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- 2021-06-16 发布
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【知识要点】
一、在平面内取一个定点为极点,引一条射线为叫做极轴,再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.对于平面内的点,设, ,称、为点的极径、极角,有序数对就叫做的极坐标.
二、直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点的直角坐标与极坐标分别为和,则由三角函数的定义可以得到: (求点的直角坐标的公式),(求点的极坐标的公式,求极角时要先定位后定量).
表示过原点且倾斜角为的直线, 表示过原点且倾斜角为的向上的射线.
三、参数方程的定义:一般地,在平面直角坐标中,如果曲线上任一点的坐标都是某个变数的函数,反过 ,对于的每个允许值,由函数式所确定的点都在曲线上,那么方程叫做曲线的参数方程,联系变数的变数是参变数,简称参数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的叫普通方程.
四、常见曲线的参数方程:
(1)圆的参数方程为 (为参数);
(2)椭圆的参数方程为 (为参数);
(3)双曲线的参数方程 (为参数);
(4)抛物线参数方程 为参数);
(5)过定点、倾斜角为的直线的参数方程(为参数).当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,.
【方法讲评】
方法一
转化法
解题步骤
先把已知条件都化成直角坐标,再利用解析几何的知识解答.
【例1】【2017课标3,理 22】在直角坐标系xoy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)−=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
【点评】本题就是转化法解答极坐标与参数方程问题的典型例子.第2问直接把条件化成直角坐标再解答,比较直接,解题效率也比较高.
【反馈检测1】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以平面直角坐标系的原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)求曲线和公共弦的长度.
方法二
用极坐标解决解析几何问题
解题步骤
把已知条件化成极坐标,再利用极坐标的知识解答.
【例2】【2017课标II,理22】在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)为曲线上的动点,点在线段上,且满足,求点
的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点的极坐标为,点在曲线上,求面积的最大值.
(2)设点的极坐标为,由题设知,
当时,S取得最大值,所以△OAB面积的最大值为.
【点评】(1)本题的两问,如果用直角坐标 解答,思路难找,计算量大,解题效率低. 如果用极坐标 解答,问题就简单了很多. (2)怎么联想到利用极坐标解答呢?因为已知里面有信息,譬如,第1问中,就是点的极径,就是点的极径,并且点的极角相同,所以用极坐标解答就自然了,所以我们要注意观察已知的信息. 第2小问的观察和思维类似. 学. .
【反馈检测2】在直角坐标系中,曲线,曲线为参数), 以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若射线分别交于两点, 求的最大值.
方法三
用圆锥曲线参数方程解决解析几何的问题
解题步骤
先把某些已知条件化成参数方程,再利用参数方程的知识解答.
【例3】【2017课标1,理22】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为.
(1)若,求与的交点坐标;(2)若上的点到的距离的最大值为,求.
从而与的交点坐标为,.
【点评】(1)本题就是利用圆锥曲线解决解析几何问题的典型例子.本题如果把已知条件都化成直角坐标再解答,计算量比较复杂,解题效率比较低. 但是如果利用圆锥参数方程设点的坐标,再利用三角函数的知识 解答,计算量小,解题效率高了很多.
(2)圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下,设点有三种方式,一是利用直角坐标设点,这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点,三是利用极坐标设点,大家要注意灵活选用.
【反馈检测3】(2016年全国III高考)在直角坐标系中,曲线的参数方程为
,以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为 .
(I)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(II)设点P在上,点Q在上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
方法四
用直线参数方程解决解析几何的问题
解题步骤
先把某些已知条件化成参数方程,再利用参数方程的知识解答.
【例4】在直角坐标系中,直线的参数方程为.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于点,若点的坐标为,求.
【点评】(1)直线参数方程中参数的几何意义是这样的:如果点在定点的上方,则点对应的参数就表示点到点的距离,即.如果点在定点的下方,则点对应的参数就表示点到点的距离的相反数,即.(2)由 直线参数方程中参数的几何意义得:如果求直线上两点间的距离,不管两点在哪里,总有.学. .
【反馈检测4】在极坐标系中,曲线的方程为,点.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线交于、两点,求的值.
【反馈检测5】在直角坐标系中,直线过,倾斜角为().以为极点,轴非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程;
(2)已知直线与曲线交于、两点,且,求直线的斜率.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第93讲:
极坐标系与参数方程问题的处理参考答案
【反馈检测1答案】(1),;(2).
【反馈检测2答案】(1)ρ(cosθ+sinθ)=4,ρ=2cosθ;(2)(+1).
【反馈检测2详细解析】(1)C1:ρ(cosθ+sinθ)=4,C2的普通方程为(x-1)2+y2=1,所以ρ=2cosθ.
(2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),-<α<,则ρ1=,ρ2=2cosα,
==×2cosα(cosα+sinα)
=(cos2α+sin2α+1)=[cos(2α-)+1], 当α=时,取得最大值(+1).
【反馈检测3答案】(1);(2)最小值为,此时的坐标为.
【反馈检测3详细解析】(1)的普通方程为,的直角坐标方程为.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为,因为是直线,所以|PQ|的最小值,即为P到的距离的最小值, .
当且仅当时,取得最小值,最小值为此时P的直角坐标为.
【反馈检测4答案】(1),;(2).
【反馈检测5答案】(1),;(2).
【反馈检测5详细解析】(1)直线的参数方程为(为参数),
由,得,∴曲线的直角坐标方程为.
(2)把,代入得,
设,两点对应的参数分别为与,则,,
易知与异号,又∵,∴,消去与,得,即.