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- 2021-06-16 发布
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第3讲 二项式定理
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 二项式定理的内容
1.(a+b)n=Can+Can-1b1+…+Can-rbr+…+Cbn(n∈N*).
2.第r+1项,Tr+1=Can-rbr.
3.第r+1项的二项式系数为C(r=0,1,…,n).
考点2 二项式系数的性质
1.0≤k≤n时,C与C的关系是相等.
3.各二项式系数和:C+C+C+…+C=2n,C+C+C+…=2n-1,C+C+C+…=2n-1.
[必会结论]
1.二项展开式形式上的特点
(1)项数为n+1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为
n.
(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到零;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项增1直到n.
(4)二项式的系数从C,C,…一直到C,C.
2.二项式系数与项的系数
二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C,C,…,C,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关.如(a+bx)n的展开式中,第k+1项的二项式系数是C,而该项的系数是Can-kbk.当然,在某些二项展开式中,各项的系数与二项式系数是相等的.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)Can-kbk是二项展开式的第k项.( )
(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( )
(3)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( )
(4)在(1-x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.( )
(5)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128.( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2.[课本改编]若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a2+a4的值为( )
A.9 B.8
C.7 D.6
答案 B
解析 令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=0,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=16,两式相加得a0+a2+a4=8.
3.[课本改编]二项式6的展开式中常数项为( )
A.-15 B.15
C.-20 D.20
答案 B
解析 依题意,二项展开式的通项公式Tr+1=Cx6-r·(-x)r=(-1)rCx,令6-r-=0,得r=4,所以常数项为(-1)4C=15.
4.[2018·抚州模拟]若n展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x2的系数为( )
A.-21 B.-35
C.35 D.21
答案 C
解析 由已知得2n=128,n=7,所以Tr+1=Cx2(7-r)·r=C(-1)rx14-3r,令14-3r=2,得r=4,所以展开式中x2的系数为C(-1)4=35.故选C.
5.[2017·山东高考]已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=________.
答案 4
解析 (1+3x)n的展开式的通项为Tr+1=C(3x)r.令r=2,得T3=9Cx2.由题意得9C=54,解得n=4.
6.[2018·吉林模拟](x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为________.
答案 179
解析 (x+2)10(x2-1)=x2(x+2)10-(x+2)10,本题求x10的系数,只要求(x+2)10展开式中x8及x10的系数Tr+1=Cx10-r·2r
取r=2,r=0得x8的系数为C×22=180,
x10的系数为C=1,
∴所求系数为180-1=179.
板块二 典例探究·考向突破
考向 二项展开式中特定项或系数问题
例 1 (1)(x-y)4的展开式中,x3y3项的系数为________.
答案 6
解析 由二项展开式的通项可得Tr+1=C(x·)4-r·(-y)r=(-1)rCx·y.
令解得r=2,所以展开式中x3y3的系数为(-1)2C=6.
(2)[2016·山东高考]若5的展开式中x5的系数是-80,则实数a=________.
答案 -2
解析 Tr+1=a5-rCx,令10-r=5,解之得r=2,所以a3C=-80,a=-2.
触类旁通
求二项展开式中的项或项的系数的方法
(1)展开式中常数项、有理项的特征是通项式中未知数的指数分别为零和整数.解决这类问题时,先要合并通项式中同一字母的指数,再根据上述特征进行分析.
(2)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等,一般要利用通项公式,运用方程思想进行求值,通过解不等式(组)求取值范围.
【变式训练1】 (1)[2018·广东测试]6的展开式中,常数项是( )
A.- B.
C.- D.
答案 D
解析 Tr+1=C(x2)6-rr=rCx12-3r,令12-3r=0,解得r=4.∴常数项为4C=.故选D.
(2)8的展开式中的有理项共有________项.
答案 3
解析 ∵Tr+1=C()8-rr
=rCx,
∴r为4的倍数,故r=0,4,8共3项.
考向 二项式系数的和或各项系数的和
例 2 二项式(2x-3y)9的展开式中,求:
(1)二项式系数之和;
(2)各项系数之和;
(3)所有奇数项系数之和;
(4)各项系数绝对值之和.
解 设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.
(1)二项式系数之和为C+C+C+…+C=29.
(2)各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,
令x=1,y=1,得a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.
(3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1,①
令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-…-a9=59,②
①+②得a0+a2+a4+a6+a8=,此即为所有奇数项系数之和.
(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9,
令x=1,y=-1,得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-…-a9=59,此即为各项系数绝对值之和.
触类旁通
二项式定理中赋值法的应用
(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1即可.
(2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.
(3)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1),
奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=,
偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=.
【变式训练2】 (1)[2018·温州调研]已知(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,则a2+a3+…+a9+a10的值为( )
A.-20 B.0
C.1 D.20
答案 D
解析 令x=1,得a0+a1+a2+…+a9+a10=1,再令x=0,得a0=1,所以a1+a2+…+a9+a10=0,又易知a1=C×21×(-1)9=-20,所以a2+a3+…+a9+a10=20.
(2)在二项式n的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项的值为________.
答案 9
解析 令x=1,得各项系数的和为4n,而各项的二项式系数的和等于2n,根据已知,得方程4n+2n=72,解得n=3.
所以二项展开式的通项Tr+1=C()3-rr=3rCx ,显然当r=1时,Tr+1是常数项,值为3C=9.
考向 项的系数的最值问题
例 3 [2018·宜昌高三测试]已知(x+3x2)n的展开式中,各项系数和与它的二项式系数和的比为32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中系数最大的项.
解 令x=1,则展开式中各项系数和为(1+3)n=22n.
又展开式中二项式系数和为2n.∴=2n=32,n=5.
(1)∵n=5,展开式共6项,∴二项式系数最大的项为第三、四两项,∴T3=C(x)3(3x2)2=90x6,
T4=C(x)2(3x2)3=270x.
(2)设展开式中第k+1项的系数最大,
则由Tk+1=C(x)5-k(3x2)k=3kCx,
得∴≤k≤,∴k=4,
即展开式中系数最大的项为T5=C(x)(3x2)4=405x.
触类旁通
1.求二项式系数最大项
(1)如果n是偶数,那么中间一项(第项)的二项式系数最大;
(2)如果n是奇数,那么中间两项(第项与第项)的二项式系数相等并最大.
2.求展开式系数最大项
如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k
项系数最大,应用
从而解出k来,即得.
【变式训练3】 (1)若n的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )
A.180 B.120
C.90 D.45
答案 A
解析 只有第6项的二项式系数最大,可知n=10,于是展开式通项为Tr+1=C()10-rr=2rC·x,令5-=0,得r=2,所以常数项为22C=180.故选A.
(2)若x∈(0,+∞),则(1+2x)15的二项展开式中系数最大的项为第________项.
答案 11
解析 Tr+1=C2rxr,由
解得≤r≤,故r=10,所以第11项的系数最大.
考向 二项式定理的应用
命题角度1 n个多项式积的展开式问题
例 4 [2017·全国卷Ⅰ](1+x)6展开式中x2的系数为( )
A.15 B.20
C.30 D.35
答案 C
解析 因为(1+x)6的通项为Cxr,所以(1+x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.
因为C+C=2C=2×=30,
所以(1+x)6展开式中x2的系数为30.
故选C.
【变式训练4】 [2017·全国卷Ⅲ](x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.-80 B.-40
C.40 D.80
答案 C
解析 因为x3y3=x·(x2y3),其系数为-C·22=-40,
x3y3=y·(x3y2),其系数为C·23=80.
所以x3y3的系数为80-40=40.故选C.
命题角度2 与整除有关的问题
例 5 [2018·潍坊模拟]设a∈Z,且0≤a<13,若512018+a能被13整除,则a=( )
A.0 B.1
C.11 D.12
答案 D
解析 由于51=52-1,(52-1)2018=C522018-C522017+…-C521+1,又由于13整除52,所以只需13整除1+a,0≤a<13,a∈Z,所以a=12.
命题角度3 求近似值的问题
例 6 求0.9986的近似值,使误差小于0.001.
解 0.9986=(1-0.002)6=1+6×(-0.002)+15×(-0.002)2+…+(-0.002)6,
∵T3=15×(-0.002)2=0.00006<0.001,
即第3项以后的项的绝对值都小于0.001,
∴从第3项起,以后的项可以忽略不计,
即0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=0.988.
触类旁通
二项式定理应用的题型及解法
(1)对于多项式积的特定项问题,可通过“搭配”解决,但要注意不重不漏.
(2)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.
(3)二项式定理的一个重要用途是做近似计算:当n不很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx.
【变式训练5】 99100+1除以1000的余数是________.
答案 2
解析 99100+1=(100-1)100+1
=C×100100+(-C×10099)+…+(-C×100)+C×1+1
=100100-100×10099+…-10000+2,
从第一项到倒数第二项都能被1000整除,
∴余数是2.
核心规律
1.二项展开式的通项Tk+1=Can-kbk是展开式的第k+1项,这是解决二项式定理有关问题的基础.在利用通项公式求指定项或指定项的系数时,要根据通项公式讨论对k的限制.
2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以,在解题时,根据题意,给字母赋值,是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.
满分策略
1.注意(a+b)n与(b+a)n
虽然相同,但具体到它们展开式的某一项时是不同的,一定要注意顺序问题.
2.解题时,要注意区别二项式系数和项的系数的不同、项数和项的不同.
3.切实理解“常数项”“有理项(字母指数为整数)”“系数最大的项”等概念.
板块三 启智培优·破译高考
题型技法系列17——拆分法破解三项展开式中特定项(系数)问题
[2015·全国卷Ⅰ](x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10 B.20
C.30 D.60
解题视点 利用拆分法,(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5,将(x2+x)看作一项,应用二项式定理求解.
解析 由二项展开式通项易知Tr+1=C(x2+x)5-ryr,令r=2,则T3=C(x2+x)3y2,对于二项式(x2+x)3,由Tt+1=C(x2)3-t·xt=Cx6-t,令t=1,所以x5y2的系数为CC=30.故选C.
答案 C
答题启示 二项式定理研究两项和的展开式,对于三项式问题,一般是通过合并、拆分或进行因式分解,转化成二项式定理的形式去求解.
跟踪训练
(1)(x2-x+1)10展开式中x3项的系数为( )
A.-210 B.210
C.30 D.-30
答案 A
解析 (x2-x+1)10=[x2-(x-1)]10=C(x2)10-C(x2)9(x-1)+…-Cx2(x-1)9+C(x-1)10,所以含x3项的系数为:-CC+C(-C)=-210.故选A.
(2)[2018·安徽安庆模拟]将3展开后,常数项是________.
答案 -160
解析 3=6展开后的通项是
C()6-k·k=(-2)k·C()6-2k.
令6-2k=0,得k=3.
所以常数项是C(-2)3=-160.
板块四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1.已知n(n∈N*)的展开式中含a3的项为第3项,则n的值为( )
A.2 B.6
C.12 D.24
答案 C
解析 ∵T3=Ca2=Ca,∴-3=3,得n=12.故选C.
2.[2018·湖北模拟]若二项式7的展开式中的系数是84,则实数a=( )
A.2 B.
C.1 D.
答案 C
解析 Tr+1=C·(2x)7-r·r=27-rCar·.令2r-7=3,则r=5.由22·Ca5=84得a=1.故选C.
3.(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( )
A.56 B.84
C.112 D.168
答案 D
解析 因为(1+x)8的展开式中x2的系数为C,(1+y)4的展开式中y2的系数为C,所以x2y2的系数为CC=168.故选D.
4.已知(1-2x)n展开式中,奇数项的二项式系数之和为64,则(1-2x)n(1+x)的展开式中含x2项的系数为( )
A.71 B.70
C.21 D.49
答案 B
解析 因为奇数项的二项式系数之和为2n-1,所以2n-1=64,n=7,因此(1-2x)n(1+x)的展开式中含x2项的系数为C(-2)2+C(-2)=70.故选B.
5.若5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式的常数项为( )
A.-40 B.-20
C.20 D.40
答案 D
解析 令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,∴a=1.
∴5的通项为Tr+1=C·(2x)5-r·r=(-1)r·25-r·C·x5-2r.
令5-2r=1,得r=2.令5-2r=-1,得r=3.
∴展开式的常数项为(-1)2×23·C+(-1)3· 22·C=80-40=40.
6.[2018·遵义四中月考](2-)8展开式中不含x4项的系数的和为( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
答案 B
解析 二项式的通项Tk+1=C28-k(-1)k()k=C28-k·(-1)kx,令k=8,则T9=C(-1)8x4=x4,∴x4的系数为1,令x=1,得展开式的所有项系数和为(2-1)8=1,∴不含x4项的系数的和为0.选B.
7.[2018·衡水模拟]已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8等于( )
A.180 B.90
C.-5 D.5
答案 A
解析 (1+x)10=[2-(1-x)]10,其通项公式为Tr+1=C210-r·(-1)r(1-x)r,a8是r=8时,第9项的系数.∴a8=C22(-1)8=180.故选A.
8.设a=sinxdx,则二项式6展开式中的常数项是________.
答案 -160
解析 a=sinxdx=(-cosx)|=2,
Tr+1=C(2)6-rr=C26-r(-1)rx3-r,
令3-r=0,则r=3.
所以二项展开式中常数项为-C·23=-160.
9.[2018·唐山模拟]S=C+C+…+C除以9的余数为________.
答案 7
解析 依题意S=C+C+…+C=227-1=89-1=(9-1)9-1=C×99-C×98+…+C×9-C-1=9×(C×98-C×97+…+C)-2.∵C×98-C×97+…+C是正整数,∴S被9除的余数为7.
10.[2015·全国卷Ⅱ](a+x)(1+x)4的展开式中x
的奇数次幂项的系数之和为32,则a=________.
答案 3
解析 设f(x)=(a+x)(1+x)4,则其展开式的所有项的系数和为f(1)=(a+1)·(1+1)4=(a+1)×16,∵展开式中x的奇数次幂项的系数和为[f(1)-f(-1)],又f(-1)=0,∴×(a+1)×16=32,∴a=3.
[B级 知能提升]
1.[2018·山西四校联考]若n的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值等于( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案 C
解析 Tr+1=C(x6)n-rr=Cx,当Tr+1是常数项时,6n-=0,即n=,又n∈N*,故n的最小值为5.故选C.
2.[2018·福建厦门联考]在10的展开式中,x2的系数为( )
A.10 B.30
C.45 D.120
答案 C
解析 因为10=10=(1+x)10+C(1+x)9+…+C10,所以x2只出现在(1+x)10的展开式中,所以含x2的项为Cx2,系数为C=45.故选C.
3.[2017·浙江高考]已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=________,a5=________.
答案 16 4
解析 a4是x项的系数,由二项式的展开式得
a4=C·C·2+C·C·22=16;a5是常数项,由二项式的展开式得a5=C·C·22=4.
4.已知n的展开式中前三项的系数成等差数列.
(1)求n的值;
(2)求展开式中系数最大的项.
解 (1)由题设,得C+·C=2×·C,
即n2-9n+8=0,解得n=8,n=1(舍去).
(2)设第r+1的系数最大,则
即解得2≤r≤3.
所以系数最大的项为T3=7x5,T4=7x.
5.[2018·焦作模拟]已知n(n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和;
(2)求展开式中含x的项;
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
解 由题意知,第五项系数为C·(-2)4,
第三项的系数为C·(-2)2,则有=,
化简得n2-5n-24=0,
解得n=8或n=-3(舍去).
(1)令x=1得各项系数的和为(1-2)8=1.
(2)通项公式Tk+1=C·()8-k·(-)k=C·(-2)k·x,令-2k=,则k=1.
故展开式中含x的项为T2=-16x.
(3)由n=8知第五项二项式系数最大,
此时T5=1120x-6.