【数学】重庆市沙坪坝区第七中学2019-2020学年高二上学期期中考试试题（解析版） 17页

www.ks5u.com 重庆市沙坪坝区第七中学2019-2020学年 高二上学期期中考试试题 一、选择题（本大题共12小题）‎ ‎1.若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 直线经过，两点， 直线AB的斜率,‎ 设直线的倾斜角为,,‎ ‎，,, 直线AB的倾斜角.‎ 故选: C.‎ ‎2.若a，b，c是空间三条直线，，a与c相交，则b与c的位置关系是（ ）‎ A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 异面或相交 ‎【答案】D ‎【解析】如图，在正方体中，‎ ‎，AB与BC相交，与BC是异面直线，‎ ‎，AB与相交，与是相交直线，‎ ‎，b，c是空间三条直线，，a与c相交，则b与c的位置关系是异面或相交．‎ 故选：D．‎ ‎3.圆A：与圆B：的位置关系是（ ）‎ A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 内含 ‎【答案】C ‎【解析】圆A：的圆心坐标，‎ 半径，‎ 圆B：的圆心坐标，半径，‎ ‎，‎ ‎，圆A与圆B外切．‎ 故选：C．‎ ‎4.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，‎ 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，‎ ‎，即，‎ 由题意得，侧面积，解得，‎ ‎，圆锥的高，‎ 圆锥的体积，‎ 故选：A．‎ ‎5.过点，且圆心在直线上的圆的方程是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线上，排除B、D，‎ 点在圆上，排除A 故选C ‎6.下列命题中，表示两条不同的直线，、、表示三个不同的平面． ‎ ‎①若，，则； ②若，，则； ‎ ‎③若，，则； ④若，，，则． ‎ 正确的命题是（　 　）‎ A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，由线面垂直的判定定理知，直线m与平面内的任意一条直线垂直，由知，存在直线内，使，所以，故①正确；对于②，平面与平面可能相交，比如墙角的三个平面，故②错误；对于③，直线m与n可能相交，可能平行，可能异面，故错误；对于④，由面面平行的性质定理有 ，正确．故正确命题为①④，选C.‎ ‎7.直三棱柱中，若，，，则异面直线与所成角的余弦值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则0，，0，，0，，1，，‎ ‎0，，1，，‎ 设异面直线与所成角为，则．‎ 异面直线与所成角的余弦值为．‎ 故选：C．‎ ‎8.已知直线与圆交于A，B两点，O是原点，C是圆上一点，‎ 若，则a的值为（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】设，，‎ 联立，化为，‎ 直线与圆交于A、B两点，‎ ‎，解得．‎ ‎，．‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎9.已知点A为圆上的点，点B的坐标为，P为x轴上一动点，则的最小值是（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【解析】如图，‎ 设圆的圆心为C，则，半径．‎ 点关于x轴的对称点，连接，交圆C与A，交x轴于P，‎ 则的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎10.如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，‎ 故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，‎ 由于鸡蛋的表面积为4π，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为，‎ 而垂直折起的4个小直角三角形的高为，‎ 故鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为 ‎11.已知点是直线上一动点，PA、PB是圆C：的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆C：，圆心，半径为1.‎ 如图，，，，‎ ‎．‎ ‎，．‎ ‎，，‎ 即点C到直线的距离为．，‎ 整理得，解得：．‎ 故选：D．‎ ‎12.在正三棱锥中，M，N分别是SC，BC的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，N分别是棱SC、BC的中点，，，可得 ‎，‎ 取中点，连接，由得，‎ 而，则平面，平面，∴，‎ ‎，平面，‎ ‎、平面，，，‎ 易证，，、SB、SC三条侧棱两两互相垂直．侧棱，‎ 正三棱锥的外接球的直径为：‎ ‎，，‎ 故正三棱锥外接球的体积是，‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ ‎13.已知两条直线：，：，且，则满足条件a的值为______．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】由于直线，则，解得，‎ 故答案为：．‎ ‎14.如图，在正方体中，直线与平面所成的角等于____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】正方体中，连接交于点M，连接，‎ 由题可得：，,所以直线平面,‎ 所以直线与平面所成的角等于,‎ 设正方体的边长为，所以，，‎ 所以,所以 ‎15.如图四边形ABCD为梯形，，，图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积分别是______和______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：‎ 圆台下底面、侧面和一半球面，圆台的母线长为，‎ ‎，，．‎ 故所求几何体的表面积为：‎ 圆台的上底面积，下底面积 所以 又 所以旋转体的体积为 故答案为：；．‎ ‎16.已知圆C：和两点，若圆C上存在点M，使得，则m的最小值为______‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据题意，点，，则AB的中点为，，‎ 则以AB的中点为圆心，半径的圆为，设该圆为圆O，‎ 若圆C上存在点M，使得，则圆C与圆O有交点，‎ 必有，即，‎ 又由，解可得：，即m的最小值为3；‎ 故答案为：3．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ ‎17.已知直角的顶点坐标，直角顶点，顶点C在x轴上．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求斜边中线的方程．‎ ‎【解】（1）直角的顶点坐标，直角顶点，‎ 顶点C在x轴上，设，‎ 则，求得，故．‎ ‎（2）斜边AC的中点为，BM的斜率为，‎ 故BM的方程为，即．‎ ‎18.如图, 正三棱柱ABC-A1B1C1中,E是AC的中点. ‎ ‎(1)求证: 平面BEC1⊥平面ACC1A1；‎ ‎(2)若AA1=, AB=2, 求三棱锥A-BEC1的体积.‎ ‎【解】（1）正三棱柱ABC-A1B1C1中, 为正三角形，E是AC的中点，所以，‎ 平面平面，交线，平面，‎ 所以BE⊥平面ACC1A1，平面BEC1，所以平面BEC1⊥平面ACC1A1；‎ ‎（2）三棱锥A-BEC1的体积 所以三棱锥A-BEC1的体积 ‎19.已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若直线与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点 的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解】（1）设圆心为．‎ 由于圆与直线相切，且半径为5，‎ 所以，即．‎ 即或，解得或，‎ 因为m为整数，故，‎ 故所求的圆的方程是；‎ ‎（2）设符合条件的实数a存在，‎ ‎，则直线l的斜率为，l的方程为，即．‎ 由于l垂直平分弦AB，故圆心必在l上．‎ 所以，解得．‎ 检验：当时，直线的方程为，‎ 圆心到直线的距离为，合乎题意.‎ 故存在实数，使得过点的直线l垂直平分弦AB．‎ ‎20.在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．‎ 若PB的中点为E，求证：平面PCD；‎ 若，求二面角的余弦值．‎ ‎【解】证明：如图，取PC的中点F，连接EF，DF，‎ ‎，F分别为PB，PC的中点，，，‎ ‎，且，，且，‎ 四边形ADFE是平行四边形，，‎ 平面PCD，平面PCD，‎ 平面PCD．‎ ‎，，‎ 平面平面，平面平面，平面，‎ 平面，‎ ‎，，，则、、两两垂直，‎ 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则、、、，‎ ‎，，，，‎ 设平面BDP的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设平面PCD的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设二面角的平面角为，则，‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎21.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，在棱上．‎ ‎（I）当时，求证平面 ‎（II）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【解】（Ⅰ）在平行四边形中，‎ 由，，，易知， ‎ 又平面，所以平面,∴，‎ 在直角三角形中，易得，‎ 在直角三角形中，，，又，∴，‎ 可得.‎ ‎∴， 又∵，∴平面． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，‎ 可知为二面角的平面角，‎ ‎，此时为中点. ‎ 过作,连结,则平面平面,‎ 作,则平面,连结,‎ 可得为直线与平面所成的角．‎ 因为,,所以. ‎ 在中，，‎ 直线与平面所成角的正弦值为. ‎ 解法二：依题意易知，‎ 平面ACD．以A为坐标原点，AC、AD、SA分别为轴建立空间直角坐标系，则易得，‎ ‎（Ⅰ）由有， ‎ 易得，从而平面． ‎ ‎(Ⅱ)由平面，二面角的平面角.‎ 又，则为的中点，即,‎ 设平面的法向量为 则，令,得， ‎ 从而，‎ 直线与平面所成角的正弦值为. ‎ ‎22.在平面直角坐标系中，‎ 已知圆和圆.‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．‎ ‎【解】(1)设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.‎ 由垂径定理，得圆心C1到直线l的距离d＝＝1，‎ 结合点到直线距离公式，得＝1，‎ 化简得24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.‎ 所求直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.‎ ‎(2)设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，‎ 即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0.‎ 因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．‎ 由垂径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等．‎ 故有，‎ 化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.‎ 因为关于k的方程有无穷多解，所以有 解得点P坐标为或.‎