【数学】2019届文科一轮复习人教A版8-3圆的方程教案 8页

第三节　圆的方程 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．‎ ‎ (对应学生用书第113页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)‎ 标准方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)‎ 圆心(a，b)，半径r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ ‎(D2＋E2－‎4F＞0)‎ 圆心，‎ 半径 ‎2. 点与圆的位置关系 ‎ 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：‎ ‎ (1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.‎ ‎ (2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.‎ ‎ (3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是 ‎2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)‎ ‎ (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)‎ ‎ (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)‎ ‎ (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F ‎>0.(　　)‎ ‎ [解析]　由圆的定义及点与圆的位置关系，知(1)(3)(4)正确．‎ ‎ (2)中，当t≠0时，表示圆心为(－a，－b)，半径为|t|的圆，不正确．‎ ‎ [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋‎2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是 ‎(　　)‎ ‎ A．a＜－2或a＞　　　　　 B．－＜a＜0‎ ‎ C．－2＜a＜0 D．－2＜a＜ ‎ D　[由题意知a2＋‎4a2－4(‎2a2＋a－1)＞0，解得－2＜a＜.]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)‎ ‎ A．－　　　 B．－ ‎ ‎ C．　　　 D．2‎ ‎ A　[圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝＝1，解得a＝－.]‎ ‎4．(2017·西安质检)若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．‎ ‎ x2＋(y－1)2＝1　[两圆关于直线对称则圆心关于直线对称，半径相等，则圆C的圆心为(0,1)，半径为1，标准方程为x2＋(y－1)2＝1.]‎ ‎5．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为________. ‎ ‎【导学号：79170274】‎ ‎ (x－2)2＋y2＝10　[设圆心坐标为C(a,0)，‎ ‎ ∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，‎ ‎ ∴|CA|＝|CB|，即＝，‎ ‎ 解得a＝2，所以圆心为C(2,0)，‎ ‎ 半径|CA|＝＝，‎ ‎ ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.]‎ ‎(对应学生用书第114页)‎ 求圆的方程 ‎　(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)‎ ‎ A．　　　　 B．　　　　‎ ‎ C．　　　　 D. ‎ (2)(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．‎ ‎ (1)B　(2)(x－2)2＋y2＝9　[(1)法一：在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，从而|OE|＝＝＝，故选B．‎ ‎ 法二：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ ‎ 则解得 ‎ 所以△ABC外接圆的圆心为.‎ ‎ 因此圆心到原点的距离d＝＝.‎ ‎ (2)因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，‎ ‎ 所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，‎ ‎ 所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，‎ ‎ 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.]‎ ‎ [规律方法]　　1.直接法求圆的方程，根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．‎ ‎ 2．待定系数法求圆的方程：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．‎ ‎ 温馨提醒：解答圆的方程问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2018·郑州模拟)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________. 【导学号：79170275】‎ ‎ (2)(2018·青岛模拟)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________．‎ ‎ (1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10)　(2)(x－2)2＋(y－1)2＝4　[(1)法一：∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，‎ ‎ ∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．‎ ‎ 易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)．‎ ‎ 设所求圆的圆心为C(a，b)，则有 ‎ 解得a＝2，且b＝1.‎ ‎ 因此圆心坐标C(2,1)，半径r＝|AC|＝.‎ ‎ 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.‎ ‎ 法二：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－‎4F＞0)，‎ ‎ 则解得D＝－4，E＝－2，F＝－5，‎ ‎ ∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.‎ ‎ (2)设圆C的圆心为(a，b)(b＞0)，由题意得a＝2b＞0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.]‎ 与圆有关的最值问题 ‎　已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．‎ ‎ (1)求|MQ|的最大值和最小值；‎ ‎ (2)求的最大值和最小值．‎ ‎ [解]　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，‎ ‎ 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，‎ ‎ ∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.‎ ‎ 又|QC|＝＝4，‎ ‎ ∴|MQ|max＝4＋2＝6，‎ ‎ |MQ|min＝4－2＝2.‎ ‎ (2)可知表示直线MQ的斜率k.‎ ‎ 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.‎ ‎ 由直线MQ与圆C有交点，所以≤2，‎ ‎ 可得2－≤k≤2＋，‎ ‎ ∴的最大值为2＋，最小值为2－.‎ ‎[母题探究1]　(变化结论)在本例的条件下，求y－x的最大值和最小值．‎ ‎ [解]　设y－x＝b，则x－y＋b＝0.‎ ‎ 当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，‎ ‎ ∴＝2，∴b＝9或b＝1.‎ ‎ 因此y－x的最大值为9，最小值为1.‎ ‎[母题探究2]　(变换条件)若本例中条件“点Q(－2,3)”改为“点Q是直线3x＋4y＋1＝0上的动点”，其它条件不变，试求|MQ|的最小值．‎ ‎ [解]　∵圆心C(2,7)到直线3x＋4y＋1＝0上动点Q的最小值为点C到直线3x＋4y＋1＝0的距离，‎ ‎ ∴|QC|min＝d＝＝7.‎ ‎ 又圆C的半径r＝2，∴|MQ|的最小值为7－2.‎ ‎ [规律方法]　　1.处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，数形结合求解．‎ ‎ 2．某些与圆相关的最值可利用函数关系求解．‎ ‎ 根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、函数的性质、基本不等式求最值是比较常用的．‎ ‎[变式训练2]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.‎ ‎ (1)求的最大值和最小值；‎ ‎ (2)求y－x的最大值和最小值；‎ ‎ (3)求x2＋y2的最大值和最小值．‎ ‎ [解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．‎ ‎ (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，‎ ‎ 所以设＝k，即y＝kx.‎ ‎ 当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1)．‎ ‎ 所以的最大值为，最小值为－.‎ 图1　　 　图2　 　　图3‎ ‎ (2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±(如图2)．‎ ‎ 所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.‎ ‎ (3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图3)．‎ ‎ 又圆心到原点的距离为＝2，‎ ‎ 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.‎ 与圆有关的轨迹问题 ‎　(2018·烟台模拟)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．‎ ‎ (1)求线段AP中点的轨迹方程；‎ ‎ (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．‎ ‎ [解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，‎ ‎ 由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．‎ ‎ 因为P点在圆x2＋y2＝4上，‎ ‎ 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，‎ ‎ 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎ (2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，‎ ‎ |PN|＝|BN|.‎ ‎ 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，‎ ‎ 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，‎ ‎ 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎ 故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.‎ ‎ [规律方法]　　求与圆有关的轨迹问题的四种方法 ‎ (1)直接法：直接根据题设给定的条件列出方程求解．‎ ‎ (2)定义法：根据圆的定义列方程求解．‎ ‎ (3)几何法：利用圆的几何性质得出方程求解．‎ ‎ (4)代入法(相关点法)：找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解．‎ ‎[变式训练3]　(2018·武威模拟)设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．‎ ‎ [解]　如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，‎ ‎ 故＝，＝.‎ ‎ 从而 ‎ 又N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.‎ ‎ 因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，‎ ‎ 但应除去两点和(点P在直线OM上的情况)．‎