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- 2021-06-16 发布
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6.2 等差数列及其前n项和
最新考纲
考情考向分析
1.理解等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
以考查等差数列的通项、前n项和及性质为主,等差数列的证明也是考查的热点.本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查,也可以以解答题的形式进行考查.解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.
1.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d.
3.等差中项
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时,A叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.
(4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列.
5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=或Sn=na1+d.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn=n2+n.
数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
7.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
知识拓展
等差数列的四种判断方法
(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)⇔{an}是等差数列.
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列.
(3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)⇔{an}是等差数列.
(4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)⇔{an}是等差数列.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.
( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × )
(4)已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为-2.( √ )
(5)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √ )
(6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.
( √ )
题组二 教材改编
2.[P46A组T2]设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( )
A.31 B.32
C.33 D.34
答案 B
解析 由已知可得
解得
∴S8=8a1+d=32.
3.[P39T5]在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=________.
答案 180
解析 由等差数列的性质,得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=180.
题组三 易错自纠
4.一个等差数列的首项为,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是( )
A.d> B.d<
C.0,a7+a10<0,则当n=_______时,{an}的前n项和最大.
答案 8
解析 因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.
故当n=8时,其前n项和最大.
6.一物体从1960m的高空降落,如果第1秒降落4.90m,以后每秒比前一秒多降落9.80m,那么经过________秒落到地面.
答案 20
解析 设物体经过t秒降落到地面.
物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.
所以4.90t+t(t-1)×9.80=1960,
即4.90t2=1960,解得t=20.
题型一 等差数列基本量的运算
1.(2017·全国Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( )
A.1B.2C.4D.8
答案 C
解析 设{an}的公差为d,
由得
解得d=4.故选C.
2.(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于( )
A.100B.99C.98D.97
答案 C
解析 由等差数列性质,知S9===9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公差d==1,
∴a100=a10+90d=98,故选C.
思维升华等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.
题型二 等差数列的判定与证明
典例已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.
(1)证明 因为an=2-(n≥2,n∈N*),
bn=(n∈N*),
所以bn+1-bn=-
=-=-=1.
又b1==-.
所以数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知bn=n-,则an=1+=1+.
设f(x)=1+,
则f(x)在区间和上为减函数.
所以当n=3时,an取得最小值-1,当n=4时,an取得最大值3.
引申探究
本例中,若将条件变为a1=,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an}的通项公式.
解 由已知可得=+1,即-=1,又a1=,
∴是以=为首项,1为公差的等差数列,
∴=+(n-1)·1=n-,∴an=n2-n.
思维升华等差数列的四个判定方法
(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.
(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.
(3)通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差数列.
(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
跟踪训练若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 当n≥2时,由an+2SnSn-1=0,
得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2,
又==2,
故是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解 由(1)可得=2n,∴Sn=.
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-=
=-.
当n=1时,a1=不适合上式.
故an=
题型三 等差数列性质的应用
命题点1 等差数列项的性质
典例 (2018届河北武邑中学调研)数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),且a2+a4+a6=12,则a3+a4+a5等于( )
A.9B.10C.11D.12
答案 D
解析 数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),则数列{an}是等差数列,利用等差数列的性质可知,a3+a4+a5=a2+a4+a6=12.故选D.
命题点2 等差数列前n项和的性质
典例 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )
A.63B.45C.36D.27
答案 B
解析 由{an}是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
得到S9-S6=2S6-3S3=45,故选B.
(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1=-2014,-=6,则S2018=________.
答案 6054
解析 由等差数列的性质可得也为等差数列.
设其公差为d,则-=6d=6,∴d=1.
故=+2017d=-2014+2017=3,
∴S2018=3×2018=6054.
思维升华等差数列的性质
(1)项的性质:在等差数列{an}中,m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.
(2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
②S2n-1=(2n-1)an.
跟踪训练 (1)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若am=10,S2m-1=110,则m的值为________.
答案 6
解析 ∵{an}是等差数列,
∴S2m-1=×(2m-1)
=(2m-1)am=10(2m-1)=110,可得m=6.
(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若=,则等于( )
A.B.C.D.
答案 A
解析 ====
==.
等差数列的前n项和及其最值
考点分析公差不为0的等差数列,求其前n项和与最值在高考中时常出现,题型有小题,也有大题,难度不大.
典例1(1)在等差数列{an}中,2(a1+a3+a5)+3(a7+a9)=54,则此数列前10项的和S10等于( )
A.45 B.60
C.75 D.90
(2)在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=________.
解析 (1)由题意得a3+a8=9,
所以S10====45.
(2)方法一 设数列{an}的首项为a1,公差为d,
则解得
所以S110=110a1+d=-110.
方法二 因为S100-S10==-90,
所以a11+a100=-2,
所以S110=
==-110.
答案 (1)A (2)-110
典例2在等差数列{an}中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
规范解答
解 ∵a1=20,S10=S15,
∴10×20+d=15×20+d,
∴d=-.
方法一 由an=20+(n-1)×=-n+,
得a13=0.
即当n≤12时,an>0,当n≥14时,an<0.
∴当n=12或n=13时,Sn取得最大值,
且最大值为S12=S13=12×20+×=130.
方法二 Sn=20n+·
=-n2+n=-2+.
∵n∈N*,∴当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
方法三 由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.
∴5a13=0,即a13=0.
∴当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为S12=S13=130.
1.已知等差数列{an}满足:a3=13,a13=33,则a7等于( )
A.19 B.20
C.21 D.22
答案 C
解析 在等差数列{an}中,d==2,
则a7=a3+4d=13+8=21.故选C.
2.(2018·日照模拟)由公差为d的等差数列a1,a2,a3,…组成的新数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…是( )
A.公差为d的等差数列
B.公差为2d的等差数列
C.公差为3d的等差数列
D.非等差数列
答案 B
解析 设新数列a1+a4,a2+a5,a3+a6,…的第n项是bn,则bn=an+an+3=2a1+(n-1)d+(n+2)d=2a1+(2n+1)d,∴bn+1-bn=2d,∴新数列是以2d为公差的等差数列,故选B.
3.(2018届贵州黔东南州联考)已知等差数列的前3项依次为a,a+2,3a,前n项和为Sn,且Sk=110,则k的值为( )
A.9 B.11
C.10 D.12
答案 C
解析 由a,a+2,3a成等差数列,得2(a+2)=a+3a,解得a=2,所以d=4-2=2,所以Sk=2k+×2=k2+k=110,解得k=10,故选C.
4.(2018届广东广州海珠区综合测试)已知等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则{an}的前6项和为( )
A.-20 B.-18
C.-16 D.-14
答案 B
解析 等差数列{an}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a=a1a4,即(a1+4)2=a1(a1+6),解得a1=-8,S6=6×(-8)+×2=-18,故选B.
5.(2017·唐山统考)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=22,则a3+a7+a8等于( )
A.18 B.12
C.9 D.6
答案 D
解析 由题意得S11===22,即a1+5d=2,所以a3+a7+a8=a1+2d+a1+6d+a1+7d=3(a1+5d)=6,故选D.
6.(2017·湖南省湘中名校联考)若{an}是等差数列,首项a1>0,a2016+a2017>0,a2016·a2017<0,则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是( )
A.2016 B.2017
C.4032 D.4033
答案 C
解析 因为a1>0,a2016+a2017>0,a2016·a2017<0,所以d<0,a2016>0,a2017<0,所以S4032==>0,S4033==4033a2017<0,所以使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是4032,故选C.
7.(2018届江苏淮安盱眙中学调研)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=-3,ak+1=,Sk=-15,则正整数k=________.
答案 17
解析 ∵等差数列{an}的前n项和为Sn,
a1=-3,ak+1=,Sk=-15,Sk+1=Sk+ak+1,
∴Sk+1==-15+,解得k=17.
8.等差数列{an}中的a4,a2016是3x2-12x+4=0的两根,则=________.
答案 -
解析 因为a4和a2016是3x2-12x+4=0的两根,所以a4+a2016=4.又a4,a1010,a2016成等差数列,所以2a1010=a4+a2016,即a1010=2,所以=-.
9.《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.”其意思为今有女子善织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布.若第一天织5尺布,现在一个月(按30天计)共织390尺布,则该女最后一天织________尺布.
答案 21
解析 由题意得,织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列,设为{an},其中a1=5,前30项和为390,于是有=390,解得a30=21,即该织女最后一天织21尺布.
10.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=________.
答案 130
解析 由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0,得n≥5,∴当n≤5时,an≤0,当n>5时,an>0,∴|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+110=130.
11.(2016·全国Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.
解 (1)设数列{an}的首项为a1,公差为d,
由题意得解得
所以{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知,bn=.
当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;
当n=4,5时,2≤<3,bn=2;
当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;
当n=9,10时,4≤<5,bn=4.
所以数列{bn}的前10项和为
1×3+2×2+3×3+4×2=24.
12.(2018·贵州质检)已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=a+n-4(n∈N*).
(1)求证:数列{an}为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明 当n=1时,有2a1=a+1-4,
即a-2a1-3=0,
解得a1=3(a1=-1舍去).
当n≥2时,有2Sn-1=a+n-5,
又2Sn=a+n-4,
两式相减得2an=a-a+1,
即a-2an+1=a,也即(an-1)2=a,
因此an-1=an-1或an-1=-an-1.
若an-1=-an-1,则an+an-1=1.而a1=3,
所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,
所以an-1=an-1,即an-an-1=1,
因此数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列.
(2)解 由(1)知a1=3,d=1,
所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)×1=n+2,
即an=n+2.
13.(2017·郑州一模)设数列{an}满足:a1=1,a2=3,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则a20的值是______.
答案
解析 ∵2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,
∴数列{nan}是以a1=1为首项,2a2-a1=5为公差的等差数列,∴20a20=1+5×19=96,
解得a20==.
14.已知数列{an}中,a1=1且=+(n∈N*),则a10=________.
答案
解析 ∵=+,∴-=,
∴是以=1为首项,为公差的等差数列,
∴=+(10-1)×=1+3=4,
故a10=.
15.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=________.
答案 5
解析 ∵数列{an}为等差数列,且前n项和为Sn,
∴数列也为等差数列.
∴+=,即+=0,
解得m=5,经检验符合题意.
16.(2017·保定一模)设等差数列{an}满足a1=1,an>0(n∈N*),其前n项和为Sn,若数列{}也为等差数列,则的最大值是________.
答案 121
解析 设数列{an}的公差为d,
由题意得2=+,
因为a1=1,所以2=+,
化简可得d=2a1=2,
所以an=1+(n-1)×2=2n-1,
Sn=n+×2=n2,
所以==2
=2
=2.
又为单调递减数列,
所以≤=112=121.