数学北师大版（2019）必修第二册：6-1-3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 学案与作业 7页

1.3 简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 (15 分钟 25 分) 1.圆柱的母线长为 10,则其高等于 ( ) A.5 B.10 C.20 D.不确定 【解析】选 B.圆柱的母线长与高相等,则其高等于 10. 2.如图,将阴影部分图形绕图示直线 l 旋转一周所得的几何体是 ( ) A.圆锥 B.圆锥和球组成的简单组合体 C.球 D.一个圆锥内部挖去一个球后得到的简单几何体 【解析】选 D.三角形旋转一周形成圆锥,三角形中的圆旋转一周形成一 个球,故选 D. 3.正方形 ABCD 绕对角线 AC 所在直线旋转一周所得组合体的结构特征 是________. 【解析】由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体. 答案:两个同底的圆锥组合体 4.用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这个几何体可能是 下面哪几种:________(填序号). ①棱柱;②棱锥;③棱台;④圆柱;⑤圆锥;⑥圆台;⑦球. 【解析】可能是棱柱、棱锥、棱台与圆锥. 答案:①②③⑤ 5.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π的半圆面,则该圆锥的高为 ________. 【解析】设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l, 则 4π=πl2,所以母线长 l=2, 又半圆的弧长为 2π,圆锥的底面的周长为 2πr=2π, 所以底面圆半径 r=1,所以该圆锥的高 h= = = . 答案: (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.如图所示的几何体的结构特征是 ( ) A.一个棱柱中截去一个棱柱 B.一个棱柱中截去一个圆柱 C.一个棱柱中截去一个棱锥 D.一个棱柱中截去一个棱台 【解析】选 C.图中几何体可看成是四棱柱截去一个角,即截去一个三棱 锥后得到的简单几何体,故为一个棱柱中截去一个棱锥所得. 2.上、下底面面积分别为 36π和 49π,母线长为 5 的圆台,其两底面之 间的距离为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.2 【解析】选 D.圆台的母线长 l、高 h 和上、下两底面圆的半径 r,R 满足 关系式 l2=h2+(R-r)2,求得 h=2 ,即两底面之间的距离为 2 . 3.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 ,则这个圆锥的母线 长为 ( ) A.4 B.2 C.3 D. 【解析】选 B.如图所示,设等边三角形 ABC 为圆锥的轴截面, 由题意知圆锥的母线长即为△ABC 的边长且 S△ABC= AB2, 所以 = AB2,所以 AB=2. 4.用一张长为 8,宽为 4 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底 面半径是 ( ) A.2 B.2π C. 或 D. 或 【解析】选 C.如图所示,设底面半径为 r,若矩形的长恰好为卷成圆柱 底面的周长,则 2πr=8,所以 r= ;同理,若矩形的宽恰好为卷成圆柱的 底面周长,则 2πr=4,所以 r= . 【误区警示】旋转体特别是圆柱一定要找准母线和底面半径,在将硬纸 卷起时容易忽略分类讨论. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.如图所示的图形中有 ( ) A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台 【解析】选 ABC.根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4) 不是圆台. 6.下列命题中正确的是( ). A.过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆; B.球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径; C.用不过球心的截面截球,球心和截面圆心的连线垂直于截面; D.球是与定点的距离等于定长的所有点的集合. 【解析】选 BC.当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆,故 A 错;B 正确;C 正确;球是几何体,而 D 描述的是球面的概念. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形,且其面积是 Q,则此圆柱的底 面半径为________(用 Q 表示). 【解析】设圆柱的底面半径为 r,则母线长为 2r. 所以 4r2=Q,解得 r= ,所以此圆柱的底面半径为 . 答案: 【补偿训练】 已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,且其面积是 Q,则此圆 柱的底面半径为________(用 Q 表示). 【解析】设圆柱的底面半径为 r,则母线长为 2πr.所以 4π2r2=Q,解得 r= , 所以此圆柱的底面半径为 . 答案: 8.在 Rt△ABC 中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,则△ABC 绕边 AB 所在的直线 旋转一周所得空间图形是________,母线长 l=________. 【解析】所得几何体是圆锥, 母线长 l=AC= = =5. 答案:圆锥 5 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.一个圆台的母线长为 12 cm,两底面面积分别为 4π cm2 和 25π cm2. 求: (1)圆台的高; (2)截得此圆台的圆锥的母线长. 【解析】如图,将圆台恢复成圆锥后作其轴截面, 设圆台的高为 h cm,由条件可得圆台上底面半径 r′=2 cm,下底面半径 r=5 cm. (1)由勾股定理得 h= =3 (cm). (2)设圆锥的母线长为 x,由三角形相似得: = , 解得 x=20(cm),即截得此圆台的圆锥的母线长为 20 cm. 10.如图所示,圆台母线 AB 长为 20 cm,上、下底面半径分别为 5 cm 和 10 cm,从母线 AB 的中点 M 拉一条绳子绕圆台侧面转到 B 点,求这条绳 长的最小值. 【解析】作出圆台的侧面展开图,如图所示, 由其轴截面中 Rt△OPA 与 Rt△OQB 相似,得 = ,可求得 OA=20 cm. 设∠BOB′=α,由于 的长与底面圆 Q 的周长相等,而底面圆 Q 的周 长为 2π×10 cm.扇形 OBB′的半径为 OA+AB=20+20=40 cm,扇形 OBB′ 所在圆的周长为 2π×40=80π cm. 所以 的长度 20π cm 为所在圆周长的 .所以 OB⊥OB′. 所以在 Rt△B′OM 中,B′M2=402+302, 所以 B′M=50 cm,即所求绳长的最小值为 50 cm. 如图所示,有一圆锥形粮堆,母线与底面圆的直径构成边长为 6 m 的 正三角形 ABC,粮堆母线 AC 的中点 P 处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时, 小猫正在 B 处,它要沿圆锥侧面到达 P 处捕捉老鼠,求小猫所经过的最 短路程.(结果不取近似值) 【解析】因为△ABC 为正三角形,所以 BC=6, 所以圆锥底面周长=2π×3=6π(m), 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长,得: =6π, 故 n=180°,则∠B′AC=90°, 所以 B′P= =3 (m), 所以小猫所经过的最短路程是 3 m. 关闭 Word 文档返回原板块