【数学】2020届一轮复习人教版（理）第11章第5讲数学归纳法学案 7页

第5讲　数学归纳法 ‎[考纲解读]　1.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的命题．(重点)‎ ‎2.数学归纳法的主要作用是证明与自然数有关的不等式及数列问题．(难点)‎ ‎[考向预测]　从近三年高考情况来看，对本讲并没有直接涉及，当遇到与正整数n有关的不等式的证明，且其他方法不易证时，可以考虑用数学归纳法进行证明求解.‎ 数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎1．(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；‎ ‎2．(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法．‎ ‎1．概念辨析 ‎(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　)‎ ‎(2)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　)‎ ‎(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用．(　　)‎ ‎(4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.(　　)‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．小题热身 ‎(1)下列结论能用数学归纳法证明的是(　　)‎ A．x>sinx，x∈(0，π)‎ B．ex≥x＋1(x∈R)‎ C．1＋＋＋…＋＝2－n－1(n∈N*)‎ D．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(α，β∈R)‎ 答案　C 解析　数学归纳法是用来证明与自然数有关的命题的一种方法，由此可知C符合题意．‎ ‎(2)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1时，等式左边的项是(　　)‎ A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3‎ 答案　C 解析　验证n＝1时，等式左边的项是1＋a＋a2.‎ ‎(3)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．‎ 答案　2k＋1‎ 解析　由于步长为2，所以2k－1后一个奇数应为2k＋1.‎ 题型 　用数学归纳法证明恒等式 设i为虚数单位，n为正整数，θ∈[0,2π)．用数学归纳法证明：(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ.‎ 证明　①当n＝1时，左边＝右边＝cosθ＋isinθ，所以命题成立；‎ ‎②假设当n＝k时，命题成立，即 ‎(cosθ＋isinθ)k＝coskθ＋isinkθ，‎ 则当n＝k＋1时，‎ ‎(cosθ＋isinθ)k＋1＝(cosθ＋isinθ)k·(cosθ＋isinθ)‎ ‎＝(coskθ＋isinkθ)(cosθ＋isinθ)‎ ‎＝(coskθcosθ－sinkθsinθ)＋i(sinkθcosθ＋coskθsinθ)‎ ‎＝cos(k＋1)θ＋isin(k＋1)θ，‎ 所以当n＝k＋1时，命题成立．‎ 综上，由①和②可得，(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ.‎ 数学归纳法证明等式的思路和注意点 ‎(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．‎ ‎(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．‎ 提醒：归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法.‎ 用数学归纳法证明：‎ ＋＋…＋＝(n∈N*)．‎ 证明　①当n＝1时，左边＝＝，‎ 右边＝＝，‎ 左边＝右边，等式成立．‎ ‎②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立．‎ 即＋＋…＋＝，‎ 当n＝k＋1时，‎ 左边＝＋＋…＋＋ ‎＝＋ ‎＝ ‎＝＝，‎ 右边＝ ‎＝，‎ 左边＝右边，等式成立．‎ 由①②知，对n∈N*，原等式成立．‎ 题型 　用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式·…·>均成立．‎ 证明　①当n＝2时，‎ 左边＝1＋＝，右边＝.‎ ‎∵左边>右边，∴不等式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立．‎ 即·…·>.‎ 则当n＝k＋1时，‎ ·…·· ‎>·＝ ‎＝> ‎＝＝.‎ ‎∴当n＝k＋1时，不等式也成立．‎ 由①②知对于一切大于1的自然数n，不等式成立．‎ 应用数学归纳法证明不等式应注意的问题 ‎(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．‎ ‎(2)关键：用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.‎ 求证：当n≥1(n∈N*)时，‎ ‎(1＋2＋…＋n)≥n2.‎ 证明　(1)当n＝1时，左边＝右边，命题成立．‎ 当n＝2时，左边＝(1＋2)＝>22，‎ 命题成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k≥2)时命题成立，即 ‎(1＋2＋…＋k)≥k2.‎ 则当n＝k＋1时，有 左边＝[(1＋2＋…＋k)＋(k＋1)]· ‎＝(1＋2＋…＋k)＋(1＋2＋…＋k)·＋(k＋1)＋1≥k2＋＋1＋(k＋1).‎ ‎∵当k≥2时，1＋＋…＋≥1＋＝，‎ ‎∴左边≥k2＋＋1＋(k＋1)×＝k2＋2k＋1＋≥(k＋1)2.‎ 这就是说当n＝k＋1时，命题成立．‎ 由(1)(2)可知当n≥1(n∈N*)时原命题成立．‎ 题型 　归纳—猜想—证明 如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，…，Pn(xn，yn)(00，所以a1＝2，‎ 同理可得a2＝6，a3＝12.‎ ‎(2)依题意，得xn＝，yn＝·，‎ 由此及y＝3xn得2＝(an－1＋an)，‎ 即(an－an－1)2＝2(an－1＋an)．‎ 由(1)可猜想：an＝n(n＋1)(n∈N*)．‎ 下面用数学归纳法予以证明：‎ ‎①当n＝1时，命题显然成立；‎ ‎②假设当n＝k时命题成立，即有an＝k(k＋1)，‎ 则当n＝k＋1时，‎ 由归纳假设及(ak＋1－ak)2＝2(ak＋ak＋1)得 ‎[ak＋1－k(k＋1)]2＝2[k(k＋1)＋ak＋1]，‎ 即a－2(k2＋k＋1)ak＋1＋[k(k－1)]·[(k＋1)(k＋2)]＝0，‎ 解得ak＋1＝(k＋1)(k＋2)或ak＋1＝k(k－1)0，n∈N*.‎ ‎(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明通项公式的正确性．‎ 解　(1)当n＝1时，‎ 由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.‎ 所以a1＝－1(a1>0)．‎ 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，‎ 将a1＝－1代入并整理得a＋2a2－2＝0.‎ 所以a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.‎ 猜想an＝－(n∈N*)．‎ ‎(2)证明：①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，‎ 即ak＝－.‎ 由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，‎ 将ak＝－代入上式并整理，得 a＋2ak＋1－2＝0，‎ 解得ak＋1＝－(负值舍去)．‎ 即当n＝k＋1时，通项公式也成立．‎ 由①和②，可知对所有n∈N*，an＝－都成立．‎