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- 2021-06-16 发布
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考查角度2 椭圆的标准方程与几何性质
分类透析一 椭圆的定义及其应用
例1 如图,已知椭圆的方程为x24+y23=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,则△PF1F2的面积为 .
解析 由已知得a=2,b=3,所以c=a2-b2=1,F1F2=2c=2.
在△PF1F2中,由余弦定理得
PF22=PF12+F1F22-2PF1·F1F2cos 120°,
即PF22=PF12+4+2PF1. ①
由椭圆定义,得PF1+PF2=4,即PF2=4-PF1. ②
将②代入①,得PF1=65.
所以S△PF1F2=12PF1·F1F2·sin 120°
=12×65×2×32=335,
即△PF1F2的面积为335.
答案 335
方法技巧 在涉及椭圆焦点的△PF1F2中,由椭圆的定义及余弦定理可得到关于PF1,PF2的方程组,消去PF2可求得PF1.
分类透析二 椭圆的标准方程及求解
例2 中心在坐标原点的椭圆,焦点在x轴上,焦距为4,离心率为22,则椭圆的方程为( ).
A.x216+y212=1 B.x212+y28=1
C.x212+y24=1 D.x28+y24=1
解析 由题意知,2c=4,则c=2.
又e=ca=22,则a=22,故b=2,
所以椭圆的方程为x28+y24=1.
答案 D
方法技巧 本题通过椭圆的简单几何性质确定其标准方程,解决此类问题时,一般先确定其焦点位置,然后建立或寻找a,b,c的等量关系,最后确定这三个数的值.
分类透析三 椭圆的几何性质及应用
例3 若点(x,y)在x24+y2b2=1(b>2)上运动,则x2+4y的最大值为 .
解析 ∵x24+y2b2=1(b>2),
∴x2=41-y2b2≥0,即-b≤y≤b.
∴x2+4y=41-y2b2+4y=-4y2b2+4y+4=-4b2y-b222+4+b2.
∵b>2,∴b22>b.
∴当y=b时,x2+4y取得最大值,最大值为4b.
答案 4b
方法技巧 此类最值问题常用函数思想进行解决.很多与圆锥曲线有关的问题中的各个量在运动变化时,都是相互联系、相互制约的,它们之间构成函数关系.这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路,会有很好的效果.
1.(2016年全国Ⅲ卷,文12改编)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A、B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.直线BP交y轴于点M,BM=2MP,则C的离心率为( ).
A.13 B.12 C.23 D.34
解析 根据三角形相似,得△BMO∽△BPF,故BMMP=|MB||MP|=|OB||OF|=ac=2,e=ca=12,故选B.
答案 B
2.(2018年全国Ⅱ卷,理12改编)已知F1、F2分别是椭圆C:x24+y2b2=1(00,过P作x轴的垂线并交于点H,易知△AOQ∽△AHP,
所以AQQP=2=|AO||OH|=2x0,得x0=1.
又因为y0x0+2=12,所以得y0=32,又因为点P在椭圆上,所以14+322b2=1,解得b=3.
(法二)由题意知,A(-2,0),Q(0,1).因为AQ=2QP,所以P1,32,代入椭圆方程得14+94b2=1,解得b2=3,则b=3,故选B.
答案 B
3.(2018年浙江卷,17改编)已知点F1(-c,0)、F2(c,0)(c>0)分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P是这个椭圆上位于x轴上方的点,点G是△PF1F2的外心,若存在实数λ,使得GF1+GF2+λGP=0,则当△PF1F2的面积为8时,a的最小值为 .
解析 因为点G是△PF1F2的外心,所以点G在y轴的正半轴上,又GF1+GF2+λGP=0,则GP=-1λ(GF1+GF2)=-2λGO,所以P,G,O三点共线,即P位于上顶点,则△PF1F2的面积S=12·b·2c=bc=8.由a2=b2+c2≥2bc=16,得a≥4,当且仅当b=c=22时取等号,所以a的最小值为4.
答案 4
1.(山西省榆社中学2018届高三诊断性模拟考试)若椭圆x24+y2m=1上一点到两焦点的距离之和为m-3,则椭圆的离心率为( ).
A.53 B.53或217
C.217 D.37或59
解析 由题意知,2a=m-3>0,即m>3,若a2=4,即a=2,则m-3=4,m=7>4,不合题意,因此a2=m,即a=m,则2m=m-3,解得m=9,即a=3,c=m-4=5,所以椭圆的离心率e=53.故选A.
答案 A
2.(山东省枣庄市2018届高三第二次模拟考试)设F1,F2分别是椭圆C:x2m+y22=1的两个焦点,若C上存在点M满足∠F1MF2=120°,则实数m的取值范围是( ).
A.0,12∪[8,+∞) B.(0,1]∪[8,+∞)
C.0,12∪[4,+∞) D.(0,1]∪[4,+∞)
解析 由椭圆的性质可知,当点M在短轴的端点时,此时∠F1MF2最大.
如图,要使得椭圆C上存在点M满足∠F1MF2=120°,则∠F1M0F2≥120°,即∠OM0F2≥60°.
当m>2时,|OM0||M0F2|=ba=cos∠OM0F2≤cos 60°=12,即2m≤12,解得m≥8;
当0b>0)的左焦点为F1(-2,0),过点F1作倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交的弦长为3b,则椭圆的标准方程为( ).
A.y28+x24=1 B.x28+y24=1
C.y216+x212=1 D.x216+y212=1
解析 由左焦点为F1(-2,0),可得c=2,即a2-b2=4.
由题意知,直线的方程为y=33(x+2),
圆心(0,0)到直线的距离d=233+9=1,
则2b2-1=3b,解得b=2,a=22,
故椭圆的标准方程为x28+y24=1,故选B.
答案 B
4.(四川省广元市2018届高三第二次高考适应性统考)如图,已知椭圆C1:x2m+y2=1(m>1),双曲线C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率e=5,若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A,B两点,且C1与C2的渐近线的两个交点将线段AB三等分,则m=( ).
A.17 B.17 C.11 D.11
解析 因为双曲线的离心率5=1+b2a2,所以ba=2,双曲线渐近线为y=2x.代入椭圆方程得x2=m1+4m,y2=(2x)2=4m1+4m,故C1与C2的渐近线的两个交点弦长为2x2+y2=25m1+4m,依题意可知25m1+4m=13×2m,解得m=11.
答案 D
5.(安徽省黄山市2018届高三一模检测)已知椭圆和双曲线有共同焦点F1,F2,P是它们的一个交点,且∠F1PF2=π3,记椭圆和双曲线的离心率分别为e1,e2,则1e1e2的最大值为( ).
A.233 B.433 C.2 D.3
解析 设∠F1PF2=θ,|PF1|=m,|PF2|=n,椭圆的半长轴长为a1,双曲线的半实轴长为a2,两条曲线的焦距为2c,结合题意有m+n=2a1,|m-n|=2a2,
两式平方相加可得m2+n2=2(a12+a22),
两式平方作差可得mn=a12-a22.
由余弦定理得4c2=m2+n2-2mncos θ,
则4c2=2(a12+a22)-2(a12-a22)cos θ,2c2=(1-cos θ)a12+(1+cos θ)a22,
即1=1-cosθ2e12+1+cosθ2e22,结合二倍角公式有sin2θ2e12+cos2θ2e22=1.
已知θ=π3,则有14e12+34e22=1,
即1=14e12+34e22≥214e12·34e22=32·1e1e2,
则1e1e2≤233,当且仅当1e12=2,1e22=23时等号成立,
故1e1e2的最大值为233,选A.
答案 A
6.(安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测)已知M,N为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上关于长轴对称的两点,A、B分别为椭圆的左、右顶点,设k1,k2分别为直线MA,NB的斜率,则|k1+4k2|的最小值为( ).
A.2ba B.3ba C.4ba D.5ba
解析 设M(x0,y0),N(x0,-y0),
由题意A(-a,0),B(a,0),
∴k1=y0x0+a,k2=-y0x0-a,
∴|k1+4k2|=y0x0+a+-4y0x0-a=y0x0+a+4y0-x0+a,
∴|k1+4k2|=y0x0+a+4y0-x0+a≥2y0x0+a·4y0-x0+a=4y02a2-x02,
由点M在椭圆上,得y02=b2a2(a2-x02),
所以4y02a2-x02=4b2a2(a2-x02)a2-x02=4ba,
故|k1+4k2|≥4ba.
答案 C
7.(云南省昆明市2018届高三教学质量检查第二次统考)已知F是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,经过原点的直线l与椭圆E交于P,Q两点,若|PF|=2|QF|,且∠PFQ=120°,则椭圆E的离心率为( ).
A.13 B.12 C.33 D.22
解析 在△PQF中,设|PF|=2|QF|=2t,P(x1,y1),Q(-x1,-y1),右焦点为G,由椭圆的对称性,知PFQG是平行四边形,所以在△PGF中,由余弦定理得GF2=5t2-2t2=3t2=4c2.
因为PF+QF=2a=3t,所以t=23a,所以e=33,选C.
答案 C
8.(江西省南昌市2018届高三第一次模拟考试)已知椭圆E:x224+y212=1,O为坐标原点,A,B是椭圆上两点,OA,OB的斜率存在并分别记为kOA,kOB,且kOA·kOB=-12,则1|OA|+1|OB|的最小值为( ).
A.26 B.13 C.23 D.22
解析 由均值不等式的结论得1|OA|+1|OB|≥21|OA|·1|OB|,
当且仅当1|OA|=1|OB|,即|OA|=|OB|时等号成立,
结合椭圆的对称性可知,此时点A,B关于y轴对称.
不妨设直线OA的方程为y=kx(k>0),则直线OB的方程为y=-kx,
据此可得-k2=-12,k=22,
联立方程y=22x,x224+y212=1可得x2=12,y2=6,
则|OA|=|OB|=12+6=32,
此时1|OA|+1|OB|min=232=23.
故选C.
答案 C
9.(广西2018届高三下学期第二次模拟试题)设D为椭圆x2+y25=1上任意一点,A(0,-2),B(0,2),延长AD至点P,使得|PD|=|BD|,则点P的轨迹方程为( ).
A.x2+(y-2)2=20 B.x2+(y+2)2=20
C.x2+(y-2)2=5 D.x2+(y+2)2=5
解析 ∵D为椭圆x2+y25=1上任意一点,且A,B为焦点,∴|DA|+|DB|=2a=25.又|PD|=|BD|,且点P,D,A三点共线,∴|PA|=|PD|+|DA|=25,所以点P的轨迹方程为x2+(y+2)2=20.
答案 B
10.(上海市崇明区2018届高三4月模拟考试(二模))已知椭圆x2a2+y2=1(a>0)的焦点分别为F1,F2,抛物线y2=2x的焦点为F,若F1F=3FF2,则a= .
解析 由抛物线的标准方程可得其焦点坐标为F12,0.
设椭圆的焦点坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0),
则F1F=12+c,0,FF2=c-12,0.
由题意得12+c,0=3c-12,0,
则12+c=3c-12,
可得c=1,则a=b2+c2=2.
答案 2
11.(河北省衡水中学2018届高三上学期八模考试)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),若椭圆上存在点P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1成立,则该椭圆的离心率的取值范围为 .
解析 在△PF1F2中,由正弦定理得|PF2|sin∠PF1F2=|PF1|sin∠PF2F1,则由已知得|PF2|a=|PF1|c,
即a|PF1|=c|PF2|.设点P(x0,y0),由焦点半径公式,
得|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,则a(a+ex0)=c(a-ex0),
解得x0=a(c-a)e(a+c)=a(e-1)e(1+e).由椭圆的几何性质知-a-a,整理得e2+2e-1>0,解得e<-2-1或e>2-1.
又e∈(0,1),所以椭圆的离心率e∈(2-1,1).
答案 (2-1,1)
12.(新疆乌鲁木齐市2018届高三第二次质量监测)已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交椭圆C于点D,且BF+2DF=0,则椭圆C的离心率为 .
解析 设D(x0,y0),F(c,0),椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>0,b>0),∵BF+2DF=0,∴(c,-b)+2(c-x0,-y0)=0,解得x0=32c,y0=-12b.
将D32c,-12b代入到椭圆方程可得32c2a2+-12b2b2=1,解得e=33.
答案 33
13.(河北省衡水中学2018届高三上学期八模考试)若椭圆C的方程为x25+y2m=1,焦点在x轴上,与直线y=kx+1有公共点,则实数m的取值范围为 .
解析 由椭圆C的方程及焦点在x轴上,知00,所以直线与椭圆相交,
于是y1+y2=-24k2+1, ③
y1y2=1-8k24k2+1, ④
由①③得,y2=54k2+1,y1=-74k2+1,
代入④整理得8k4+k2-9=0,解得k2=1,即k=±1,
所以直线l的方程为y=x-1或y=-x-1.
答案 y=x-1或y=-x-1
15.(江西上饶市2018届高三上学期第一次模拟考试)已知斜率为k的直线与椭圆x24+y23=1交于A,B两点,弦AB的中垂线交x轴于点P(x0,0),则实数x0的取值范围是 .
解析 设直线的方程为y=kx+m,联立3x2+4y2=12,y=kx+m,化简得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
所以Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0,故4k2-m2+3>0,
由题意得x1+x2=-8km3+4k2,x1·x2=4m2-123+4k2,
所以y1+y2=kx1+m+kx2+m=k(x1+x2)+2m=2m-8k2m3+4k2=6m3+4k2,
所以x1+x22=-4km3+4k2,y1+y22=3m3+4k2,
所以线段AB的中点坐标为-4km3+4k2,3m3+4k2,
所以线段AB的垂直平分线方程为y-3m3+4k2=-1kx+4km3+4k2,
把点P(x0,0)代入上面的方程得x0(3+4k2)=-km,
所以m=x0(3+4k2)-k,代入4k2-m2+3>0,
整理得x02