【数学】2021届一轮复习人教A版三角函数、解三角形培优学案 94页

三角函数+解三角形 培优讲义 目录 问题一 应用三角公式化简求值的技巧问题 1‎ 问题二：应用三角函数的性质求解参数问题 17‎ 问题三：三角形中的不等问题 34‎ 问题四 与向量、数列相结合的三角形问题 54‎ 问题五：利用正、余弦定理解决实际问题 74‎ 问题一 应用三角公式化简求值的技巧问题 三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决.‎ 一、三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果.‎ ‎【例1】已知α、β为锐角,cosα＝,tan(α−β)＝−,则tanβ＝(　　)‎ A、 B、3 C、 D、‎ ‎【分析】依题意,可求得tanα＝,而已知两角α、α－β与所求角β之间存在α－(α－β)＝β的关系,故再利用两角差的正切即可求得tanβ的值．‎ ‎【点评】本题容易想到先求出tanα,然后代入tan(α－β)的展开式中求tanβ,相比之下,不如利用角的变换更简洁一些.‎ 常见的配角技巧有：‎ α＝2·,α＝(α＋β)－β,α＝β－(β－α),‎ α＝[(α＋β)＋(α－β)],＋α＝－等 ‎【例2】【2018学年吉林省长春十一中期中】已知,则________．来源:学_科_网]‎ ‎【分析】注意到,可通过调整角的差异进行求值.‎ 点评：当已知角有两个时,一般把所求角表示为两个已知角的和或差的形式；当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和或差的形式,然后应用诱导公式把所求角变成已知角,常见的互余关系有与；与,常见的互补关系有与,与．‎ ‎【变式演练】已知sin＝,则sin 2x的值为(　　)‎ A．－ B. ‎ C. D. ‎【解析】法一、sin 2x＝cos(2x－)＝1－2sin2(x－)＝1－2×()2＝,选B.‎ 法二、依题意得(sin x－cos x)＝,(sin x－cos x)2＝,1－sin 2x＝,sin 2x＝,选B.‎ 二、函数变换,乃是重点 三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.‎ ‎【例3】【2018·四川省新都一中9月测试】已知,则的值为( )‎ A．18 B． C．16 D．‎ ‎【分析】已知条件是α的正切值,要求正余弦的分式表达式的值,应从转化函数名称着手,将正余弦化为正切函数的表达式即可.‎ ‎【解析】试题分析：,选D ‎【答案】D ‎【点评】本题实为齐次式的基本模型,已知条件是正切值,或者可化为正切值的相关形式,如sinα＝4cosα,cotα＝等,所求为正余弦的齐次关系式,可以使用这种此类变换.‎ ‎【变式演练】设且则( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】由 ‎,又,,故,即.‎ ‎【答案】C 三、常数化角,曲径通幽 三角公式中有不少常数,如1、、等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.‎ ‎【例4】【2018特训】已知＝5,则sin2α－sinαcosα的值是(　　)‎ A． B．－ C．－2 D．2‎ ‎【分析】本题与例3很类似,但所求表达式为整式,于是考虑利用1＝sin2α＋cos2α,将分母变换为二次式,‎ 满足齐次式的格式后求解.‎ ‎【解析】由＝5,得＝5,即tanα＝2．‎ 所以sin2α－sinαcosα＝＝＝．‎ ‎【答案】A ‎【点评】常数的变换在化一公式中最常见,其他地方的常数变换相对更隐蔽,要细心观察表达式的特征,从中寻找蛛丝马迹.‎ ‎【变式演练】【2018届山东师大附中高三上学期二模】若,且（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】,‎ 所以 四、降幂化一,热点不断 三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径.‎ ‎【例5】【2018届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】已知函数 ‎（1）求函数的最小正周期和最大值；‎ ‎（2）求函数单调递增区间 ‎ ‎【分析】‎ 三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．‎ ‎【解析】（1）‎ 函数的最小正周期为 ,‎ 函数的最大值为 ‎（2）由 ‎ 得 ‎ 函数的单调递增区间为 ‎【点评】降幂、化一公式,是当今考查三角函数的热点,考生应熟记相关公式,规范书写,避免过失性丢分.‎ ‎【误区警示】三角函数很多性质都与周期有关,其中的k∈Z一定不能忘记,也不能写成k∈R、k∈N等.‎ ‎【变式演练】已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－＋1(x∈R)．‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)的单调递增区间；‎ ‎(3)若x∈[－,],求f(x)的值域．‎ 五、和差倍分,注意结构 三角变换中,函数表达式结构上的变换也要充分注意,结构式的差异往往隐藏着对条件和结论的联系.‎ ‎【例6】【2018·广东惠州一摸】已知. ‎ ‎(1)求的值； ‎ ‎(2)求的值．‎ ‎【分析】先化简表达式,利用商数关系得到,再利用倍角公式展开,将代入到化简的式子中计算即可；第二问,利用第一问的结论,将所求表达式化简,利用倍角公式、两角和的余弦公式,化简表达式,再利用齐次式化成关于的式子,将第一问的结论代入得到所求式子的值.‎ ‎【点评】本题需要从多角度分析,一是角的倍分关系,二是函数的同角变换,最后再利用和差角、齐次式等思想方法,方能正确求解.‎ ‎【变式演练】【2018届福建省师大附中高三上学期期中】已知,则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】,故选C．‎ 六、公式变用,柳暗花明 三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如cosα＝,tanα±tanβ＝tan(α＋β)(1tanαtanβ)等.‎ ‎【例7】的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】本题是非特殊角求值问题,首先应从10°＋50°＝60°入手,然后注意表达式特征,其中的tan10°＋tan50°和tan10°tan50°在正切的和角公式中也有显现,故考虑正切和角公式的变形.‎ ‎【解析】由 变形,‎ 故 ‎．‎ ‎【答案】B.‎ ‎【点评】三角公式是恒等式(当等式两边都有意义时),所以,我们不仅要记住公式的原型,还要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公式的变形使用驾轻就熟.‎ 总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能拘泥于某一种思维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法 ‎【变式演练】【2018届河北省衡水冀州中学高三上第二次月考】的值是 （ ）‎ A． B． ‎ C．2 D．‎ ‎【答案】C[来源:学&科&网]‎ ‎【解析】根据题意有原式,故选C．‎ 巩固练习 ‎1．【2018届河北省正定中学高三上学期期中】已知,则的值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】 因为,所以,即 ‎,所以,即,所以,所以应选．‎ ‎2．【2018届福建省师大附中高三上学期期中】若,则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为,所以,故选C．‎ ‎3．【2018届山东省实验中学高三第二次诊断性考试】已知,则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎4．【2018届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中】已知,则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得：,选C．‎ ‎5． 【2018学年湖北武汉一中等重点中学期中】已知,那么等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎6.已知cos α＝,cos(α ＋β)＝－,且α、β∈,则cos(α－β)的值等于(　　)‎ A．－ B. C．－ D. ‎【答案】D ‎【解析】∵α∈,∴2α∈(0,π)．‎ ‎∵cos α＝,∴cos 2α＝2cos2α－1＝－,‎ ‎∴sin 2α＝＝,‎ 而α,β∈,∴α＋β∈(0,π)‎ ‎∴sin(α＋β)＝＝,‎ ‎∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]‎ ‎＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)‎ ‎＝×＋×＝.[来源:]‎ ‎7.已知,,,则[来源:学*科*网]‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于,,因此,‎ ‎,,‎ ‎.‎ ‎8.已知,,则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知可知,又,‎ 所以,‎ ‎9.4cos 50°－tan 40°＝(　　)‎ A.　　 　B.　　 　C.　　 D．2－1‎ ‎【答案】C ‎10.【2018特训】在△ABC中,若tanAtanB＝tanA＋tanB＋1,则cosC的值是(　　)‎ A．－ B． C． D．－[来源:]‎ ‎【答案】B ‎【解析】由tanA·tanB＝tanA＋tanB＋1,‎ 可得＝－1,即tan(A＋B)＝－1,‎ ‎∵A＋B∈(0,π),∴A＋B＝,则C＝,cosC＝．‎ ‎11.【2018·特训】已知α,β∈(0,π),且tan(α－β)＝,tanβ＝－,求2α－β的值．‎ ‎【解析】∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0,∴0＜α＜．‎ 又tan2α＝＝＝＞0,‎ ‎∴0＜2α＜,‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1．‎ ‎∵tanβ＝－＜0,∴＜β＜π,∴－π＜2α―β＜0,‎ ‎∴2α－β＝－π．‎ ‎12．【2018届黑龙江省牡丹江市一中高三上学期期中】已知,则 ‎ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎．‎ ‎13.‎ ‎【解析】因为所以 所以 ‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎14.【2018·特训】已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－ (ω＞0)的最小正周期为π．‎ ‎(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,已知a＝1,b＝,f()＝,求角C的大小．‎ ‎【解析】解：(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．‎ ‎∵T＝π,∴ω＝1,‎ ‎∴f(x)＝sin(2x＋),增区间为[kπ－,kπ＋](k∈Z)．‎ ‎(2)∵f()＝sin(A＋)＝,‎ 角A为△ABC的内角且a＜b,‎ ‎∴A＝．‎ 又a＝1,b＝,∴由正弦定理得＝,‎ 也就是sinB＝＝×＝．‎ ‎∵b＞a,∴B＝或B＝,‎ 当B＝时,C＝π－－＝；‎ 当B＝时,C＝π－－＝．‎ ‎15.【2018届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试】在三角形中, ‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）已知分别是内角的对边,若且,求三角形的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎,‎ ‎,;‎ 问题二：应用三角函数的性质求解参数问题 三角函数,因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意.‎ 一、与函数最值相关的问题 ‎【例1】【2018届山东省胶州一中高三第一次检测】已知,为常数)‎ ‎(1)若,求的最小正周期；‎ ‎(2)若在上的最大值与最小值之和为3,求的值．‎ 分析：(1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简,得到的形式,利用公式 计算周期．(2)求三角函数的最值,通常都是先化简函数表达式,一般化为正弦型或余弦型函数,确定变量的取值范围,然后根据单调性得出最值．‎ ‎ 点评：第(2)题是一个常考点,也是易错点.确定出,再根据正弦函数的单调性得出最大值和最小值,是解决本题的关键.‎ ‎【变式训练1】【2018届江西省南昌二中高三上第三次考试】‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求函数y = f（x）的单调递增区间；‎ ‎（Ⅱ）当x ∈ ［0,］ 时,函数 y = f（x）的最小值为 ,试确定常数a的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎（Ⅱ）当时, ‎ ‎∴当时,函数取得最小值为 ‎∴由已知得=,‎ ‎∴．‎ 二、根据函数性质求参数取值范围 如果解析式中含有参数,要求根据条件,使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,则通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.‎ ‎【例2】【2018届湖北省重点中学高三上学期第三次月考】已知函数 ‎．‎ ‎(1)若函数的图像关于直线对称,求a的最小值;‎ ‎(2)若存在使成立,求实数m的取值范围.‎ 分析：(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将化为,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出的最小值即可；‎ ‎(2)根据的范围求出的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f(x0)的值域,从而可求出m＝的取值范围．[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎【变式训练2】【2018届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试】 若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 ．[来源:学§科§网Z§X§X§K]‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数在区间上单调递增 所以在区间上恒成立 因为,所以 所以 因为在区间上单调递增 所以 所以,即实数的取值范围是 三、参数的整体思想 有的试题中,参数只是一个中间变量,在解题中是一座桥梁.具体解析中不一定要求出变量本身的值,而可以整体代换,求出最后结论.‎ ‎【例3】【2018届山东省胶州一中高三第一次检测】函数在一个周期内的图象如图所示,为图象的最高点,、为图象与轴的交点,且为正三角形.‎ ‎(1)求的值及函数的值域；‎ ‎(2)若,且,求的值.‎ 分析：(1)根据图象中的特殊点坐标,可求得结论；(2)将条件代入后,可得到关于x0的一个表达式,注意该表达式与所求结论之间的关系,整体代换,不必求出x0具体的值.‎ ‎ ‎ ‎(2)因为(1)有 ‎ ‎ 由 所以,‎ 故 ‎ ‎ ‎ .‎ 点评：整体代换可以简化运算步骤,节约时间,同时提高准确性,避免过失性丢分.‎ 四、等式或不等式恒成立问题 在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围.‎ ‎【例4】【2018届湖南省娄底高中名校9月联考理】已知函数 ‎(1)求的值域和最小正周期；‎ ‎(2)若对任意,使得恒成立,求实数的取值范围.‎ 分析：首先利用三角函数的恒等变形,化简,立即得到值域和最小正周期；然后求出的在时的取值范围,由m＝解出的取值范围.‎ 解析：(1) ‎ ‎∵.‎ ‎∴的值域为,最小正周期为π.‎ 点评：1、三角函数的性质与恒等变换是基础；2、利用等式将m转换为f(x)的函数关系是解决第(2)题的常规手段.‎ ‎【变式训练3】【2018届山东师大附中高三上学期二模】设函数,若对于任意的实数x,都有,求实数a的范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设则 ‎（1）,‎ ‎（2）,‎ ‎（3）,‎ 综上所述： ‎ 解法二：‎ 设 时不等式成立;‎ 设 综上所述 ：‎ 五、利用三角代换解决范围或最值问题 由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的范围,达到解决问题的目的.‎ ‎【例5】【2018高考湖北卷理第9题】已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )‎ A. B. C.3 D.2‎ 点评：合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁.‎ ‎【变式训练4】【2018学年安徽省阜阳市三中高二上第一次调研】已知实数满足,则有（ ）‎ A．最小值和最大值1 B．最小值和最大值1‎ C．最小值和最大值 D．最小值1,无最大值 ‎【答案】B ‎【解析】由,可设 ,则=,故选B.‎ ‎ 针对特训 ‎1.【2018学年吉林省长春十一中高一上期中】若对恒成立,则实数的取值范围是（ ） ‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎【答案】B ‎2．【2018届江西省南昌二中高三上第三次考试】若函数的图像关于直线,则的最大值为（ ）‎ A．2 B．或 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵函数 的图象关于直线对称,∴时,函数取得最值,∴或∴ ,化简可得 ,解得,或,所以的最大值为或,故选B．‎ ‎3．【2018届山东省实验中学高三第二次诊断性考试】将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎4.【2018届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中】若函数在上单调递减,且在上的最大值为,则的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得：,解得,选A．‎ ‎5．【2018届甘肃省兰州一中高三上学期期中】若将函数y＝tan（ω>0）的图象向右平移个单位长度后,与函数y＝tan的图象重合,则ω的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像．‎ 又因为,依题意可得,,‎ 由得的最小值为．故D正确．‎ ‎6．【2018学年甘肃省天水一中高一下学期期中】设,若函数在上单调递增,则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于函数为奇函数,且在上单调递增,结合函数的图象可知该函数的半周期大于或等于,所以,所以选择D．‎ ‎7.【2018届河北省衡水中学高三上学期三调考试】已知点在圆上,则函数的最小正周期和最小值分别为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎8．【2018届湖北省龙泉中学等高三9月联考】函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可知,解得,故选A．‎ ‎9．设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解,则 . ‎ ‎【解析】原方程可变为,如图作出函数的图象,再作直线,从图象可知函数在上递增,上递减,在上递增,只有当时,直线与函数的图象有三个交点,,,,所以．‎ ‎10.【2018届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试】若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数在区间上单调递增 所以在区间恒成立,‎ 因为,所以在区间恒成立 所以 因为,所以 所以的取值范围是 ‎11．【2018届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考】已知,,且在区间有最小值,无最大值,则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示,因为,且,又在区间内只有最小值、无最大值,所以在处取得最小值,所以,所以．又,所以当时,；当时,,此时在区间内有最大值,故．‎ ‎12．【2018届浙江省温州市二外学校高三10月月考】若函数在区间[0,]上是单调函数,最大值为,则实数= ．‎ ‎【答案】‎ ‎13.已知函数,其中 ‎(1)当时,求在区间上的最大值与最小值；‎ ‎(2)若,求的值.‎ 解析：(1)当时,‎ 因为,从而 故在上的最大值为最小值为－1.‎ ‎(2)由得,‎ 又知解得 ‎14、【2018届江西省南昌二中高三上期第三次月考】已知[来源:]‎ ‎(1)求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；‎ ‎(2)若,,求的值．‎ 解析：(1)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴函数的最小正周期为,‎ ‎∵,∴,∴,；‎ ‎(2)由(1)可知,则,,‎ 又∵,∴,∴,‎ 即．‎ ‎15.【2018届黑龙江牡丹江一中高三10月月考】已知函数（）．‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求函数在区间上的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）‎ ‎ ‎ 所以的最小正周期为 ‎ ‎（2）解：‎ 因为, 所以, ‎ 所以 所以 ‎ 即在区间上的取值范围是． ‎ ‎16．【2018届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中】已知函数的最大值为．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）将的图象向左平移个单位,得到函数的图象,若方程＝m在x∈上 有解,求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）-3≤m≤ ‎ ‎【解析】（1）‎ ‎,‎ 由,解得,‎ 所以函数的单调递增区间 ‎（3）将的图象向左平移个单位,得到函数的图象,‎ ‎－1（ 或写成=2cos（2x+）－1 ）‎ 当时,,取最大值; 当时,,取最小值-3．‎ 方程＝m在x∈上有解,即 -3≤m≤ ‎ ‎17．【2018届黑龙江省牡丹江市一中高三10月月考】已知 ‎（I）当时,求在上的最值； ‎ ‎（II）若函数在区间上不单调．求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）,；（II）．‎ ‎【解析】 （I）当时,,∴‎ 令,得．‎ ‎0‎ ‎[来源:]‎ ‎0‎ ‎0‎ 增 减 所以,‎ ‎（II）,,‎ ‎∴‎ 则 ‎∵,∴‎ 当时,在上恒成立,即在区间上递减,不合题意,‎ 当时,在上恒成立,即在区间上递增,不合题意,‎ 故函数在区间上不单调,则,‎ 综上所述,实数的取值范围为．‎ 问题三：三角形中的不等问题 在△ABC中,如果A,B,C对应边分别用a,b,c表示,则常见的等式有：A＋B＋C＝π,(正弦定理),c2＝a2＋b2－2abcosC(余弦定理)等,而其中隐藏的不等关系也很多,如0＜A＜π,0＜A＋B＜π,|a－b|＜c＜a＋b,如果是锐角三角形,则还有0＜A＜,＜A＋B＜π,a2＋b2＞c2等等,解题中充分利用这些关系,结合不等式相关性质,可以求出相关变量或解析式的准确范围.‎ ‎ 一、角的范围或最值 ‎【例1】【2018届江西省红色六校高三第一次联考】△ABC的三个内角为A,B,C,若,则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据已知条件,可以得到A的值,从而得到B与C的关系,将sinBsinC换为一元函数后,利用三角函数的有界性求范围(最值).‎ ‎【点评】利用三角函数的有界性求最值,是三角函数相关范围问题的基本思路 ‎【变式训练1】【2018届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考】△的面积为,,则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得,即,又,所以．＝＋＝＝＝．因为,,所以,所以当时,,当或时,,所以,即的取值范围是．‎ 二、边的范围或最值 ‎【例2】【2018重庆卷理第10题】已知的内角A,B,C满足sin2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是( )‎ A.bc(b＋c)＞8 B.ac(a＋b)＞16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24‎ ‎【分析】条件都是角的关系,而需要的结论都是边的关系,因此,可考虑将条件转换为边,但其中的和差角首先应变为二倍角,利用三角函数性质现行进行变换,化简后再利用正弦定理转化为边(包括外接圆半径)的关系求范围.‎ ‎【解析】因为A＋B＋C＝π,所以A＋C＝π－B,C＝π－(A＋B),[来源:]‎ 由已知sin 2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋,‎ 即sin 2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋,‎ 所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋,‎ 所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋, ‎ 所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝,所以sin Asin Bsin C＝.‎ 由1≤S≤2,得1≤bcsin A≤2.‎ 由正弦定理得a＝2Rsin A,b＝2Rsin B,c＝2Rsin C,‎ 所以1≤2R2·sin Asin Bsin C≤2,所以1≤≤2,即2≤R≤2,‎ 所以bc(b＋c)>abc＝8R3sin Asin Bsin C＝R3≥8.‎ ‎【答案】A　‎ ‎【点评】本题得出中间结论“1≤≤2”,是后面得出边的不等关系的桥梁.‎ ‎【变式训练2】【2018届山西省忻州市高三上学期第一次四校联考】在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且BC边上的高为,则 的最大值是( )‎ A.8 B. 6 C. D.4‎ ‎【答案】D ‎【点评】从一、二两个部分的解析过程中可以看出,角的问题和边的问题往往是相互交叉的,在解析中应该充分注意两类元素的合理转换,利用各自的特点,才能更好的解决问题 三、周长的范围或最值 ‎【例3】【2018届宁夏银川一中高三上学期第二次月考】已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,.‎ ‎(1)求A的大小； ‎ ‎(2)若a＝7,求△ABC的周长的取值范围．‎ ‎【分析】(1)条件中的等式给出了边角满足的关系式,利用正弦定理,统一为角之间的关系,消去(替换掉)B和C,即可求出A的值；(2)根据题意可知,欲求周长的取值范围,即求b＋c 的取值范围,首先显然有b＋c＞a＝7,再由余弦定理结合基本不等式可知 ‎,从而得解．‎ ‎【解析】(1)由正弦定理得：‎ ‎；‎ ‎(2)由已知：,,,‎ 由余弦定理 当且仅当b＝c＝7时等号成立,∴,又∵b＋c＞7,∴7＜b＋c≤14,‎ 从而△ABC的周长的取值范围是(14,21]．‎ ‎【点评】周长问题也可看做是边长问题的延伸,所以在解决周长相关问题时,着眼于边长之间的关系,结合边长求最值(范围)的解决方式,通常都能找到正确的解题途径.‎ ‎【变式训练3】【2018届贵州省贵阳一中高三上学期第三次月考】中,角、、所对的边为、、,且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若,求的周长的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）6．‎ 四、面积的范围与最值 ‎【例4】如图,在等腰直角三角形OPQ中,∠POQ＝90°,OP＝2,点M在线段PQ上．‎ ‎[来源:]‎ ‎(1)若,求PM的长；‎ ‎(2)若点N在线段MQ上,且∠MON＝30°,问：当∠POM取何值时,△OMN的面积最小？并求出面积的最小值．‎ ‎【分析】第(1)题利用余弦定理求MP的长,难度不大；第(2)题求△OMN的面积最小值,前面的要求也很明确：以∠POM为自变量,因此,本题的中点就是如何将△OMN的面积表示为∠POM的函数关系式,进而利用函数最值求解.其中,利用正弦定理将OM和ON的长表示为∠POM的函数是关键.‎ ‎【解析】(1)在中,,,,‎ 由余弦定理得,,‎ 得, 解得或．‎ ‎(2)设,,‎ 在中,由正弦定理,得,‎ 所以, 同理 故 ‎ ‎ 因为,,‎ 所以当时,的最大值为,此时的面积取到最小值．‎ 即时,△OMN的面积的最小值为．‎ ‎【点评】面积问题是边长与角问题的综合,解题中既要考虑边的变化,也要考虑相关角的变化,通常是利用面积公式,将其转化为同一类元素,然后利用三角函数范围或者实数的不等关系求解.‎ ‎【变式训练4】【2018届福建省师大附中高三上学期期中】已知分别为三个内角的对边,‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若,求面积的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ 五、与其它知识点的综合问题 ‎【例5】已知O为△ABC的外心,,若,则x＋y的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】如图所示,以BC边所在直线为x轴,BC边的垂直平分线为y轴建立直角坐标系(D为BC边的中点)．‎ 由外接圆的性质可得∠BOD＝∠COD＝∠BAC．‎ 由,不妨设外接圆的半径R＝3．则OA＝OB＝OC＝3．‎ ‎∵cos∠COD＝,∴OD＝1,DC＝＝2．‎ ‎∴B(−2,0),C(2,0),O(0,1),A(m,n)．‎ 则△ABC外接圆的方程为：x2＋(y－1)2＝9．(*)‎ ‎∵,‎ ‎∴(－m,1－n)＝x(−2−m,−n)＋y(2−m,−n),‎ ‎∴’‎ ‎∵时,否则,由图可知是不可能的.‎ ‎∴可化为,代入(*)可得,‎ 化为18(x＋y)＝9＋32xy,‎ 利用重要不等式可得18(x＋y),‎ 化为,‎ 解得.‎ 又x＋y<1,故应舍去,‎ ‎∴,‎ 故x＋y的最大值为.‎ ‎【答案】D ‎【点评】三角函数值也是一个实数,所以,它也可以与其他实数进行代数运算,也可以与其它知识点进行交汇,如向量、数列、不等式等等,解题中要综合这些知识和相关方法,灵活处理,才能既快又准的解决问题.‎ ‎【变式训练5】【2018届河南省中原名校高三上学期第一次摸考】在ABC中,记角A,B,C的对边为a,b,c,角 A为锐角,设向量 ,且．‎ ‎（1）求角A的大小及向量与的夹角；‎ ‎（2）若,求ABC面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）由数量积的坐标表示得,根据,求A；（2）三角形中,知道一边和对角,利用余弦定理得关于的等式,利用基本不等式和三角形面积公式得ABC面积的最大值．‎ ‎ ‎ ‎(2)因为,‎ 得：‎ 即面积的最大值为 考点：1、平面向量数量积运算；2、余弦定理和三角形面积公式．‎ 针对特训 ‎1.在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为,则是的（ ）‎ A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】在三角形中,根据正弦定理,,且a,b,sinA,sinB均为正数 于是“a≤b”与“sinA≤sinB”等价,即充分必要条件.选A ‎2.【2018届浙江省重点中学协作体高三第一次联考】各角的对应边分别为,满足,则角的范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎3.【2018学年湖南省株洲县五中高二下学期第一次月考】锐角中,已知,则的取值范围是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理可得,‎ 所以．‎ 因为为锐角三角形,所以．‎ 即．故C正确．‎ ‎4.【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上期第一次模拟】已知锐角三角形ABC中,角A,B满足2tanA＝tan(A＋B),则tanB的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】锐角A,B满足2tanA＝tan(A＋B),‎ 为简单起见,令tanA＝x,tanB＝y(x、y＞0)．‎ 则有 ,‎ 即 ,‎ 当且仅当且x＞0时取等号,‎ 故y＝tanB的最大值为,‎ 故选D．[来源:学.科.网Z.X.X.K]‎ ‎5.设锐角的三内角、、所对边的边长分别为、、,且 ,, 则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎6.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若A＝2B,给出下列命题：‎ ‎①；②；③a2＝b2＋bc．其中正确的个数是( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】在锐角三角形ABC中,,又因为．所以即,‎ ‎∵,,所以,‎ ‎∵a2＝b2＋c2－2bccosA,‎ ‎∵b2＋c2－2bccosA－(b2＋bc)‎ ‎＝c2－2bccosA－bc ‎＝c(c－2bcosA－b)‎ ‎＝c2R(sinC－2sinBcosA－sinB)‎ ‎＝2Rc(sin3B－2sinBcos2B－sinB)‎ ‎＝2Rc(sinBcos2B＋cosBsin2B－2sinBcos2B－sinB)‎ ‎＝2Rc(cosBsin2B－sinBcos2B－sinB)‎ ‎＝0‎ ‎∴a2＝b2＋bc．‎ ‎∴①③对．故选：C．‎ ‎7.【2018届湖北武汉华中师大第一附中高三上期中考试】已知,在区间上任取三个数,均存在以为边长的三角形,则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎8.【2018届宁夏银川市二中高三上学期统练】为锐角三角形,内角的对边长分别为,已知,且,则的取值范围是______________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,因为为锐角三角形,所以,因为为锐角三角形,所以即解得的取值范围是 ‎9．【2018全国卷1理第16题】已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a＝2,且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC,则△ABC面积的最大值为____________．‎ ‎【解析】 根据正弦定理和a＝2可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c,‎ 故b2＋c2－a2＝bc,‎ 根据余弦定理得cos A＝＝,‎ 所以A＝.‎ 根据b2＋c2－a2＝bc及基本不等式得bc≥2bc－a2,‎ 即bc≤4,‎ 所以△ABC面积的最大值为×4×＝.‎ ‎【答案】　‎ ‎10.【2018届河北省衡水中学高三上学期三调考】中,,则的最大值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设,由余弦定理的推论,所以,设,代入上式得,,故,当时,此时,符合题意,因此最大值为,故答案为：．‎ ‎11.【2018届安徽省示范高中高三第一次联考】在中,若,则的面积取最大值的边长等于 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系．设C (x,y),则A(-1,0),B(1,0),由题意得,即,故点C的轨迹为圆（除去与x轴的两个交点）,易知．此时最大的边长为．‎ ‎12.【 2018届学年江西省新余一中等校高三联考】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=1,a=2c,则sinC的最大值为 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】根据余弦定理,可以求得,利用基本不等式可以求得的最小值为,此时取到最大值．‎ ‎13. 【2018届福建省上杭县一中高三上学期期中】中内角,,的对边分别为,,,向量,,且．‎ ‎（1）求锐角的大小；‎ ‎（2）如果,求的面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）的最大值为．‎ ‎14．【2018届北京市朝阳区高三上学期期中】在中,角所对的边分别为．已知．[来源:]‎ ‎（Ⅰ）若,求的面积；‎ ‎（Ⅱ）求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）在中,因为,‎ 所以, ‎ 由正弦定理 可得则． ‎ 又为锐角,则,所以． ‎ 所以 ‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎．‎ 因为,‎ 所以． ‎ 则． ‎ 所以的取值范围是． ‎ ‎15．【2018届浙江省绍兴市一中高三上学期期中】在三角形中,,,的对边分别为,,,且 ‎（1）求；‎ ‎（2）若,求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由余弦定理知：,∴；（2）由正弦定理得：,∴,,∴‎ ‎,‎ 又∵,∴,∴,∴． ．‎ ‎16．【2018届广东省广州市执信中学高三上学期期中】在中,角A、B、C所对的边分别为,且满足. ‎ ‎（1） 求角A的大小；‎ ‎（2）若,求周长的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）12．‎ ‎【解析】（1）依正弦定理可将化为 又因为在中,,∵ ‎ ‎（2）因为的周长, 所以当最大时,的周长最大．‎ 解法一： （当且仅当时等号成立）‎ 所以周长的最大值12‎ 解法二:因为,‎ 所以, ‎ 故当且仅当时, 取到最大值8‎ 所以周长的最大值12‎ ‎17．【2018届辽宁省大连市二十中高三10月月考】在中,角对边分别为,且．‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若,求周长的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】（1）由正弦定理 可将变形为,‎ 整理可得,,‎ ‎,, ‎ ‎18．【2018届吉林省实验中学高三上学期二模】在△ABC中,a, b, c分别为内角A, B, C的对边,且,‎ ‎（Ⅰ）求A的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）120°；（Ⅱ）1‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知,根据正弦定理得 即 由余弦定理得 ‎ 故,A=120° ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得：‎ 故当B=30°时,sinB+sinC取得最大值1. ‎ ‎19．【2018届甘肃省兰州一中高三上学期期中】在△ABC中,已知asinA-csinC=（a-b）sinB, △ABC 外接圆的半径为．‎ ‎（1）求C； ‎ ‎（2）求△ABC的面积S的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎20己知在锐角三角形中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 ‎(1)求角大小；‎ ‎(2)当时,求的取值范围 ‎【解析】(1)由已知及余弦定理,得因为为锐角,所以 ‎(2)由正弦定理,得,[来源:学,科,网Z,X,X,K]‎ 由得 问题四 与向量、数列相结合的三角形问题 在知识点的交汇处命题，是当前高考的热点，三角函数也不例外.三角函数本身就属于代数与几何的结合体，其函数的思想、几何的思想、数形结合的思想随处可见.本文拟从其中较为多见的与向量、数列等相结合的三角问题说起.‎ 一、三角与向量的交汇 ‎[来源:]‎ 现行高中数学教材中，向量是继函数之后的一条主线，贯穿整个高中数学教学，也在各种问题的解决中起着广泛的作用.‎ 而向量与三角知识的交汇，通常题目以三角函数为主体，但条件中涉及一些向量知识，如向量的坐标中包含三角表达式，然后给出向量之间的平行、垂直关系，或者用向量的数量积表示函数等等，这种情况在当前的试题中还很常见.‎ ‎【例1】【2018届安徽省皖南八校高三第一次联考】在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则△ABC最小角的正弦值等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】三角形中的向量问题，通常先选基底，然后利用向量相等的充要条件转化为相应的数量关系即可.‎ ‎【解析】∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∵与不共线 ‎∴，‎ ‎∴△ABC最小角为角A，‎ 所以，∴，故选C.‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题中，三角形三边所在的向量两两不共线，当化为两个不共线向量之和为零向量，则隐藏着他们的“系数同时为0”的条件，从而可得到三边的关系.‎ ‎【例2】【2018广东高考数学试题】在平面直角坐标系中，已知向量，‎ ‎.‎ (1) 若，求的值；‎ (2) 若与的夹角为，求的值.‎ ‎【分析】以三角函数值为坐标给出的向量，通常只是为给出一个关系式，我们只需要将这个关系转化为三角函数的相关等式即可.‎ ‎【变式训练1】【2018届宁夏大学附中高三上期中】已知向量，‎ ‎(1)当时，求的值；‎ ‎(2)求在上的值域．‎ ‎【分析】本题与例2类似，利用向量的平行关系，得到三角函数等式，求出tanx的值，第(1)小题即可得解，第(2)小题及时将向量运算变换为三角函数式，求值域就是常规问题了.‎ ‎【变式训练2】【2018届山东师大附中高三上学期二模】已知向量，函数．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求函数的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）向量，‎ 则函数，‎ ‎，‎ 则，；‎ ‎（2）由，则，‎ ‎，‎ 则．则的值域为．‎ ‎【例3】【(2018届浙江省温州市十校联合体高三上期中)已知为的三个内角的对边，向量＝(2sinB，2－cos2B)，，，，‎ ‎(1)求角的大小；(2)求的值．‎ ‎【分析】本题与例2有相似之处，但条件中涉及三角形，既有边的关系，又有角的关系，在将向量关系转化为边角关系后，再利用三角形中的正余弦定理，即可解决本题.‎ ‎【解析】(1)由已知可得，即，变形可得，又，则或，根据，得.‎ 由余弦定理得，解之即得.‎ ‎【变式训练3】【2018届福建省上杭县一中高三上学期期中】‎ 中内角，，的对边分别为，，，向量，，且 ‎．‎ ‎（1）求锐角的大小；‎ ‎（2）如果，求的面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）的最大值为．‎ ‎【解析】（1），，且 ‎，即，‎ ‎，，，，即．‎ ‎，，由余弦定理得：，又，代入上式得：（当且仅当时等号成立），（当且仅当时等号成立），则的最大值为．‎ 二、三角与数列的交汇 数列与三角函数的交汇问题也是一类常见问题，主要题型有两大类：一是在解三角形中，一些条件用数列语言给出，常见的如三角形三内角A，B，C成等差数列；三边a，b，c成等比数列等，二是数列通项种含有三角函数，我们可以借助三角函数的周期性求和。 ‎ ‎【例4】设的内角的对边分别为，且成等比数列，则角的取值范围是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【分析】利用成等比数列，得，再利用余弦定理，将边与角联系，最后用基本不等式求出cos的范围.‎ ‎【解析】由成等比数列，得，‎ 所以，‎ 由于B是的内角，所以的取值范围是． 故选C.‎ ‎【点评】“成等比数列”是为了给出“”这一条件，所以，解题的重点是如何利用这个条件将边与角的关系联系起来.‎ ‎【变式训练4】【2018届河南省中原名校高三上学期第一次联考】已知是等差数列的前项和，且，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，是数列的前项和，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【例5】【2018高考陕西第16题】△ABC的内角所对的边分别为.‎ ‎(1)若成等差数列，证明：；‎ ‎(2)若成等比数列，求的最小值.‎ ‎【分析】成等差数列，可利用正弦定理转化为角的关系；成等比数列，则b2＝ac，利用余弦定理可得cosB的关系式，再利用基本不等式求得cosB的范围.‎ ‎【解析】(1)∵a，b，c成等差数列[来源:]‎ ‎∴a＋c＝2b 由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB ‎∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)‎ ‎∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)‎ ‎(2)∵a，b，c成等比数列 ‎∴b2＝ac 由余弦定理得 ‎∵a2＋c2≥2ac(当且仅当a＝c时等号成立)‎ ‎(当且仅当a＝c时等号成立)‎ ‎(当且仅当a＝c时等号成立)‎ 即 所以cosB的最小值为.‎ ‎【点评】边的等差关系，通常利用正弦定理转化，而边的等比关系，则利用余弦定理找边角关系.‎ ‎【变式训练5】【2018学年河南省方城县第一高级中学高二10月月考】在中，角的对边分别为，且成等差数列 ‎(1)若，求的面积 ‎(2)若成等比数列，试判断的形状 ‎【分析】成等差数列，有B＝，第一问随即得解；由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，结合B＝，可得a＝c.‎ ‎【解析】(1)由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C(1)‎ 因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π．(2)‎ 得B＝‎ b2＝a2＋c2－2accosB 所以 解得或(舍去)‎ 所以 ‎(2)由a，b，c成等比数列，有b2＝ac(4)‎ 由余弦定理及(3)，可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac 再由(4)，得a2＋c2－ac＝ac，‎ 即(a－c)2＝0‎ 因此a＝c 从而A＝C(5)‎ 由(2)(3)(5)，得A＝B＝C＝‎ 所以△ABC为等边三角形．‎ ‎【点评】在三角形中，三边和三角都是实数，三个数很容易联想到数列的三项，所以，三角函数与数列的结合也是较为常见的问题，解答中注意几个常见结论，此类问题就不难解答了.‎ ‎ 三、三角与其他知识点的交汇 ‎【例6】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为(为参数，)．‎ ‎(1)写出直线的直角坐标方程；‎ ‎(2)求直线与曲线的交点的直角坐标.‎ ‎【分析】利用ρcosθ＝x,ρsinθ＝y将极坐标转化为直角坐标，同时将参数方程消去参数化为普通方程，本题不难求解.‎ ‎【点评】极坐标本身就是利用三角函数思想建立，而圆和椭圆的参数方程也是利用三角函数中的同角关系式进行代换，所以，这两个知识点与三角函数的关系非常密切.‎ ‎【例7】已知椭圆：与x正半轴、y正半轴的交点分别为，动点是椭圆上任一点，求面积的最大值.‎ ‎【分析】先求顶点坐标，再求直线方程，根据椭圆的参数方程表示出点的坐标，然后再求点到直线的距离，表示出面积，然后求最值 ‎ ‎【点评】与椭圆上点有关的范围或者最值问题，用参数方程进行三角代换后，可以利用正余弦的有界性求范围或者最值.‎ ‎【例8】已知：复数，，且，其中、为△ABC的内角，、、为角、、所对的边．‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)若，求△ABC的面积.‎ ‎【分析】(1)先利用复数相等得出三角形的边角关系，再利用正弦定理将边转化为角，利用三角关系求角B;(2)利用余弦定理求出有关的关系，再利用三角形的面积公式进行求解 .‎ ‎【解析】(1)，①， ②；‎ 由①得 ③;‎ 在中，由正弦定理得 ‎ ∴ ∴，∵ ∴ ‎ ‎(2) ∵，由余弦定理得， ④‎ 由②得 ⑤ ‎ 由④⑤得，‎ ‎∴ ＝.‎ ‎【点评】本题其实就是利用复数相等建立两个边角关系，而复数与三角函数也有密切关系，只是现行教材的范围限制，对复数的三角形式暂不作要求，但应该注意与其相关的试题出现.‎ 总体来看，三角函数可能交汇的知识点众多，相应的考点、解题思想方法也就千变万化，我们在解决这类问题时，既要考虑三角函数方面的方法，也要关注其他知识点的思想，有时候两者结合起来还可能出现一些巧妙的思路，如数形结合、参数思想等，这对于我们解决进一步问题都将会有很好的启迪.‎ 针对特训 ‎1．【2018届辽宁省沈阳市二中高三上学期期中】在△ABC中，分别为∠A，∠B，∠C的对边，且，若向量和平行，且sinB＝，当△ABC的面积为时，则b＝（ ）‎ A． B．2 C．4 D．2＋‎ ‎【答案】B ‎2．【2018届湖南省长沙明德中学高三上第三次月考】已知向量，向量，且，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以由平面向量的数量积的坐标运算可得：，所以，所以，故应选．‎ ‎3．【2018学年重庆市巫山中学高二上第一次月考】在公比为的等比数列中，若，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设 ‎4．【2018届云南省玉溪市一中高三上学期期中】已知为等差数列，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为数列为等差数列，所以有，又，‎ ‎，从而 故选A．‎ ‎5.在，三个内角、、所对的边分别为、、，若内角、、依次成等差数列，且不等式的解集为，则等于( )‎ A． B．4 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】内角、、依次成等差数列，因此，‎ ‎，因此，‎ 不等式的解集为，‎ 因此，由余弦定理得，．‎ ‎6.部分图象如图，若，等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D．‎ ‎【解析】∵，∴，‎ ‎∴，∴，，‎ ‎∴，，∴．‎ ‎7.【2018届浙江省桐乡第一中学等四校高三上学期期中联考】已知{an}是等比数列，其中是关于的方程的两根，且，则锐角的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C.‎ ‎8.【2018山东高考理第12题】在中，已知＝tanA，当时，的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由＝tanA得 ‎，‎ 所以，.‎ ‎9.直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值是________．‎ ‎【答案】 ‎10.【2018届河北省正定中学高三上学期期中】等差数列的前项和为，已知，且，，则=__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】因为，，所以，，解之得，，所以，所以 ‎，所以，故应填．‎ ‎11．【2018届云南省玉溪市一中高三上学期期中】数列的通项其前项和为，则=______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎，‎ 故答案应填：-470．‎ ‎12.【2018届浙江省瑞安市高三上学期第一次四校联】设向量，其中为实数，若，则的取值范围为 。‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为，所以，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎，，解得.‎ ‎，‎ ‎，即.‎ ‎13．【2018届北京市朝阳区高三上学期期中统一考试】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为函数在区间上单调递增 所以在区间恒成立，‎ 因为，所以在区间恒成立 所以 因为，所以 所以的取值范围是 ‎14.【2018学年福建省八县一中高二上学期期中考试】已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设最小边为，所以另外两边为 ‎15.【2018届重庆市巴蜀中学高三上学期第三次月考】△的面积为，，则的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎16.【2018届安徽省“江南十校”高三第二次模拟】设是椭圆的下焦点，为坐标原点，点在椭圆上，则的最大值为.‎ ‎【解析】设，则 所以的最大值为 ‎【答案】‎ ‎17．【2018届山西省山西大学附中高三10月月考】中，内角的对边分别是，已知 成等比数列，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，求的值．‎ ‎【答案】（1）或；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为成等比数列，所以,‎ 由余弦定理可知：‎ 又，所以，且，解得．‎ 于是．‎ ‎（2）因为,所以，所以，‎ 又，于是．‎ ‎【另解】由得，由可得，即 由余弦定理 得 ‎ ∴ ．‎ ‎18．【2018届黑龙江牡丹江一中高三10月月考】在中, 且∥‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，当面积取最大时，求内切圆的半径．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎19．【2018届四川省成都市七中高三11月段测】设△ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．平面向量= （cosA，cosC），=（c，a），=（2b，0），且·（-）=0‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）当|x|≤A时，求函数f（x）=sinxcosx+sinxsin（x-）的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为·（-）=0，[来源:]‎ 所以 所以，即 ‎，‎ ‎20．【2018届辽宁省葫芦岛市一中高三上学期期中】已知向量，，函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）已知、、分别为内角、、的对边，其中为锐角，，,且，求，和的面积．[来源:]‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），，．‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ ‎．因为，所以．‎ ‎（Ⅱ），因为，，所以，．则，所以，即，则，从而．‎ 问题五：利用正、余弦定理解决实际问题 三角函数本身起源于人们对大自然中物体的测量,直到科技发达的今天,仍然有不少领域、不少技术涉及到三角函数,可以说,三角函数的出现,是人类的文明进步的一个重大体现,也是人类进步不可或缺的重要工具.‎ 正因为如此,我们在学习三角函数中,一定要重视它的实用性,利用三角函数,特别是利用正余弦定理解决实际问题,就成为当今考查的一个热门,应该引起大家的高度重视.‎ 一、正弦定理的应用 正弦定理是解三角形的一个重要工具,在三角形的三边和三角这六个条件中,如果涉及两边及一边对角,或者两角与一边问题时,通常利用正弦定理作为入手点,可以很快求出第四个量,为后面解三角形铺平道路.‎ ‎【例1】【2018河南省方城县一中高二10月月考】如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D,测得∠BDC＝45°,则塔AB的高是（ ）‎ A．10m B．10m C．10m D．10m ‎【分析】在知道∠ACB的情况下,只要知道BC的长即可,因此在△BCD中,知道两角及一角对边,求另一角对边,可以使用正弦定理.‎ ‎【解析】设塔高为x米,根据题意可知在△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=60°,AB=x,‎ 从而有BC＝x,AC＝x 在△BCD中,CD=10,∠BCD=60°+30°+15°=105°,∠BDC=45°,∠CBD=30°‎ 由正弦定理可得,‎ 可得,BC＝=‎ 解得 ‎【答案】D ‎【点评】如果知道两角及其一角对边,或者两边及其一边对角,可以利用正弦定理.当然,如果与外接圆半径有关的边角关系,也可以考虑正弦定理.‎ ‎【变式训练1】【2018届广东省惠州市高三上学期第二次调研】如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为,,此时气球的高是,‎ 则河流的宽度BC等于（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】,,,‎ 所以.选A ‎【例2】【2018学年湖南师大附中高二上第一次段测】如图所示,某镇有一块空地,其中,．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点,拟在中间挖一个人工湖,其中M,N都在边A,B上,且,挖出的泥土堆放在地带上形成假山,剩下的地带开设儿童游乐场．为了安全起见,需在的一周安装防护网．‎ ‎（Ⅰ）当时,求防护网的总长度；‎ ‎（Ⅱ）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍,试确定的大小．‎ ‎【答案】（Ⅰ）9km．（Ⅱ）‎ ‎【解析】（1）在中,因为,‎ 所以,在中,,‎ 由余弦定理,得,‎ 所以,即,所以,‎ 所以为正三角形,所以的周长为9,即防护网的总长度为9km． ‎ ‎【变式训练2】【2018届宁夏大学附中高三上期中】如图,为测量山高,选择和另一座山的山顶为测量观测点,从点测得点的仰角,点的仰角以及；从点测得,已知山高m,求山高.‎ ‎【答案】‎ ‎【分析】（1）在三角形中处理边角关系时,一般全部转化为角的关系,或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理,出现边的二次式一般采用余弦定理,应用正弦、余弦定理时,注意公式变形的应用,解决三角形问题时,注意角的限制范围;（2）在三角形中,注意隐含条件（3）解决三角形问题时,根据边角关系灵活的选用定理和公式,熟记正弦定理的内容和正弦定理的变形公式,求解三角形,把实际问题转化为三角形数学问题.‎ ‎ 二、余弦定理的运用 余弦定理主要用于三边及一角的三角形相关问题.当知道三角形的两边及其夹角,求第三边时,余弦定理是首选；当然,知道三边求一角时,余弦定理也是手到擒来.‎ ‎【例3】【2018学年陕西省西安市七十中高二上学期期中】某人向正东方向走x km后,向右转150°,然后朝新方向走3 km,结果他离出发点恰好是 km,那么x的值为（ ）‎ A． B．2 C．或2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30°．由余弦定理得．解得x= 或x= ‎ ‎【变式训练3】【2018年广东东莞南开实验中学高二期初】要测量底部不能到达的珠江电视塔的高度,在珠江 西岸选择甲、乙两观测点,在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°,甲、乙两地相距500 m,则电视塔在这次测量中的高度是( )．‎ A．100 m B．400 m C．200 m D．500 m ‎【分析】与AB相关的两个三角形都是直角三角形,且知道一个锐角的大小,于是,另一直角边可用塔高x表示,于是,在△BCD中,就变成三边(与x相关)和一角的关系,利用余弦定理,可以求出塔高x.‎ ‎【解析】‎ 依题意设,则,‎ 在中由余弦定理得方程 ‎,解得.‎ ‎【答案】D ‎【例4】两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于,灯塔A在观察站C的北偏东20°.灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为（　　）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】如图所示,由图知,∠ACB=120o,AC=BC=,‎ 由余弦定理得=,‎ 所以AB=,故选D.‎ ‎【点评】使用余弦定理的问题,关键是将条件与结论所涉及的三角形元素转换为一个三角形的两边及其夹角,或者三边,使用余弦定理就非常方便了.‎ ‎【变式训练4】【2018届江苏省清江中学高三上学期】在一个六角形体育馆的一角MAN内,用长为a的围栏设置一个运动器材存储区域（如图所示）,已知,B是墙角线AM上的一点,C是墙角线AN上的一点．‎ ‎（1）若,求存储区域面积的最大值；‎ ‎（2）若,在折线MBCN内选一点D,使,求四边形存储区域DBAC的最大面积．‎ ‎【答案】（1）最大值为；（2）最大面积为．‎ ‎【解析】（1）设,,．‎ 由,‎ 得,‎ ‎∴,‎ 即四边形DBAC面积的最大值为,当且仅当时取到．‎ 三、正弦定理、余弦定理综合运用 由于三角形问题的实际生活背景非常丰富,平面的和空间的都可以涉及,因此,一个问题中同时涉及正弦定理和余弦定理的情况屡见不鲜,解析中应充分注意条件与结论的关系,合理使用两个定理解决问题.‎ ‎【例5】如图,为了测量河对岸A、B两点间的距离,在河的这边测得CD＝km,∠ADB＝∠CDB＝30°,∠ACD＝60°,∠ACB＝45°,求A、B两点间的距离．‎ ‎【分析】在△BCD中,利用正弦定理,可求BC,‎ 在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC•BCcos45°,可求AB．‎ ‎【答案】km ‎【变式训练5】【2018届黑龙江省牡丹江市一中高三10月月考】如图,为对某失事客轮进行有效援助,现分别在河岸选择两处、用强光柱进行辅助照明,其中、、、在同一平面内．现测得长为米,,,,．‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）求船的长．‎ ‎【答案】（1）平方米；（2）米．‎ ‎【解析】（1）由题,,,,得,所,所以 平方米 ‎（2）由题,,,,[来源:学#科#网]‎ 在中,,即,所以 在中,‎ 在中, ‎ 针对特训 ‎1.（2018学年湖南省平江县一中高二上学期期中）两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于a（km）,灯塔A在C北偏东30°,B在C南偏东60°,则A,B之间相距（ ） ‎ A．a （km） B．a（km） C．a（km） D．2a （km）‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知△ABC中,AC=BC=a,AC⊥BC,由勾股定理可得 ‎2.（2018学年湖北省武汉市硚口区高二9月调研）如图,有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,汽车在点测得公路北侧山顶D的仰角为,汽车行驶300m后到达点测得山顶D恰好在正北方,且仰角为,则山的高度为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题直角三角形中,,所以,在直角三角形中,,所以．那么在直角三角形中,则．‎ ‎3．（2018届重庆市巴蜀中学高三10月月考）一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是东偏南,在B处观察灯塔,其方向是北偏东,那么B、C两点间的距离是（ ）‎ A、10海里 B、10海里 C、20里 D、20海里 ‎【答案】A ‎4.如图所示,为了测量某湖泊两侧间的距离,李宁同学首先选定了与不共线的一点,然后给出了三种测量方案：（的角所对的边分别记为）：‎ ‎① 测量 ② 测量 ③测量 ‎ 则一定能确定间距离的所有方案的个数为（ ）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】A.[来源:][来源:学|科|网]‎ ‎5．（2018届福建省师大附中高三上学期期中）如图,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得,并在点测得塔顶的仰角为,则塔高 为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中,,由正弦定理得,所以．在中,．‎ ‎6．（2018届福建省三明一中高三第一次月考）如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝45°,C点的仰角∠CAB＝60°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝45°．已知山高BC＝100 m,则山高MN＝________ m．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】在中,BC＝100,∠CAB＝60°,则；在中,因为∠MAC＝75°,∠MCA＝45°,,所以由正弦定理,得,解得；在中,‎ ‎；故填．‎ ‎7.(2018四川省泸州天府中学上期月考)如图,在山腰测得山顶仰角∠CAB＝45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点,又测得山顶仰角∠DSB＝75°,则山高BC为 米．‎ ‎【答案】1000米 ‎ ‎【解析】由图知 ‎,.‎ ‎8.汽车以每小时50km的速度向东行驶,在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向,行驶1.2小时后,看到这个灯塔在北偏东15°方向,这时汽车与灯塔的距离为　_________　km．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设汽车行驶1.2小时后到点,在三角形中,,‎ ‎,由正弦定理得.‎ ‎9．（2018届陕西省西安市曲江一中高三上学期期中）渔船甲位于岛屿的南偏西方向处,且与岛屿相距海里,渔船乙以海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙,刚好用了2小时追赶上渔船乙．‎ ‎（Ⅰ）求渔船甲的速度；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）14里/小时； （Ⅱ）．[来源:]‎ ‎10.（2018学年广东中山一中高二上第一次段考）在海岸处,发现北偏东方向,距离A为海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西方向距离为海里的处有我方一艘辑私艇奉命以海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以海里/小时的速度从处向北偏东方向逃窜,问辑私艇沿什么方向,才能最快追上走私船？需要多长时间？ ‎ ‎【答案】沿北偏东追击,需小时．‎ ‎【解析】如图,设需要t小时追上走私船．‎ ‎∵‎ ‎,∴, ‎ 在中,, ‎ ‎ ‎ 整理,得 ,‎ 解得或 （舍去） ‎ 又∵ ,即： ‎ 解得 ‎ 答：沿北偏东追击,需小时．‎ ‎11．（2018届吉林省实验中学高三上学期第一次模拟）四边形的内角与内角互补,．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小及线段长；[来源:]‎ ‎（Ⅱ）求四边形的面积．‎ ‎【答案】（1）,．；（2）．‎ ‎12.【2018高考上海理科第21题】如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长35米,长80米,设在同一水平面上,从和看的仰角分别为.‎ （1） 设计中是铅垂方向,若要求,问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？‎ （2） 施工完成后.与铅垂方向有偏差,现在实测得求的长（结果精确到0.01米）？‎ ‎[来源:]‎ ‎【解析】‎ ‎13.如图,A,B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点,现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即即前往营救,‎ 其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D点需要多长时间？‎ ‎【解析】由题意知海里,,‎ 在中,由正弦定理得,‎ ‎=（海里）,‎ 又海里,‎ 在中,由余弦定理得：‎ ‎= ‎ ‎30（海里）,则需要的时间（小时）.‎ 答：救援船到达D点需要1小时.‎ ‎14.为绘制海底地貌图,测量海底两点,间的距离,海底探测仪沿水平方向在,两点进行测量,,,,在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得,两点的距离为海里.‎ ‎（1）求的面积；‎ ‎（2）求,之间的距离.‎ ‎ 15.如图,山顶有一座石塔BC,已知石塔的高度为a.‎ ‎(1)若以B,C为观测点,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β,用a,α,β表示山的高度；‎ ‎(2)若将观测点选在地面的直线AD上,其中D是塔顶B在地面上的射影.已知石塔高度a=20,当观测点E在AD上满足时看BC的视角(即∠BEC)最大,求山的高度h.‎ ‎【分析】在△EBC中,知道一边及两角,可使用正弦定理先求出AC或AB,然后在直角三角形中求山高.‎ ‎【解析】在中,‎ 由正弦定理得：‎ 则 设 当且仅当即时,最大,从而最大 由题意,,解得h=180‎