【数学】2021届一轮复习人教A版已知函数单调性求参数（简单） 10页

一、选择题 ‎ ‎1.函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则(　　)‎ A．a＝‎ B．a＝1‎ C．a＝2‎ D．a≤0‎ ‎2.若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)‎ A． (－∞，－2]‎ B． (－∞，－1]‎ C． [2，＋∞)‎ D． [1，＋∞)‎ ‎3.若函数f(x)＝alnx＋在区间(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)‎ A． (－∞，－2]‎ B． (－∞，－1]‎ C． [1，＋∞)‎ D． [2，＋∞)‎ ‎4.已知f(x)＝alnx＋x2，若对任意两个不等的正实数x1，x2都有>0成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A． [0，＋∞)‎ B． (0，＋∞)‎ C． (0,1)‎ D． (0,1]‎ ‎5.已知函数f(x)＝－x3＋2ax在(0,1]上是单调递增函数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A． (－∞，)‎ B． [，＋∞)‎ C． (，＋∞)‎ D． (－，)‎ ‎6.函数f(x)＝ex－ax－1在R上单调递增，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．R B． [0，＋∞)‎ C． (－∞，0]‎ D． [－1,1]‎ ‎7.已知a，b是正实数，函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x∈[－1,2]上单调递增，则a＋b的取值范围为(　　)‎ A． (0，]‎ B． [，＋∞)‎ C． (0,1)‎ D． (1，＋∞)‎ ‎8.已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最小值是(　　)‎ A． －3‎ B． －2‎ C． 2‎ D． 3‎ ‎9.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A． (－∞，－)∪[，＋∞)‎ B． [－，]‎ C． (－∞，－)∪(，＋∞)‎ D． (－，)‎ ‎10.已知函数f(x)＝x－alnx在区间(0,2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)‎ A． (0，)‎ B． (0,2)‎ C． (，＋∞)‎ D． [2，＋∞)‎ ‎11.已知f(x)＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上是单调增函数，则b的取值范围是(　　)‎ A．b≤－1或b≥2‎ B．b<－1或b>2‎ C． －1≤b≤2‎ D． －10，则实数m的取值范围是________．‎ ‎22.已知a>0，函数f(x)＝lnx＋在[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．‎ ‎23.若函数y＝ax＋sinx在R上单调递增，则a的最小值为________．‎ ‎24.若函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．‎ ‎25.函数y＝x3－ax＋4在(1，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是________．‎ 三、解答题 ‎ ‎26.已知函数f(x)＝2ax－，x∈(0,1]．若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a的取值范围．‎ ‎27.已知函数f(x)＝x3－ax－1.‎ ‎(1)是否存在a，使f(x)的单调减区间是(－1,1)；‎ ‎(2)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围．‎ ‎28.已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k>0)．若f(x)的单调递减区间为(0,4)，单调递增区间为(－∞，0)与(4，＋∞)，求k的值．‎ 答案解析 ‎1.【答案】D ‎【解析】y′＝3ax2－1，∵函数y＝ax3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，‎ 则3ax2－1≤0在R上恒成立，‎ ‎∴a＝0或∴a≤0.‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】由条件知f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴k≥1.‎ ‎3.【答案】C ‎【解析】f′(x)＝－＝.‎ ‎∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴ax－1≥0在(1，＋∞)上恒成立，‎ 显然，需a>0，‎ ‎∴函数y＝ax－1在(1，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴a－1≥0，a≥1，‎ ‎∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．‎ ‎4.【答案】A ‎【解析】对任意两个不等的正实数x1，x2，都有>0恒成立，即f(x)为增函数．‎ 则当x>0时，f′(x)>0恒成立，‎ f′(x)＝＋x>0在(0，＋∞)上恒成立，‎ 则a>(－x2)max，‎ 而－x2<0，则a≥0.‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】由f(x)＝－x3＋2ax，所以f′(x)＝－3x2＋2a，‎ 因为f(x)＝－x3＋2ax在(0,1]上是单调递增函数，‎ 所以f′(x)＝－3x2＋2a≥0在(0,1]上恒成立，‎ 即2a≥3x2在(0,1]上恒成立．‎ 因为函数y＝3x2≤3在(0,1]上恒成立，‎ 所以a≥.‎ ‎6.【答案】C ‎【解析】∵f(x)＝ex－ax－1在R上单调递增，‎ ‎∴f′(x)≥0恒成立，‎ 即f′(x)＝ex－a≥0恒成立，‎ 即a≤ex，‎ ‎∵ex>0，‎ ‎∴a≤0.‎ ‎7.【答案】B ‎【解析】∵a，b是正实数，函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x∈[－1,2]上单调递增，‎ ‎∴f′(x)＝－x2＋2ax＋b，‎ 且f′(x)＝－x2＋2ax＋b≥0在区间[－1,2]上恒成立．‎ 由于二次函数f′(x)＝－x2＋2ax＋b的图象是抛物线，开口向下，对称轴为x＝a，‎ 故有f′(－1)≥0，且f′(2)≥0，即 化简可得 2a＋2b≥5，a＋b≥，故a＋b的取值范围为[，＋∞)．‎ ‎8.【答案】A ‎【解析】f′(x)＝3x2＋a，‎ ‎∵函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，‎ ‎∵f′(x)＝3x2＋a在[1，＋∞)上是增函数，‎ ‎∴3x2＋a≥3×12＋a＝3＋a，‎ ‎∴3＋a≥0，‎ ‎∴a≥－3.‎ ‎9.【答案】B ‎【解析】f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，‎ 由Δ＝4a2－12≤0得－≤a≤.‎ ‎10.【答案】D ‎【解析】若函数f(x)＝x－alnx在区间(0,2]上单调递减，则等价为f′(x)≤0在(0,2]上恒成立，‎ 即1－≤0，即≥1，即a≥x，‎ ‎∵01，∴a≤1.‎ ‎14.【答案】B ‎【解析】因为f(x)＝x3＋ax－2，所以f′(x)＝3x2＋a，因为函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，所以f′(x)＝3x2＋a≥0在区间(1，＋∞)内恒成立且不恒为零，即a≥－3x2在区间(1，＋∞)内恒成立且不恒为零，又x∈(1，＋∞)时，(－3x2)max＝－3，所以实数a的取值范围是[－3，＋∞)．‎ ‎15.【答案】(－∞，－3]‎ ‎【解析】由题意得3ax2＋6x－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立．‎ 当a＝0时，6x－1≤0，x≤不满足题意，∴a≠0；‎ 当a≠0时，由题意得∴a≤－3.‎ 综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－3]．‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】令f′(x)＝3x2－2mx＝0，解得x＝0或x＝m，所以m＝3，m＝.‎ ‎17.【答案】(0，＋∞)‎ ‎【解析】由f′(x)＝a(3x2－1)＝3a(x－)(x＋)<0的解集为(－，)，知a>0.‎ ‎18.【答案】(0，＋∞)‎ ‎【解析】y′＝－4x2＋a且y有三个单调区间，‎ ‎∴方程y′＝－4x2＋a＝0有两个不等的实根，‎ ‎∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0.‎ ‎19.【答案】－　－6‎ ‎【解析】∵y′＝3x2＋2bx＋c，由题意知[－1,2]是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，‎ ‎∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－，c＝－6.‎ ‎20.【答案】(－∞，)‎ ‎【解析】f′(x)＝，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，∴a的取值范围是(－∞，)．‎ ‎21.【答案】[，＋∞)‎ ‎【解析】对任意x1，x2∈R，均满足(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，‎ 即函数f(x)在R上为增函数，‎ 即有f′(x)≥0在R上恒成立．‎ 由f(x)＝x3－x2＋mx＋2的导数为f′(x)＝3x2－2x＋m，‎ 由3x2－2x＋m≥0恒成立，‎ 可得判别式Δ＝4－12m≤0，‎ 解得m≥，‎ 则所求m的取值范围是[，＋∞)．‎ ‎22.【答案】[1，＋∞)‎ ‎【解析】f′(x)＝－＝，‎ 若函数f(x)＝lnx＋在[1，＋∞)上是增函数(a>0)，‎ 则ax－1≥0在[1，＋∞)恒成立，即a≥()max＝1.‎ ‎23.【答案】1‎ ‎【解析】y′＝a＋cosx，‎ ‎∵y＝ax＋sinx在R上单调递增，‎ ‎∴a＋cosx≥0，在R上恒成立．‎ ‎∴a≥－cosx，‎ ‎－cosx的最大值为1，‎ ‎∴a≥1，‎ 即a的最小值为1.‎ ‎24.【答案】(0，＋∞)‎ ‎【解析】f′(x)＝(ax－)′＝a＋，‎ 由题意得，a＋≥0在x∈(0，＋∞)上恒成立，‎ 所以a≥－在x∈(0，＋∞)上恒成立，‎ 故a≥0.‎ ‎25.【答案】(－∞，3)‎ ‎【解析】y′＝3x2－a，‎ ‎∵y＝x3－ax＋4在(1，＋∞)上为增函数，‎ ‎∴y′＝3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，‎ ‎∵3x2>3在(1，＋∞)上恒成立，‎ ‎∴a≤3.‎ ‎26.【答案】解　由已知得f′(x)＝2a＋，‎ ‎∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－在x∈(0,1]上恒成立．‎ 而g(x)＝－在(0,1]上单调递增，‎ ‎∴g(x)max＝g(1)＝－1，‎ ‎∴a≥－1，∴f(x)在(0,1]上为增函数，a的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎【解析】‎ ‎27.【答案】解　f′(x)＝3x2－a.‎ ‎(1)∵f(x)的单调减区间是(－1,1)，‎ ‎∴－1