以2a1010=a4+a2016,即a1010=2,所以=-.‎ ‎9.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为今有女子善织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布.若第一天织5尺布,现在一个月(按30天计)共织390尺布,则该女最后一天织________尺布.‎ 答案 21‎ 解析 由题意得,织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列,设为{an},其中a1=5,前30项和为390,于是有=390,解得a30=21,即该织女最后一天织21尺布.‎ ‎10.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________.‎ 答案 130‎ 解析 由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0,得n≥5,∴当n≤5时,an≤0,当n>5时,an>0,∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.‎ ‎11.(2016·全国Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ 解 (1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,‎ 由题意得解得 所以{an}的通项公式为an=.‎ ‎(2)由(1)知,bn=.‎ 当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;‎ 当n=4,5时,2≤<3,bn=2;‎ 当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;‎ 当n=9,10时,4≤<5,bn=4.‎ 所以数列{bn}的前10项和为 ‎1×3+2×2+3×3+4×2=24.‎ ‎12.(2018·贵州质检)已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=a+n-4(n∈N*).‎ ‎(1)求证:数列{an}为等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ ‎(1)证明 当n=1时,有2a1=a+1-4,‎ 即a-2a1-3=0,‎ 解得a1=3(a1=-1舍去).‎ 当n≥2时,有2Sn-1=a+n-5,‎ 又2Sn=a+n-4,‎ 两式相减得2an=a-a+1,‎ 即a-2an+1=a,也即(an-1)2=a,‎ 因此an-1=an-1或an-1=-an-1.‎ 若an-1=-an-1,则an+an-1=1.而a1=3,‎ 所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,‎ 所以an-1=an-1,即an-an-1=1,‎ 因此数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列.‎ ‎(2)解 由(1)知a1=3,d=1,‎ 所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)×1=n+2,‎ 即an=n+2.‎ ‎13.(2017·郑州一模)设数列{an}满足:a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则a20的值是______.‎ 答案 解析 ∵2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,‎ ‎∴数列{nan}是以a1=1为首项,2a2-a1=5为公差的等差数列,∴20a20=1+5×19=96,‎ 解得a20==.‎ ‎14.已知数列{an}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10=________.‎ 答案 解析 ∵=+,∴-=,‎ ‎∴是以=1为首项,为公差的等差数列,‎ ‎∴=+(10-1)×=1+3=4,‎ 故a10=.‎ ‎15.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=________.‎ 答案 5‎ 解析 ∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,‎ ‎∴数列也为等差数列.‎ ‎∴+=,即+=0,‎ 解得m=5,经检验符合题意.‎ ‎16.(2017·保定一模)设等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N*),其前n项和为Sn,若数列{}也为等差数列,则的最大值是________.‎ 答案 121‎ 解析 设数列{an}的公差为d,‎ 由题意得2=+,‎ 因为a1=1,所以2=+,‎ 化简可得d=2a1=2,‎ 所以an=1+(n-1)×2=2n-1,‎ Sn=n+×2=n2,‎ 所以==2‎ ‎=2‎ ‎=2.‎ 又为单调递减数列,‎ 所以≤=112=121.‎

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