【数学】2020届一轮复习（理）通用版选修4-4-1坐标系学案 12页

第一节坐标系 ‎1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，‎ 称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系的概念 ‎(1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.‎ 极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向.四者缺一不可. ‎ ‎(2)极坐标 ‎①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.‎ 由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系.约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.‎ ‎②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.‎ ‎③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ).‎ 一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数.‎ ‎④极坐标与直角坐标的重要区别：多值性.‎ ‎3.极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：‎ 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.‎ 把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围，以便正确求出极角，否则点的极坐标将不唯一.‎ ‎4.简单曲线的极坐标方程 曲线 极坐标方程 圆心为极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0＜θ＜π)‎ ‎[小题查验基础]‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.(　　)‎ ‎(2)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　　)‎ ‎(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.(　　)‎ ‎(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ 二、选填题 ‎1.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A.ρ＝ B.ρ＝ C.ρ＝cos θ＋sin θ D.ρ＝cos θ＋sin θ 解析：选A　∵y＝1－x(0≤x≤1)，‎ ‎∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，‎ ‎∴ρ＝.‎ ‎2.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　)‎ A.　　　　　　　　 B. C.(1,0) D.(1，π)‎ 解析：选B　由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.‎ ‎3.在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　)‎ A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ C.ρcos θ＝1 D.ρcos θ＝ 解析：选A　先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.‎ ‎4.若点P的直角坐标为(3，－)，则点P的极坐标为______.‎ 解析：因为点P(3，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－，所以点P的极坐标为.‎ 答案： ‎5.在极坐标系中A，B两点间的距离为________.‎ 解析：法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|＝|OA|＋|OB|＝6.‎ 法二：∵A，B的直角坐标为A(1，－)，B(－2,2).‎ ‎∴|AB|＝＝6.‎ 答案：6‎ 考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 [基础自学过关]‎ ‎[题组练透]‎ ‎1.在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ： ‎(1)求点A经过φ变换所得点A′的坐标；‎ ‎(2)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程.‎ 解：(1)设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ： 得∴ ‎∴点A′的坐标为(1，－1).‎ ‎(2)设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点.‎ 由伸缩变换φ：得 代入y＝6x，得2y′＝6×＝2x′，即y′＝x′，‎ ‎∴y＝x为所求直线l′的方程.‎ ‎2.将圆x2＋y2＝1变换为椭圆＋＝1的一个伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)，求λ，μ的值.‎ 解：将变换后的椭圆＋＝1改写为＋＝1，把伸缩变换公式φ：(λ，μ＞0)代入上式，‎ 得＋＝1，即2x2＋2y2＝1，‎ 与x2＋y2＝1‎ 比较系数，得所以 ‎[名师微点]‎ 伸缩变换后方程的求法及注意点 ‎(1)平面上的曲线y＝f(x)在变换φ：的作用下的变换方程的求法是将代入y＝f(x)，整理得y′＝h(x′)即为所求.‎ ‎(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用求解；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，用方程思想求解.‎ 考点二 极坐标与直角坐标的互化 [师生共研过关]‎ ‎[典例精析]‎ 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π).‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标.‎ ‎[解]　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0，‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，‎ 将两方程联立得解得 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，‎ 转化为极坐标为，‎ 故直线l与圆O的公共点的极坐标为.‎ ‎[解题技法]‎ ‎1.极坐标方程与直角坐标方程的互化方法 ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可.‎ ‎(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧.‎ ‎2.极角的确定方法 由tan θ确定角θ时，应根据点P所在象限取最小正角.在这里要注意：当x≠0时，θ角才能由tan θ＝按上述方法确定.当x＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x＝0，y＝0时，θ可取任何值；当x＝0，y＞0时，可取θ＝；当x＝0，y＜0时，可取θ＝.‎ ‎[过关训练]‎ 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρ·cos＝2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.‎ 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，‎ 所以圆O1的直角坐标方程为x2＋y2＝4.‎ 因为ρ2－2ρcos＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2，‎ 所以圆O2的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，‎ 得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ 考点三 极坐标方程的应用 [师生共研过关]‎ ‎[典例精析]‎ ‎(2019·安徽名校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2＋(y－2)2＝4.以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同.M为曲线C1上异于极点的动点，点N在射线OM上，且|ON|·|OM|＝20，记点N的轨迹为C2.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)根据极坐标方程，判断曲线C1，C2的位置关系.‎ ‎[解]　(1)曲线C1的直角坐标方程是x2＋(y－2)2＝4，‎ 即x2＋y2＝4y.‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得ρ2＝4ρsin θ.‎ 故曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ.‎ 设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ)，由|ON|·|OM|＝20，‎ 即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝.‎ 又ρ1＝4sin θ，所以＝4sin θ，所以ρsin θ＝5.‎ 故曲线C2的极坐标方程为ρsin θ＝5.‎ ‎(2)由得sin2θ＝，无实数解，因此曲线C1和曲线C2没有公共点，易知曲线C1是圆，曲线C2是直线，‎ 所以C1与C2相离.‎ ‎[解题技法]‎ 利用极坐标系解决问题的技巧 ‎(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.‎ ‎(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，这种方法比在直角坐标系中求最值的运算量小.‎ ‎(3)根据极坐标方程判断曲线的位置关系时，只需联立曲线的极坐标方程得方程组，判断方程组解的情况即可.‎ ‎[提醒]　在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.‎ ‎[过关训练]‎ ‎(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，‎ x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆.‎ 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.‎ 由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.‎ 当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；‎ 当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.‎ 当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；‎ 当k＝时，l2与C2没有公共点.‎ 综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.‎ ‎ ‎1.在平面直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程； ‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.‎ 解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.‎ ‎2.(2019·黄冈调研)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos＝2.已知点Q为曲线C1上的动点，点P在线段OQ上，且满足|OQ|·|OP|＝4，动点P的轨迹为C2.‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△AOB面积的最大值.‎ 解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，Q的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)，‎ 由题意知，|OP|＝ρ，|OQ|＝ρ1＝.‎ 由|OQ|·|OP|＝4得C2的极坐标方程为ρ＝2cos(ρ＞0)，化简得ρ＝cos θ＋sin θ，因此C2的直角坐标方程为2＋2＝1，但不包括点(0,0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，‎ 由题意知，|OA|＝2，ρB＝2cos，‎ 于是△AOB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ‎＝2cos·＝2≤.‎ 当α＝0时，S取得最大值.所以△AOB面积的最大值为.‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a＞0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆.‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，‎ 得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上.‎ 所以a＝1.‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝5.‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标.‎ 解：(1)x2＋(y－1)2＝1即x2＋y2－2y＝0，‎ 因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ，即ρ＝2sin θ.‎ ρ(cos θ＋sin θ)＝5即ρcos θ＋ρsin θ＝5，‎ 因为ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，‎ 所以直线l的直角坐标方程为y＝－x＋5.‎ ‎(2)曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0,1)为圆心，1为半径的圆.设圆上点A(x0，y0)到直线l：y＝－x＋5的距离最小，所以圆C在点A处的切线与直线l：y＝－x＋5平行.‎ 即直线CA与l的斜率的乘积等于－1，‎ 即×(－)＝－1.①‎ 因为点A在圆上，所以x＋(y0－1)2＝1，②‎ 联立①②可解得x0＝－，y0＝或x0＝，y0＝.‎ 所以点A的坐标为或.‎ 又因为圆上点A到直线l：y＝－x＋5的距离最小，‎ 所以点A的坐标为，‎ 点A的极径为 ＝，极角θ满足tan θ＝且θ为第一象限角，则可取θ＝.‎ 所以点A的极坐标为.‎ ‎5.(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是(α 为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程；‎ ‎(2)设l1：θ＝，l2：θ＝，若l1，l2与曲线C分别交于异于原点的A，B两点，求△AOB的面积.‎ 解：(1)将曲线C的参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，‎ 即x2＋y2－6x－8y＝0.‎ ‎∴曲线C的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ.‎ ‎(2)设A，B.‎ 把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3，‎ ‎∴A.‎ 把θ＝代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋4，‎ ‎∴B.‎ ‎∴S△AOB＝ρ1ρ2sin∠AOB ‎＝sin ‎＝12＋.‎ ‎6.(2018·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.‎ 解：(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，‎ 则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0.‎ 由于直线C2过原点，且倾斜角为，‎ 故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R).‎ ‎(2)由 得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，‎ 设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，‎ 则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，‎ ‎∴＋＝＝＝.‎ ‎7.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2：＋＝1.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(且A，B均异于原点O)，当0＜α＜时，求|OB|2－|OA|2的最小值.‎ 解：(1)易知曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 所以C1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，‎ C2的极坐标方程为ρ2＝.‎ ‎(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2＝4cos2α，‎ 联立θ＝α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2＝，‎ 则|OB|2－|OA|2＝－4cos2α＝－4(1－sin2α)＝＋4(1＋sin2α)－8‎ ‎≥2－8＝8－8，‎ 当且仅当sin α＝时取等号，‎ 所以|OB|2－|OA|2的最小值为8－8.‎ ‎8.(2019·湖南长郡中学模拟)在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为(β为参数)，在极坐标系中，直线l1的方程为α1＝θ，直线l2的方程为α2＝θ＋.‎ ‎(1)写出曲线M的普通方程，并指出它是什么曲线；‎ ‎(2)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围.‎ 解：(1)由(β为参数)，消去参数β，得曲线M的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8，‎ ‎∴曲线M是以(1,1)为圆心，2为半径的圆.‎ ‎(2)设|OA|＝ρ1，|OC|＝ρ2，‎ ‎∵O，A，C三点共线，‎ 则|AC|＝|ρ1－ρ2|＝(*)，‎ 将曲线M的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0，‎ ‎∴ 代入(*)式得|AC|＝.‎ 用θ＋代替θ，得|BD|＝，‎ 又l1⊥l2，‎ ‎∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|‎ ‎＝ ‎＝2，‎ ‎∵sin22θ∈[0,1]，∴S四边形ABCD∈[8，14].‎