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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习人教B版同角三角函数基本关系式及诱导公式学案

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‎§5.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解同角三角函数的基本关系.‎ ‎2.掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.‎ 考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题,常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用,强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力.题型为选择题和填空题,低档难度.‎ ‎1.同角三角函数的基本关系 ‎(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.‎ ‎(2)商数关系:=tanα.‎ ‎2.三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ+α(k∈Z)‎ π+α ‎-α π-α -α +α 正弦 sinα ‎-sinα ‎-sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα ‎-cosα cosα ‎-cosα sinα ‎-sinα 正切 tanα tanα ‎-tanα ‎-tanα 口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 概念方法微思考 ‎1.使用平方关系求三角函数值时,怎样确定三角函数值的符号?‎ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号.‎ ‎2.诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”中的奇、偶是何意义?‎ 提示 所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系,口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.‎ 题组一 思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( × )‎ ‎(2)若α∈R,则tanα=恒成立.( × )‎ ‎(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.( × )‎ ‎(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sinα=.( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2.[P19例6]若sinα=,<α<π,则tanα=.‎ 答案 - 解析 ∵<α<π,‎ ‎∴cosα=-=-,‎ ‎∴tanα==-.‎ ‎3.[P22B组T3]已知tanα=2,则的值为.‎ 答案 3‎ 解析 原式===3.‎ ‎4.[P28T7]化简·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为.‎ 答案 -sin2α 解析 原式=·(-sinα)·cosα=-sin2α.‎ 题组三 易错自纠 ‎5.已知sinθ+cosθ=,θ∈,则sinθ-cosθ的值为.‎ 答案 - 解析 ∵sinθ+cosθ=,∴sinθcosθ=.‎ 又∵(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=,θ∈,‎ ‎∴sinθ-cosθ=-.‎ ‎6.已知α为锐角,cos=,则cos(π+α)=.‎ 答案 - 解析 ∵cos=sinα=,且α为锐角,∴cosα=,∴cos(π+α)=-cosα=-.‎ ‎7.已知cosα=,-<α<0,则的值为.‎ 答案  解析 ∵-<α<0,‎ ‎∴sinα=-=-,∴tanα=-2.‎ 则= ‎=-==.‎ 题型一 同角三角函数基本关系式的应用 ‎1.已知α是第四象限角,sinα=-,则tanα等于(  )‎ A.-B.C.-D. 答案 C 解析 因为α是第四象限角,sinα=-,‎ 所以cosα==,‎ 故tanα==-.‎ ‎2.若tanα=,则cos2α+2sin2α等于(  )‎ A. B. C.1 D. 答案 A 解析 tanα=,则cos2α+2sin2α===.‎ ‎3.若角α的终边落在第三象限,则+的值为(  )‎ A.3B.-3C.1D.-1‎ 答案 B 解析 由角α的终边落在第三象限,‎ 得sinα<0,cosα<0,‎ 故原式=+=+=-1-2=-3.‎ ‎4.已知sinα-cosα=,α∈(0,π),则tanα等于(  )‎ A.-1B.-C.D.1‎ 答案 A 解析 由 消去sinα,得2cos2α+2cosα+1=0,‎ 即(cosα+1)2=0,∴cosα=-.‎ 又α∈(0,π),∴α=,‎ ‎∴tanα=tan=-1.‎ 思维升华 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用=tanα可以实现角α的弦切互化.‎ ‎(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.‎ ‎(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.‎ 题型二 诱导公式的应用 例1(1)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是(  )‎ A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}‎ C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}‎ 答案 C 解析 当k为偶数时,A=+=2;‎ 当k为奇数时,A=-=-2.‎ 所以由A的值构成的集合是{2,-2}.‎ ‎(2)化简:=.‎ 答案 -1‎ 解析 原式= ‎= ‎= ‎=-=-·=-1.‎ 思维升华(1)诱导公式的两个应用 ‎①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.‎ ‎②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.‎ ‎(2)含2π整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα.‎ 跟踪训练1(1)已知角α终边上一点P(-4,3),则的值为.‎ 答案 - 解析 原式==tanα,‎ 根据三角函数的定义得tanα=-.‎ ‎(2)已知f(α)=(sinα≠0,1+2sinα≠0),则f=.‎ 答案  解析 ∵f(α)= ‎===,‎ ‎∴f== ‎==.‎ 题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用 例2已知cos=,且-π<α<-,则cos等于(  )‎ A. B. C.- D.- 答案 D 解析 因为+=,‎ 所以cos=sin=sin.‎ 因为-π<α<-,所以-<α+<-.‎ 又cos=>0,所以-<α+<-,‎ 所以sin=- ‎=-=-.‎ ‎(2)已知-π0,∴sinx-cosx<0,‎ 故sinx-cosx=-.‎ ‎②= ‎= ‎==-.‎ 引申探究 本例(2)中若将条件“-π0,cosx<0,‎ ‎∴sinx-cosx>0,故sinx-cosx=.‎ 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.‎ ‎(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.‎ 跟踪训练2(1)已知角θ的终边在第三象限,tan2θ=-2,则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ等于(  )‎ A.-B.C.-D. 答案 D 解析 由tan2θ=-2可得tan2θ==-2,‎ 即tan2θ-tanθ-=0,‎ 解得tanθ=或tanθ=-.‎ 又角θ的终边在第三象限,故tanθ=,‎ 故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ ‎=sin2θ+sinθcosθ-cos2θ ‎= ‎= ‎==.‎ ‎(2)已知sinα=,则tan(π+α)+=.‎ 答案 或- 解析 ∵sinα>0,∴α为第一或第二象限角,‎ tan(α+π)+=tanα+ ‎=+=.‎ ‎①当α是第一象限角时,cosα==,‎ 原式==;‎ ‎②当α是第二象限角时,cosα=-=-,‎ 原式==-.‎ 综合①②知,原式=或-.‎ ‎1.(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)已知α为第三象限角,且tanα=,则sinα+cosα等于(  )‎ A.-B.-C.D. 答案 A 解析 因为α为第三象限角,所以sinα<0,cosα<0,由tanα==,sin2α+cos2α=1,解得sinα=-,‎ cosα=-,所以sinα+cosα=-.故选A.‎ ‎2.(2018·舟山模拟)已知cos31°=a,则sin239°·tan149°的值是(  )‎ A. B. C. D.- 答案 B 解析 sin239°·tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°=.‎ ‎3.已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于(  )‎ A.-B.-C.D. 答案 D 解析 ∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ),‎ ‎∴-sinθ=-cosθ,∴tanθ=.又∵|θ|<,∴θ=.‎ ‎4.已知α∈,且cosα=-,则等于(  )‎ A.B.-C.D.- 答案 C 解析 ∵α∈,且cosα=-,‎ ‎∴sinα==,‎ 则===.‎ ‎5.已知tanθ=2,则的值为(  )‎ A.B.1C.-D.-1‎ 答案 B 解析 ∵tanθ=2,‎ ‎∴===1.‎ ‎6.已知sin=,α∈,则sin(π+α)等于(  )‎ A.B.-C.D.- 答案 D 解析 由已知sin=,得cosα=,‎ ‎∵α∈,∴sinα=,∴sin(π+α)=-sinα=-.‎ ‎7.若θ∈,则等于(  )‎ A.sinθ-cosθ B.cosθ-sinθ C.±(sinθ-cosθ) D.sinθ+cosθ 答案 A 解析 因为 ‎== ‎=|sinθ-cosθ|,‎ 又θ∈,所以sinθ-cosθ>0,‎ 所以原式=sinθ-cosθ.故选A.‎ ‎8.已知sinx+cosx=,x∈(0,π),则tanx等于(  )‎ A.-B.C.D.- 答案 D 解析 由题意可知sinx+cosx=,x∈(0,π),则(sinx+cosx)2=,因为sin2x+cos2x=1,‎ 所以2sinxcosx=-,即==-,得tanx=-或tanx=-.当tanx=-时,sinx+cosx<0,不合题意,舍去,所以tanx=-.故选D.‎ ‎9.(2018·浙江名校协作体联考)已知sin·cos=,且0<α<,则sinα=,cosα=.‎ 答案   解析 因为sin=-cosα,cos ‎=cos=-sinα,所以cosαsinα=,‎ 因为0<α<,所以cosα>sinα>0.因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=,所以cosα-sinα=,①‎ 又(cosα+sinα)2=1+2sinαcosα=,‎ 所以cosα+sinα=,②‎ 由①②得sinα=,cosα=.‎ ‎10.sinπ·cosπ·tan的值是.‎ 答案 - 解析 原式=sin·cos·tan ‎=·· ‎=××(-)=-.‎ ‎11.已知0<α<,若cosα-sinα=-,则的值为.‎ 答案  解析 因为cosα-sinα=-,①‎ 所以1-2sinαcosα=,即2sinαcosα=.‎ 所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=.‎ 又0<α<,所以sinα+cosα>0.‎ 所以sinα+cosα=.②‎ 由①②得sinα=,cosα=,tanα=2,‎ 所以=.‎ ‎12.已知k∈Z,化简:=.‎ 答案 -1‎ 解析 当k=2n(n∈Z)时,‎ 原式= ‎= ‎==-1;‎ 当k=2n+1(n∈Z)时,‎ 原式= ‎===-1.‎ 综上,原式=-1.‎ ‎13.已知α为第二象限角,则cosα+sinα=.‎ 答案 0‎ 解析 原式=cosα+sinα ‎=cosα+sinα,‎ 因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,‎ 所以cosα+sinα=-1+1=0,‎ 即原式等于0.‎ ‎14.已知A,B为△ABC的两个内角,若sin(2π+A)=-·sin(2π-B),cosA=-cos(π-B),求B的值.‎ 解 由已知得 化简得2cos2A=1,即cosA=±.当cosA=时,cosB=,又A,B是三角形内角,∴B=;当cosA=-时,cosB=-,又A,B是三角形内角,∴A=,B=,不合题意,舍去,综上可知B=.‎ ‎15.已知α,β∈,且sin(π-α)=cos.‎ cos(-α)=-cos(π+β),求α,β.‎ 解 由已知可得 ‎∴sin2α+3cos2α=2,‎ ‎∴sin2α=,又α∈,‎ ‎∴sinα=,α=.‎ 将α=代入①中得sinβ=,又β∈,‎ ‎∴β=,‎ 综上α=,β=.‎ ‎16.已知cos+sin=1.‎ 求cos2+cosβ-1的取值范围.‎ 解 由已知得cosβ=1-sinα.‎ ‎∵-1≤cosβ≤1,‎ ‎∴-1≤1-sinα≤1,‎ 又-1≤sinα≤1,‎ 可得0≤sinα≤1,‎ ‎∴cos2+cosβ-1‎ ‎=sin2α+1-sinα-1=sin2α-sinα ‎=2-.(*)‎ 又0≤sinα≤1,‎ ‎∴当sinα=时,(*)式取得最小值-,‎ 当sinα=0或sinα=1时,(*)式取得最大值0,‎ 故所求范围是.‎

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