【数学】2019届一轮复习人教A版应用正弦定理、余弦定理解三角形学案（理） 14页

母题十五 应用正弦定理、余弦定理解三角形 ‎【母题原题1】【2018天津，理15】‎ 在中，内角所对的边分别为．已知．‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）设，求和的值．‎ ‎【考点分析】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ 由，可得．，故．‎ 因此， ‎ ‎．‎ ‎【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．‎ ‎【母题原题2】【2017天津，理15】‎ 在中，内角所对的边分别为．已知，，．‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得，∴，‎ ‎．故．‎ 考点：正弦定理、余弦定理、解三角形 ‎【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值． 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题．‎ ‎【命题意图】考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，考查三角函数中同角三角函数关系、诱导公式、两角和与差三角函数公式、二倍角公式在恒等变形中的应用，考查化简变形能力、数形结合思想、等价转换思想 学// ‎ ‎【命题规律】解三角形是高考的必考内容，重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，考题灵活多样，选择题、填空题和解答题都有考到，难度中低中档题均有．以求边长、求角（三角函数值）或研究三角形的面积为目标，往往是利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式进行有效的边角转换，利用和差倍半的三角函数公式，对等式进行恒等变形，有时会结合角的范围，研究三角函数式的取值范围等． ‎ ‎【答题模板】‎ ‎（1）通过正弦定理实施边角转换；‎ ‎（2）通过余弦定理实施边角转换；‎ ‎（3）通过三角变换找出角之间的关系；‎ ‎（4）通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；‎ ‎（5）若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解．‎ ‎【方法总结】学 ‎ ‎1．三角形中判断边、角关系的具体方法：‎ ‎（1）通过正弦定理实施边角转换；‎ ‎（2）通过余弦定理实施边角转换；‎ ‎（3）通过三角变换找出角之间的关系；‎ ‎（4）通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；‎ ‎（5）若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解．‎ ‎2．三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A＋B)＝sin C，sin＝cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数．‎ ‎3． 如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．已知两角和一边或两边及夹角，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性．‎ ‎4． 在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来．‎ ‎ | ． ．X．X． 学+ + ‎ ‎1．【2018天津部分区二模】已知函数（）的图象上相邻的最高点的距离是．‎ ‎（I）求函数的解析式；‎ ‎（II）在锐角中，内角满足，求的取值范围．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】分析：（I）利用三角恒等变换化函数为正弦型函数，求出的值，写出的解析式； （II）由正弦、余弦定理求得的值，由此求出的取值范围，再求的取值范围．‎ 详解：‎ ‎（I）‎ ‎∵是锐角三角形，∴，∴，∴，‎ ‎∴．‎ ‎【名师点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．‎ ‎2．【2018天津河东区二模】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c= ，角A为锐角．‎ ‎（I）求与a的值；‎ ‎（II）求b的值及三角形面积．‎ ‎【答案】（I） ；（II） ．‎ ‎【解析】分析：（I）直接利用正弦定理和已知条件求a的值，再求cosA的值，再利用平方关系求sinA的值． （II）利用余弦定理求b，再利用三角形的面积公式求面积．‎ 所以 ‎【名师点睛】（1）本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力；（2）已知两边和其中一边的对角，求第三边，利用余弦定理解题效率最高．所以本题已知， c= 求b，利用余弦定理一步到位求出b．‎ ‎3．【2018天津市十二校二模】在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）已知，的面积为，求边长的值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】分析：（I）由，利用正弦定理得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得，进而可得结果；（２）利用（I），由已知及正弦定理可得 ，结合的面积为，可得 ，由余弦定理可得结果 详解：（I）由已知得，由正弦定理得，‎ ‎∴， 又在中， ，∴，‎ 所以∴． ‎ ‎（II）由已知及正弦定理 ，又 SΔABC=， ∴， 得 ，‎ 由余弦定理 ，得 ．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题． 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径．‎ ‎4．【2018四川南充三模】在中，内角的对边分别为，已知．‎ ‎（Ⅰ）若，，求边；‎ ‎（Ⅱ）若，求角．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．‎ 所以，所以，解得．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以由正弦定理得，‎ 因为 所以，所以，‎ 即，所以或 （舍去）．‎ 因为，所以．‎ ‎【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向．‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化．‎ 第三步：求结果．‎ ‎5．【2018天津滨海新区七校模拟】锐角中， 分别为角的对边， ，‎ ‎（I）若求的面积；‎ ‎（II）求的值． ‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由正弦定理化角，可得，再由角A的余弦定理，可求得，进一 ‎．‎ ‎（II），，．‎ ‎【名师点睛】（1）一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．‎ ‎（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．‎ ‎6．【2018天津十二校重点模拟一】已知函数．‎ ‎（I）求的单调递增区间；‎ ‎（II）设的内角的对边分别为，且，若 ，求的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎∴函数的单调递增区间为．‎ ‎（II）由，得．，， ．又，由正弦定理得①；‎ 由余弦定理得，即，② ‎ ‎∴由①②解得，．‎ ‎7．【2018天津十二校重点模拟二】在中，角的对边分别为，，，的面积为．‎ ‎（I）求及的值； ‎ ‎（II）求的值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由，，的面积为可求得的值，利用余弦定理可求得，再利用正弦定理可求得的值；（II）利用（I）的结论，由同角三角函数之间的关系可求得 ‎，再利用 ‎（II），又，，，‎ ‎ ．‎ ‎8．【2018天津上学期期末考】在中，角的对边分别为，且满足．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若，求的值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由条件及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，可得．（II）由知为锐角，可得，从而， ，然后根据两角差的余弦公式可得结果．‎ 故 ， ，‎ 所以．‎ ‎9．【2018天津红桥区学期期末考】在中，内角所对的边分别是，已知， ， ．‎ ‎（I）求的值；学 // ‎ ‎（II）求的值．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由正弦定理可得a=3c，再由余弦定理可得b；（II）由已知得cosB和sinB，利用二倍角公式求得， ，将展开代入求解即可．‎ 试题解析：（I）在三角形中，由，可得，‎ 又，可得 ，又，故 ，由 ，，‎ 可得 ．‎ ‎（II）由，得，进而得=，=，所以=．‎ ‎10．【2018天津静海一中模拟】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足．‎ ‎（I）求的大小；‎ ‎（II）若为锐角三角形，且，求的取值范围．‎ ‎【答案】（I）．‎ ‎（II）．‎ 详解：（I）因为，由正弦定理得：， ‎ 即， ，因为， ‎ 所以，，即， ‎ 因为为锐角三角形，所以，且，即且，‎ 由此得，，所以，，‎ 所以．‎ ‎【名师点睛】以三角形量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强．解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心．‎ ‎11．【2018天津河西模拟】在中， ， ， 分别是角， ， 的对边，若， ．‎ ‎（I）求的值．学 ‎ ‎（II）若，求的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由正弦定理求得，进而得，再由诱导公式和两角和的正弦公式可求得；（II）由已知计算出，再由（I）计算出，最后由三角形面积公式可得面积．‎ 试题解析：（I）∵，∴，∵，∴，‎ ‎．‎ ‎（II）∵， ，∴，∵， ，∴，‎ ‎∴．‎ ‎12．【2018天津一中月考五】的内角、、的对边分别为、、，已知．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）如图，为外一点，若在平面四边形中，，且，，，求的长．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ 又，所以，故．‎ ‎（II）∵，∴，又在中，，，‎ ‎∴由余弦定理可得 ，∴，‎ 在中，，，，∴由余弦定理可得，‎ 即，化简得，解得．故的长为．‎ ‎【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用．对公式灵活运用与结合是解题关键．‎ ‎13．【2018天津耀华中学模拟】设函数，其中向量，，．‎ ‎（I）求的最小正周期及单调减区间；‎ ‎（II）若，求函数的值域；‎ ‎（III）在中，，，，求与的值．‎ ‎【答案】（I），；（II），．‎ ‎【解析】试题分析：（I），，令即 ‎，得．‎ 所以单调减区间为：．‎ ‎（II）当时．由（I）易知在上单调递增，上单调递减．∴‎ ‎∴，得或（舍）．∴，．‎