【数学】2018届一轮复习人教A版第46讲平面向量数量积的计算方法学案 6页

‎【知识要点】‎ ‎1、平面向量的数量积 ‎（1）平面向量的数量积的定义：已知两个非零的向量与，它们的夹角是，则数量||||叫与的数量积，记作·，即有·=||||.‎ ‎（2）对于不谈它与其它向量的夹角问题.‎ ‎（3）与的夹角，记作,确定向量与的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点.如： 但是 ‎ ‎（4）平面向量的数量积是一个实数，可正，可负，可零，它不是一个向量.‎ ‎（5）在上的“投影”的概念：叫做向量在上的“投影”， 向量在向量上的投影，它表示向量在向量上的投影对应的有向线段的数量.它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零.‎ ‎（6）·的几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||的乘积.‎ ‎2、平面向量的数量积的运算律 ‎(1) · = （交换律）;‎ ‎(2)（）·= · +·.（分配律）‎ ‎3、平面向量数量积的坐标表示 设=,=，则(竖乘相加).‎ ‎4、温馨提示 ‎ （1）数量积不满足结合律，即.‎ ‎ （2）消去律不成立.即由不能得到.‎ ‎ （3）由不能得到或,因为还有可能.‎ ‎（4）乘法公式和完全平方和差仍然成立：‎ ‎5、平面向量的数量积的计算方法一般有三种：坐标法、公式法和基底法.‎ ‎【方法讲评】‎ 方法一 坐标公式求解 使用情景 已知中涉及了坐标或方便建立坐标系.‎ 解题步骤 先求出对应向量的坐标，再代入公式计算.‎ ‎ ‎ ‎【例1】 已知正方形的边长为2，点是边上的中点，则的值为（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．4 D．6‎ ‎【点评】（1）虽然本题已知中没有直角坐标系，但是，它有“正方形”，所以很方便建立直角坐标系，建立了直角坐标系后，解题就很方便快捷.（2）如果已知中涉及直角三角形、等腰三角形、矩形、正方形、菱形等，可以尝试建立直角坐标系，求向量的数量积.‎ ‎【反馈检测1】在中，，,，为的三等分点，则＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ 方法二 公式·=||||求解 使用情景 一般没有坐标，也不方便建立直角坐标系.‎ 解题步骤 先分别计算出，再代入公式·=||||求解.‎ ‎【例2】 等边的边长为1，记，则等于 ．‎ ‎【点评】（1）该题由于知道向量的长度和向量的夹角，所以直接选择公式·=||||求解比较方便.（2）该题向量的夹角都是，不要弄成了.找两个向量的夹角时，必须要把两个向量的起点移到一起再确定大小. 学.科.网 ‎【反馈检测2】的外接圆半径为1，圆心点为，，则（ ）‎ A．3 B．‎2 ‎‎ C．1 D．0‎ 方法三 基底法 使用情景 利用公式法，解题比较复杂.‎ 解题步骤 选定平面向量的基底，再用基底表示出未知的向量，再利用数量积公式解答.‎ ‎【例3】 若等边的边长为，平面内一点满足，则 ‎_____________.‎ ‎【点评】（1）本题利用公式法比较复杂，所以不利用方法一和方法二解答.（2）由于已知中有向量,并且有它们的长度和夹角，所以选择向量做基底比较合适.‎ ‎【反馈检测3】如图，在边长为2的菱形中，，为中点，则=（ ）‎ A．﹣3 B．‎0 ‎‎ C．﹣1 D．1‎ 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第46讲：‎ 平面向量数量积的计算方法参考答案 ‎【反馈检测1答案】 ‎ ‎【反馈检测1详细解析】由知，以所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，于是，‎ ‎，据此，，故选．‎ ‎【反馈检测2答案】‎ ‎【反馈检测3答案】‎ ‎【反馈检测3详细解析】∵在边长为2的菱形中，，‎ ‎∴．‎ 又为中点，∴．‎ ‎∴‎ ‎，故选．‎