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- 2021-06-16 发布
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§5.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
最新考纲
考情考向分析
1.理解同角三角函数的基本关系.
2.掌握正弦、余弦、正切的诱导公式.
考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式解决条件求值问题,常与三角恒等变换相结合起到化简三角函数关系的作用,强调利用三角公式进行恒等变形的技能以及基本的运算能力.题型为选择题和填空题,低档难度.
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:=tanα.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tanα
口诀
函数名不变,符号看象限
函数名改变,符号看象限
概念方法微思考
1.使用平方关系求三角函数值时,怎样确定三角函数值的符号?
提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号.
2.诱导公式记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限”中的奇、偶是何意义?
提示 所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系,口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.( × )
(2)若α∈R,则tanα=恒成立.( × )
(3)sin(π+α)=-sinα成立的条件是α为锐角.( × )
(4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sinα=.( × )
题组二 教材改编
2.[P19例6]若sinα=,<α<π,则tanα=.
答案 -
解析 ∵<α<π,
∴cosα=-=-,
∴tanα==-.
3.[P22B组T3]已知tanα=2,则的值为.
答案 3
解析 原式===3.
4.[P28T7]化简·sin(α-π)·cos(2π-α)的结果为.
答案 -sin2α
解析 原式=·(-sinα)·cosα=-sin2α.
题组三 易错自纠
5.已知sinθ+cosθ=,θ∈,则sinθ-cosθ的值为.
答案 -
解析 ∵sinθ+cosθ=,∴sinθcosθ=.
又∵(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=,θ∈,
∴sinθ-cosθ=-.
6.已知α为锐角,cos=,则cos(π+α)=.
答案 -
解析 ∵cos=sinα=,且α为锐角,∴cosα=,∴cos(π+α)=-cosα=-.
7.已知cosα=,-<α<0,则的值为.
答案
解析 ∵-<α<0,
∴sinα=-=-,∴tanα=-2.
则=
=-==.
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
1.已知α是第四象限角,sinα=-,则tanα等于( )
A.-B.C.-D.
答案 C
解析 因为α是第四象限角,sinα=-,
所以cosα==,
故tanα==-.
2.若tanα=,则cos2α+2sin2α等于( )
A. B.
C.1 D.
答案 A
解析 tanα=,则cos2α+2sin2α===.
3.若角α的终边落在第三象限,则+的值为( )
A.3B.-3C.1D.-1
答案 B
解析 由角α的终边落在第三象限,
得sinα<0,cosα<0,
故原式=+=+=-1-2=-3.
4.已知sinα-cosα=,α∈(0,π),则tanα等于( )
A.-1B.-C.D.1
答案 A
解析 由
消去sinα,得2cos2α+2cosα+1=0,
即(cosα+1)2=0,∴cosα=-.
又α∈(0,π),∴α=,
∴tanα=tan=-1.
思维升华 (1)利用sin2α+cos2α=1可实现正弦、余弦的互化,开方时要根据角α所在象限确定符号;利用=tanα可以实现角α的弦切互化.
(2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.
(3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
题型二 诱导公式的应用
例1(1)已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是( )
A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}
C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}
答案 C
解析 当k为偶数时,A=+=2;
当k为奇数时,A=-=-2.
所以由A的值构成的集合是{2,-2}.
(2)化简:=.
答案 -1
解析 原式=
=
=
=-=-·=-1.
思维升华(1)诱导公式的两个应用
①求值:负化正,大化小,化到锐角为终了.
②化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π-α)=cos(π-α)=-cosα.
跟踪训练1(1)已知角α终边上一点P(-4,3),则的值为.
答案 -
解析 原式==tanα,
根据三角函数的定义得tanα=-.
(2)已知f(α)=(sinα≠0,1+2sinα≠0),则f=.
答案
解析 ∵f(α)=
===,
∴f==
==.
题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例2已知cos=,且-π<α<-,则cos等于( )
A. B.
C.- D.-
答案 D
解析 因为+=,
所以cos=sin=sin.
因为-π<α<-,所以-<α+<-.
又cos=>0,所以-<α+<-,
所以sin=-
=-=-.
(2)已知-π0,∴sinx-cosx<0,
故sinx-cosx=-.
②=
=
==-.
引申探究
本例(2)中若将条件“-π0,cosx<0,
∴sinx-cosx>0,故sinx-cosx=.
思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.
跟踪训练2(1)已知角θ的终边在第三象限,tan2θ=-2,则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ等于( )
A.-B.C.-D.
答案 D
解析 由tan2θ=-2可得tan2θ==-2,
即tan2θ-tanθ-=0,
解得tanθ=或tanθ=-.
又角θ的终边在第三象限,故tanθ=,
故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ
=sin2θ+sinθcosθ-cos2θ
=
=
==.
(2)已知sinα=,则tan(π+α)+=.
答案 或-
解析 ∵sinα>0,∴α为第一或第二象限角,
tan(α+π)+=tanα+
=+=.
①当α是第一象限角时,cosα==,
原式==;
②当α是第二象限角时,cosα=-=-,
原式==-.
综合①②知,原式=或-.
1.(2018·丽水、衢州、湖州三地市质检)已知α为第三象限角,且tanα=,则sinα+cosα等于( )
A.-B.-C.D.
答案 A
解析 因为α为第三象限角,所以sinα<0,cosα<0,由tanα==,sin2α+cos2α=1,解得sinα=-,
cosα=-,所以sinα+cosα=-.故选A.
2.(2018·舟山模拟)已知cos31°=a,则sin239°·tan149°的值是( )
A. B.
C. D.-
答案 B
解析 sin239°·tan149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos31°·(-tan31°)=sin31°=.
3.已知sin(π+θ)=-cos(2π-θ),|θ|<,则θ等于( )
A.-B.-C.D.
答案 D
解析 ∵sin(π+θ)=-cos(2π-θ),
∴-sinθ=-cosθ,∴tanθ=.又∵|θ|<,∴θ=.
4.已知α∈,且cosα=-,则等于( )
A.B.-C.D.-
答案 C
解析 ∵α∈,且cosα=-,
∴sinα==,
则===.
5.已知tanθ=2,则的值为( )
A.B.1C.-D.-1
答案 B
解析 ∵tanθ=2,
∴===1.
6.已知sin=,α∈,则sin(π+α)等于( )
A.B.-C.D.-
答案 D
解析 由已知sin=,得cosα=,
∵α∈,∴sinα=,∴sin(π+α)=-sinα=-.
7.若θ∈,则等于( )
A.sinθ-cosθ B.cosθ-sinθ
C.±(sinθ-cosθ) D.sinθ+cosθ
答案 A
解析 因为
==
=|sinθ-cosθ|,
又θ∈,所以sinθ-cosθ>0,
所以原式=sinθ-cosθ.故选A.
8.已知sinx+cosx=,x∈(0,π),则tanx等于( )
A.-B.C.D.-
答案 D
解析 由题意可知sinx+cosx=,x∈(0,π),则(sinx+cosx)2=,因为sin2x+cos2x=1,
所以2sinxcosx=-,即==-,得tanx=-或tanx=-.当tanx=-时,sinx+cosx<0,不合题意,舍去,所以tanx=-.故选D.
9.(2018·浙江名校协作体联考)已知sin·cos=,且0<α<,则sinα=,cosα=.
答案
解析 因为sin=-cosα,cos
=cos=-sinα,所以cosαsinα=,
因为0<α<,所以cosα>sinα>0.因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=,所以cosα-sinα=,①
又(cosα+sinα)2=1+2sinαcosα=,
所以cosα+sinα=,②
由①②得sinα=,cosα=.
10.sinπ·cosπ·tan的值是.
答案 -
解析 原式=sin·cos·tan
=··
=××(-)=-.
11.已知0<α<,若cosα-sinα=-,则的值为.
答案
解析 因为cosα-sinα=-,①
所以1-2sinαcosα=,即2sinαcosα=.
所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+=.
又0<α<,所以sinα+cosα>0.
所以sinα+cosα=.②
由①②得sinα=,cosα=,tanα=2,
所以=.
12.已知k∈Z,化简:=.
答案 -1
解析 当k=2n(n∈Z)时,
原式=
=
==-1;
当k=2n+1(n∈Z)时,
原式=
===-1.
综上,原式=-1.
13.已知α为第二象限角,则cosα+sinα=.
答案 0
解析 原式=cosα+sinα
=cosα+sinα,
因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,
所以cosα+sinα=-1+1=0,
即原式等于0.
14.已知A,B为△ABC的两个内角,若sin(2π+A)=-·sin(2π-B),cosA=-cos(π-B),求B的值.
解 由已知得
化简得2cos2A=1,即cosA=±.当cosA=时,cosB=,又A,B是三角形内角,∴B=;当cosA=-时,cosB=-,又A,B是三角形内角,∴A=,B=,不合题意,舍去,综上可知B=.
15.已知α,β∈,且sin(π-α)=cos.
cos(-α)=-cos(π+β),求α,β.
解 由已知可得
∴sin2α+3cos2α=2,
∴sin2α=,又α∈,
∴sinα=,α=.
将α=代入①中得sinβ=,又β∈,
∴β=,
综上α=,β=.
16.已知cos+sin=1.
求cos2+cosβ-1的取值范围.
解 由已知得cosβ=1-sinα.
∵-1≤cosβ≤1,
∴-1≤1-sinα≤1,
又-1≤sinα≤1,
可得0≤sinα≤1,
∴cos2+cosβ-1
=sin2α+1-sinα-1=sin2α-sinα
=2-.(*)
又0≤sinα≤1,
∴当sinα=时,(*)式取得最小值-,
当sinα=0或sinα=1时,(*)式取得最大值0,
故所求范围是.