【数学】2019届一轮复习人教A版函数的奇偶性及周期性学案 20页

第三节 函数的奇偶性及周期性 1．函数的奇偶性 奇 偶性 定义 图象特 点 偶 函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数 关于 y 轴 对称 奇 函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 关于原 点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋ T)＝f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数 y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　) (3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　) (4)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称．(　　) (5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝x2sin x　　　　　　 B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：选 B　根据偶函数的定义知偶函数满足 f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是 奇函数也不是偶函数． 3．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是(　　) A．－1 3　　　　B.1 3　　　　C.1 2　　　　D．－1 2 解析：选 B　∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝ 1 3. 又 f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝1 3. 4．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋3)＝f(x)，且当 x∈[0，3 2 )时，f(x)＝－x3， 则 f( 11 2 )＝(　　) A．－1 8 B.1 8 C．－125 8 D.125 8 解析：选 B　由 f(x＋3)＝f(x)知函数 f(x)的周期为 3，又函数 f(x)为奇函数，所以 f( 11 2 ) ＝f(－1 2 )＝－f( 1 2 )＝( 1 2 )3＝1 8. 5．函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x>0 时，f(x)＝x＋1，则当 x<0 时，f(x)＝________. 解析：∵f(x)为奇函数，x>0 时，f(x)＝x＋1， ∴当 x<0 时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)， 即 x<0 时，f(x)＝－(－x＋1)＝x－1. 答案：x－1 6.设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]，若当 x∈[0,5]时，f(x)的图 象如图所示，则不等式 f(x)<0 的解集为________． 解析：由函数 f(x)为奇函数，作出函数在[－5,0)上的图象，由图 象知，不等式 f(x)<0 的解集为(－2,0)∪(2,5]． 答案：(－2,0)∪(2,5] 考点一　函数的奇偶性　　　　(基础送分型考点——自主练透) [考什么·怎么考] 函数的奇偶性问题是高考的热点，主要考查函数奇偶性的判断与函数奇偶性的应用， 多以选择、填空题的形式出现，属于中低档题. 考法(一)　函数奇偶性的判断 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 36－x2 |x＋3|－3； (2)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (3)f(x)＝log2(1－x2) |x－2|－2 ； (4)f(x)＝Error! 解：(1)由 f(x)＝ 36－x2 |x＋3|－3，可知Error!⇒Error!故函数 f(x)的定义域为{x|－60 时，f(x)＝x2－x，则当 x<0 时，－x>0，故 f(－x)＝x 2＋x＝f(x)； 当 x<0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x>0 时，－x<0，故 f(－x)＝x 2－x＝f(x)，故原函数是偶函 数． 法三：f(x)还可以写成 f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故 f(x)为偶函数． [题型技法]　判定函数奇偶性的 2 种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 考法(二)　函数奇偶性的应用 2．(2018·福建三明模拟)函数 y＝f(x)是 R 上的奇函数，当 x<0 时，f(x)＝2 x，则当 x>0 时，f(x)＝(　　) A．－2x　　　　　　　　　 B．2－x C．－2－x D．2x 解析：选 C　当 x>0 时，－x<0，∵x<0 时，f(x)＝2x，∴当 x>0 时，f(－x)＝2－x.∵f(x) 是 R 上的奇函数，∴当 x>0 时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x. 3．(2018·合肥八中模拟)若函数 f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数，则 a＝________. 解析：∵f(x)＝xln(x＋ a＋x2)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，即－xln( a＋x2－x)＝xln(x＋ a＋x2)，从而 ln[( a＋x2)2－x2]＝0，即 ln a＝0，故 a＝1. 答案：1 [题型技法]　函数奇偶性的应用 (1)求函数解析式 ①将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；②将转化后的自变量 代入已知解析式；③利用函数的奇偶性求出解析式． (2)求参数值 在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足 f(－x)＝－f(x)或偶函数满足 f(－x)＝ f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的 定义域中包含 0，可以根据 f(0)＝0 列式求解，若不能确定则不可用此法． [注意]　利用“奇函数在关于原点对称的区间上有最值，则 f(x)max＋f(x)min＝0”的性质 解决有关最值问题． [怎样快解·准解] 1．力避失误稳得分 (1)首先必须判断 f(x)的定义域是否关于原点对称．若不关于原点对称，则是非奇非偶 函数．若关于原点对称，则需定义域内的任意 x 满足定义．若否定函数的奇偶性只需有一 个自变量不满足．(如第 1 题(1))． (2)有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误， (如第 1 题(2)，若不化简可能会出现误判)，(如第 1 题(3)可能会误判为非奇非偶函数)． (3)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(－x)与 f(x)的关系，只有对各段上的 x 都满 足相同的关系时，才能判断其奇偶性．(如第 1 题(4))． 2．利用二级结论快得分 (1)对于运算函数有如下结论： 奇±奇为奇；偶±偶为偶；奇±偶为非奇非偶； 奇×(÷)奇为偶；奇×(÷)偶为奇；偶×(÷)偶为偶． (2)若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则函数 f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的 和的形式．记偶函数 g(x)＝1 2[f(x)＋f(－x)]，奇函数 h(x)＝1 2[f(x)－f(－x)]，则 f(x)＝g(x) ＋h(x)． (3)复合函数 y＝f[g(x)]的奇偶性原理：内偶则偶，两奇为奇． (4)若奇函数 y＝f(x)在 x＝0 处有意义，则有 f(0)＝0；偶函数 y＝f(x)必满足 f(x)＝ f(|x|)． 考点二　函数的周期性　　　　(重点保分型考点——师生共研) 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到 已知区间上，进而解决问题，在高考中经常出现，虽不及函数的单调性、奇偶性考查频率 高，但仍不失为一个重点内容，多以选择题、填空题形式考查，属中低档题. [典题领悟] 1．若 f(x)是定义在 R 上的周期为 4 的函数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝Error!则 f (f( 29 3 ))＝________. 解析：因为 f(x)的周期为 4，则 f( 29 3 )＝f(8＋5 3 )＝f( 5 3 )＝cos5π 3 ＝cosπ 3＝1 2，所以 f (f( 29 3 ))＝f( 1 2 )＝1 2×(1－1 2 )＝1 4. 答案：1 4 2．已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且 f(x＋2)[1－f(x)]＝1＋f(x)，f(2)＝2 018，则 f(2 018) ＝________. 解析：显然 f(x)≠1，故已知条件可变形为 f(x＋2)＝1＋f(x) 1－f(x)，所以 f(x＋4)＝1＋f(x＋2) 1－f(x＋2)＝ 1＋1＋f(x) 1－f(x) 1－1＋f(x) 1－f(x) ＝－ 1 f(x)，所以 f(x＋8)＝－ 1 f(x＋4)＝f(x)， 则 f(x)为周期函数，且 8 为 f(x)的一个周期， 所以 f(2 018)＝f(252×8＋2)＝f(2)＝2 018. 答案：2 018 [解题师说] 1．明确解题的 2 个关键 (1)根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内，再 代入相应解析式求解； (2)对其函数解析式变形，使得其满足函数周期性的相关定义，进而归纳总结确定对应 的周期，为进一步分析与求解打下基础． 2．熟记 4 种常见抽象函数的周期 (1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2|a|； (2)若 f(x＋a)＝ 1 f(x)，则 T＝2|a|； (3)若 f(x＋a)＝－ 1 f(x)，则 T＝2|a|； (4)若 f(x＋a)＝f(x－a)，则 T＝2|a|. [冲关演练] 1．设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[－1,1)时，f(x)＝Error!则 f( 3 2 )＝ ________. 解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数， 且 f(x)＝Error! ∴f( 3 2 )＝f(－1 2 )＝－4×(－1 2 )2＋2＝1. 答案：1 2．已知定义在 R 上的函数满足 f(x＋2)＝－ 1 f(x)，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则 f(1)＋f(2)＋ f(3)＋…＋f(2 018)的值为________． 解析：∵f(x＋2)＝－ 1 f(x)， ∴f(x＋4)＝－ 1 f(x＋2)＝f(x)， ∴函数 y＝f(x)的周期 T＝4. 又 x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1， ∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－ 1 f(1)＝－1，f(4)＝－ 1 f(2)＝－1 3. ∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018) ＝504[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(504×4＋1)＋f(504×4＋2) ＝504(1＋3－1－1 3)＋1＋3 ＝1 348. 答案：1 348 考点三　函数性质的综合应用　　　　(题点多变型考点——追根溯源) 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一 起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性 求函数值为主.多以选择题、填空题形式出现.,常见的命题角度有： (1)单调性与奇偶性结合； (2)周期性与奇偶性结合； (3)单调性、奇偶性与周期性结合. [题点全练] 角度(一)　单调性与奇偶性结合 1．(2017·全国卷Ⅰ)函数 f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若 f(1)＝－1，则 满足－1≤f(x－2)≤1 的 x 的取值范围是(　　) A．[－2,2]　　　　　　　 B．[－1,1] C．[0,4] D．[1,3] 解析：选 D　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． ∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1. 故由－1≤f(x－2)≤1，得 f(1)≤f(x－2)≤f(－1)． 又 f(x)在(－∞，＋∞)单调递减， ∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3. 角度(二)　周期性与奇偶性结合 2．(2017·山东高考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋4)＝f(x－2)．若当 x∈[－ 3,0]时，f(x)＝6－x，则 f(919)＝________. 解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)的周期为 6， ∵919＝153×6＋1，∴f(919)＝f(1)． 又 f(x)为偶函数， ∴f(919)＝f(1)＝f(－1)＝6. 答案：6 角度(三)　单调性、奇偶性与周期性结合 3．定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则下列结论 正确的是(　　) A．0f(0)>f(1)， 即 f(1)<00 时，f(x)＝2x－2 x，则f(x) x >0 的解集为(　　) A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选 D　∵当 x>0 时，函数 f(x)单调递增，又 f(1)＝0，∴f(x)＝2x－2 x>0 的解集为 (1，＋∞)．∵f(x)是奇函数，∴f(x) x 是偶函数，则f(x) x >0 的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 2．已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a －1|)＞f(－ 2)，则 a 的取值范围是________． 解析：∵f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－ 2)＝f( 2)， ∴f(2|a－1|)＞f( 2)， ∴2|a－1|＜ 2＝21 2， ∴|a－1|＜1 2，即－1 2＜a－1＜1 2，即1 2＜a＜3 2. 答案：( 1 2，3 2 ) 3．设 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝Error! 则 f(2 017)＝________. 解析：设 00 时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当 x<0 时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－ (－x2－2)＝－f(x)；当 x＝0 时，f(0)＝0，也满足 f(－x)＝－f(x)． 所以函数 f(x)为奇函数． 答案：②③ 10．设定义在 R 上的函数 f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③ 当 0≤x<1 时，f(x)＝2x－1，则 f( 1 2 )＋f(1)＋f( 3 2 )＋f(2)＋f( 5 2 )＝________. 解析：依题意知：函数 f(x)为奇函数且周期为 2， 则 f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即 f(1)＝0. ∴f( 1 2 )＋f(1)＋f( 3 2 )＋f(2)＋f( 5 2 ) ＝f( 1 2 )＋0＋f(－1 2 )＋f(0)＋f( 1 2 ) ＝f( 1 2 )－f( 1 2 )＋f(0)＋f( 1 2 ) ＝f( 1 2 )＋f(0) ＝21 2－1＋20－1 ＝ 2－1. 答案： 2－1 B 级——中档题目练通抓牢 1．设函数 f(x)(x∈R)满足 f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当 0≤x＜π 时，f(x)＝0，则 f( 23π 6 )＝ (　　) A.1 2 B. 3 2 C．0 D．－1 2 解析：选 A　∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期 T ＝2π，又∵当 0≤x＜π 时，f(x)＝0，∴f( 5π 6 )＝0，∴f(－π 6＋π)＝f(－π 6 )＋sin(－π 6 )＝0，∴ f(－π 6 )＝1 2，∴f( 23π 6 )＝f(4π－π 6)＝f(－π 6 )＝1 2. 2．已知函数 f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](ag(0)>g(－1)． 答案：f(1)>g(0)>g(－1) 5.已知偶函数 y＝f(x)，奇函数 y＝g(x)的定义域均为[－4,4]，f(x) 在[－4,0]上，g(x)在[0,4]上的图象如图所示，则不等式f(x) g(x)<0 的解 集为________． 解析： 因为函数 y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域均为[－4,4]，结合奇函数 和偶函数图象的性质可得两个函数在定义域上完整的图象如图所示．由图可得，当 x∈(－ 2,0)∪(2,4)时，f(x)与 g(x)异号，此时 f(x)·g(x)<0，即 f(x) g(x)<0. 答案：(－2,0)∪(2,4) 6．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 有 f( 3 2＋x )＝－f ( 3 2－x )成立． (1)证明 y＝f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若 f(1)＝2，求 f(2)＋f(3)的值． 解：(1)证明：由 f( 3 2＋x )＝－f( 3 2－x )， 且 f(－x)＝－f(x)，知 f(3＋x)＝f3 2＋( 3 2＋x )＝－f[ 3 2－( 3 2＋x )]＝－f(－x)＝f(x)， 所以 y＝f(x)是周期函数，且 T＝3 是其一个周期． (2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0， 且 f(－1)＝－f(1)＝－2，又 T＝3 是 y＝f(x)的一个周期，所以 f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－ 2＋0＝－2. 7．已知函数 f(x)＝Error!是奇函数． (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围． 解：(1)设 x<0，则－x>0， 所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)， 于是 x<0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以 m＝2. (2)要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 结合 f(x)的图象(如图所示)知Error!所以 1＜a≤3， 故实数 a 的取值范围是(1,3]． C 级——重难题目自主选做 1．(2018·许昌二模)已知函数 f(x)＝2|x|＋1＋x3＋2 2|x|＋1 的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m 等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 解析：选 C　f(x)＝2·(2|x|＋1)＋x3 2|x|＋1 ＝2＋ x3 2|x|＋1， 设 g(x)＝ x3 2|x|＋1，则 g(－x)＝－g(x)(x∈R)， ∴g(x)为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0. ∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min， ∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4，故选 C. 2．设函数 f(x)＝ln(1＋|x|)－ 1 1＋x2，则使得 f(x)>f(2x－1)成立的 x 的取值范围为 ________． 解析：由已知得函数 f(x)为偶函数，所以 f(x)＝f(|x|)， 由 f(x)>f(2x－1)，可得 f(|x|)>f(|2x－1|)． 当 x>0 时，f(x)＝ln(1＋x)－ 1 1＋x2，因为 y＝ln(1＋x)与 y＝－ 1 1＋x2在(0，＋∞)上都单调 递增，所以函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 由 f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|， 两边平方可得 x2>(2x－1)2，整理得 3x2－4x＋1<0，解得1 30， 所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)， 于是 x<0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以 m＝2. (2)要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增， 结合 f(x)的图象(如图所示)知Error!所以 1＜a≤3，故实数 a 的取 值范围是(1,3]． 10.设函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当 0≤x≤1 时，f(x)＝x. (1)求 f(π)的值； (2)当－4≤x≤4 时，求函数 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积． 解：(1)由 f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数， 所以 f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由 f(x)是奇函数且 f(x＋2)＝－f(x)， 得 f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]， 即 f(1＋x)＝f(1－x)． 故知函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝1 对称． 又当 0≤x≤1 时，f(x)＝x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所 示． 当－4≤x≤4 时，设 f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S＝4S △ OAB＝4× ( 1 2 × 2 × 1)＝4. B 级——拔高题目稳做准做 1.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(－x)＝－f(x)，f(x)＝f(x＋4)，且当 x∈(－1,0)时，f(x)＝ 2x＋1 5，则 f(log220)＝(　　) A．1 B.4 5 C．－1 D．－4 5 解析：选 C　因为 x∈R，且 f(－x)＝－f(x)，所以函数 f(x)为奇函数，因为 f(x)＝f(x＋ 4)，所以函数 f(x)的周期为 4. 所以 f(log220)＝f(log220－4)＝f(log25 4 ) ＝－f(－log25 4)＝－f(log24 5 )＝－(2log24 5＋1 5) ＝－( 4 5＋1 5 )＝－1，故选 C. 2．(2018·许昌二模)已知函数 f(x)＝2|x|＋1＋x3＋2 2|x|＋1 的最大值为 M，最小值为 m，则 M＋m 等于(　　) A．0 B．2 C．4 D．8 解析：选 C　f(x)＝2·(2|x|＋1)＋x3 2|x|＋1 ＝2＋ x3 2|x|＋1， 设 g(x)＝ x3 2|x|＋1，则 g(－x)＝－g(x)(x∈R)， ∴g(x)为奇函数， ∴g(x)max＋g(x)min＝0. ∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min， ∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4，故选 C. 3.定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＋f(x＋2)＝0，且 f(4－x)＝f(x)．现有以下三个 命题：①8 是函数 f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线 x＝2 对称；③f(x)是偶函数．其 中正确命题的序号是________． 解析：由 f(x)＋f(x＋2)＝0， 得 f(x＋2)＝－f(x)， 则 f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即 4 是 f(x)的一个周期，8 也是 f(x)的一个周期； 由 f(4－x)＝f(x)，得 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称； 由 f(4－x)＝f(x)与 f(x＋4)＝f(x)， 得 f(－x)＝f(x)，即函数 f(x)为偶函数． 答案：①②③ 4．设函数 f(x)＝ln(1＋|x|)－ 1 1＋x2，则使得 f(x)>f(2x－1)成立的 x 的取值范围为 ________． 解析：由已知得函数 f(x)为偶函数，所以 f(x)＝f(|x|)， 由 f(x)>f(2x－1)，可得 f(|x|)>f(|2x－1|)． 当 x>0 时，f(x)＝ln(1＋x)－ 1 1＋x2，因为 y＝ln(1＋x)与 y＝－ 1 1＋x2在(0，＋∞)上都单调 递增，所以函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 由 f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|， 两边平方可得 x2>(2x－1)2，整理得 3x2－4x＋1<0，解得1 3f(－x2)＝－f(x2)， 所以 f(x1)＋f(x2)>0. 所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)<0 成立． 若 x1＋x2>0，则－1≤－x2