【数学】西藏林芝市第二高级中学2021届高三第一学期第四次月考（理）试卷（解析版） 12页

西藏林芝市第二高级中学 2021 届高三第一学期 第四次月考（理）试卷 第 I 卷 一、选择题:本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．设集合  2 4 3 0A x x x    ，  1 5B x x   Z ，则 A B  （ ） A． 2 B． 3 C． 2,3 D． 1,2,3 2．已知 i 是虚数单位，复数 z 满足 1 2i 1 i   z ，则 z  （ ） A． 5 2 B． 3 2 2 C． 10 2 D． 3 3．设命题 2: , 2   nP n nN ，则 P 为（ ） A． 2, 2   nn nN B． 2, 2   nn nN C． 2, 2   nn nN D． 2, 2   nn nN 4．已知向量 , a b 满足 1a ， 1  a b ，则 (2 )   a a b （ ） A．4 B．3 C．2 D．0 5．在等差数列{an}中，已知 a4＋a8＝16，则该数列前 11 项和 S11＝（ ） A．58 B．88 C．143 D．176 6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图 如图所示，则该“堑堵”的体积为（ ） A．3 B． 2 C． 3 D．2 7．在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 1 2 3 4, , ,pp p p ，且 4 1 1i i p   ，则下面 四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ） A． 1 4 2 30.1, 0.4p p p p    B． 1 4 2 30.4, 0.1p p p p    C． 1 4 2 30.2, 0.3p p p p    D． 1 4 2 30.3, 0.2p p p p    8．函数 4 x x xy e e  的图象大致是（ ） A． B． C． D． 9． ABC 的内角 A B C， ， 的对边分别为 a ，b ， c ，若 ABC 的面积为 2 2 2 4 a b c  ， 则C  （ ） A． π 2 B． π 3 C． π 4 D． π 6 10．二项式    1  nx n N 的展开式中 2x 项的系数为15 ，则 n （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 11．抛物线 2 4y x 的焦点到双曲线 2 2 1x y  的渐近线的距离为（ ） A． 1 2 B． 2 2 C． 3 2 D．2 12．设  f x 是定义域为 R 的偶函数，且在 0,  单调递减，则（ ） A． 23 32 3 1log 2 24f f f                 B． 2 3 3 2 3 1log 2 24f f f                 C． 2 3 3 32 12 2 log 4f f f                D． 2 3 3 2 3 12 2 log 4f f f                 第 II 卷 二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．若 ,x y 满足约束条件 1 0 2 0 2 2 0 x y x y x y            ，则 z x y  的最大值为_____________． 14．已知 sinα＋2cosα＝0，则 2sinαcosα－cos2α的值是______________. 15．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则 在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 . 16．关于函数 f（x）= 1sin sinx x  有如下四个命题： ①f（x）的图像关于 y 轴对称． ②f（x）的图像关于原点对称． ③f（x）的图像关于直线 x= 2  对称． ④f（x）的最小值为 2． 其中所有真命题的序号是__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17． ABC△ 的内角 , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 3 3 cos sina b C c B  . (1)求 B ； (2)若 2b  ， , ,a b c 成等差数列，求 ABC△ 的面积. 18．某汽车零件加工厂为迎接国庆大促销活动预估国庆七天销售量，该厂工作人员根据以往 该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示，将日销售量落入各组 的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立. （1）根据频率分布直方图估计该厂的日平均销售量；(每组以中点值为代表) （2）求未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 6 吨，另一天日销售量低于 6 吨的概率； （3）用 X 表示未来3 天内日销售量不低于 6 吨的天数，求随机变量 X 的分布列、数学期望 与方差. 19．已知正项等比数列{ }na 满足 1 2 6a a  ， 3 2 4a a  . （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）记 2 2 1 1 log logn n n b a a   ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT . 20．已知函数 ( ) ln 2f x x x  ． （1）求曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程； （2）设函数 2( )g x x x   ，其中 0x  .证明： ( )g x 的图象在 ( )f x 图象的下方． 21．已知椭圆 E ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ，点 3 3 4,5 5P       在曲线 E 上，短轴下顶点为 A ， 且短轴长为 2. （Ⅰ）求椭圆 E 的标准方程； （Ⅱ）过点 P 作直线l 与椭圆的另一交点为 B ，且与 PA 所成的夹角为30°，求 PAB△ 的面 积. 22．平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为 1 3 1 x t y t     (t 为参数)，以原点为极点， x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 2cos 1 cos    ． （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; （2）已知与直线l 平行的直线l 过点  2,0M ，且与曲线C 交于 A，B 两点，试求 MA MB ． 【参考答案】 一．选择 1．C 【解析】因为  2 4 3 0A x x x    ，所以  1 3A x x   ， 因为  1 5B x x   Z ，所以  2,3,4B  ，所以  2,3A B  ． 2．C 【解析】   1 2 11 2 1 3 1 2 2 i ii iz i       ，所以 10z 2  . 3．C 4．B 【解析】因为 2 2(2 ) 2 2 | | ( 1) 2 1 3,a a b a a b a                所以选 B. 5．B 【解析】等差数列前 n 项和公式 1( ) 2 n n n a as  ， 4 81 11 11 11( )11( ) 11 16 882 2 2 a aa as      ． 6．D 【解析】由三视图可知该几何体为底面是腰为 2 的等腰直角三角形，高为 2 的直三棱柱， 如图： 故体积为 1 2 2 2 22V      .故选：D. 7．B 【解析】对于 A 选项，该组数据的平均数为    1 4 0.1 2 3 0.4 2.5Ax        ， 方差为        2 2 2 22 1 2.5 0.1 2 2.5 0.4 3 2.5 0.4 4 2.5 0.1 0.65As              ； 对于 B 选项，该组数据的平均数为    1 4 0.4 2 3 0.1 2.5Bx        ， 方差为        2 2 2 22 1 2.5 0.4 2 2.5 0.1 3 2.5 0.1 4 2.5 0.4 1.85Bs              ； 对于 C 选项，该组数据的平均数为    1 4 0.2 2 3 0.3 2.5Cx        ， 方差为        2 2 2 22 1 2.5 0.2 2 2.5 0.3 3 2.5 0.3 4 2.5 0.2 1.05Cs              ； 对于 D 选项，该组数据的平均数为    1 4 0.3 2 3 0.2 2.5Dx        ， 方差为        2 2 2 22 1 2.5 0.3 2 2.5 0.2 3 2.5 0.2 4 2.5 0.3 1.45Ds              . 因此，B 选项这一组的标准差最大. 8．A 【解析】由题得 4( ) ( )x x xf x f xe e     ，所以函数是奇函数，排除选项 B,D. 由题得 1 4(1) 0f e e  ，所以排除选项 C.故选 A 9．C 【解析】由题可知 2 2 21 2 4ABC a b cS absinC    所以 2 2 2 2absinCa b c   由余弦定理 2 2 2 2a b c abcosC   ，所以sinC cosC ，  C 0, π C 4   10．C 【解析】二项式 1 nx  的展开式的通项是 1 Cr r r n x  ，令 2r = 得 2x 的系数是 2Cn ，因为 2x 的系数为15，所以 2C 15n  ，即 ，解得： 6n  或 5n   ，因为 n Ν ， 所以 6n  ，故选 C． 11．B 【解析】因为抛物线的焦点为 (1,0) ，双曲线的渐近线为 0x y  ， 所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 2 2 1 0 2 21 1 d    ， 12．C 【解析】  f x 是 R 的偶函数，  3 3 1log log 44f f     ． 2 23 3 0 3 32 2 3 3 3log 4 log 3 1,1 2 2 2 , log 4 2 2            ， 又  f x 在(0，+∞)单调递减，∴   2 3 3 2 3log 4 2 2f f f             ， 23 32 3 12 2 log 4f f f                 ，故选 C． 二．填空 13． 3 2 14．－1 【解析】由已知可得，sinα＝－2cosα，即 tanα＝－2 2sinαcosα－cos2α＝ 2 2 2 2 2sin cos cos 2tan 1 4 1 1sin cos tan 1 4 1                 15． 3 2 【解析】∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币， 当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功， ∴这次试验成功的概率 p＝1﹣（ 1 2 ）2 3 4  ， ∴在 2 次试验中成功次数 X～B（2， 3 4 ）， ∴在 2 次试验中成功次数 X 的均值 E（X） 3 32 4 2    ． 16．②③ 【解析】对于命题①， 1 526 2 2f        ， 1 526 2 2f          ，则 6 6f f            ， 所以，函数  f x 的图象不关于 y 轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数  f x 的定义域为 ,x x k k Z  ，定义域关于原点对称，        1 1 1sin sin sinsin sin sinf x x x x f xx x x                 ， 所以，函数  f x 的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③， 1 1sin cos2 2 cossin 2 f x x x xx                         ， 1 1sin cos2 2 cossin 2 f x x x xx                        ，则 2 2f x f x             ， 所以，函数  f x 的图象关于直线 2x  对称，命题③正确； 对于命题④，当 0x   时， sin 0x  ，则   1sin 0 2sinf x x x     ， 命题④错误.故答案为：②③. 17．解：（Ⅰ）由 a－ bcosC＝csinB 及正弦定理得， sinA－ sinBcosC＝sinCsinB，因为 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCcosB， 所以 sinCcosB＝sinCsinB．因为 sinC≠0，所以 tanB＝ ， 又因为 B 为三角形的内角，所以 B＝ ． （Ⅱ）由 a，b，c 成等差数列得 a＋c＝2b＝4， 由余弦定理得 a2＋c2－2accosB＝b2， 即 a2＋c2－ac＝4，所以(a＋c)2－3ac＝4，从而有 ac＝4． 故 S △ ABC＝ acsinB＝ ． 18．【解】（1）该厂的日平均销售量为： 2 4 4 6 6 8 8 10 10 120.05 2+ 0.1 2+ 0.15 2+ 0.125 2+ 0.075 2=7.42 2 2 2 2               （吨）； （2）日销售量低于 6 吨的概率为： 0.05 2+0.1 2=0.3  ， 则日销售量不低于 6 吨的概率为：1 0.3 0.7  . 所以未来 3 天内，连续 2 天日销售量不低于 6 吨，另一天日销售量低于 6 吨的概率为： 0.7 0.7 0.3 0.3 0.7 0.7 0.294      ； （3）由（2）可知：日销售量不低于 6 吨的概率为： 0.7P  . 由题意可知：随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3，且 ~ (3,0.7)X B ， 0 3 3( 0) (0.3) 0.027P X C    ， 1 2 3( 1) 0.7 (0.3) 0.189P X C     ， 2 2 3( 2) 0.7 0.3 0.441P X C     ， 3 3 3( 3) 0.7 0.343P X C    . 随机变量 X 的分布列如下图所示： X 0 1 2 3 P 0.027 0.189 0.441 0.343 随机变量 X 的数学期望为： ( ) 3 0.7 2.1E X    随机变量 X 的方差为： ( ) 3 0.7 (1 0.7) 0.63D X      19．【解】（1）设数列 na 的公比为 q，由已知 0q  ， 由题意得 1 1 2 1 1 6 4 a a q a q a q      ，所以 23 5 2 0q q   ．解得 2q = ， 1 2a  . 因此数列 na 的通项公式为 2n na  ； （2）由（1）知，  2 2 1 1 1 1 1 log log 1 1n n n b a a n n n n     ， ∴ 1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1n nT n n n n             ． 20．【解】（1）因为 ( ) ln 2f x x x  ，所以 ( ) ln 1f x x   ， 因为 (1) 2f  ， (1) ln1 1 1f     所以曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线方程为  2 1 1y x    ，即 1 0x y   （2）设       2ln 2 , 0h x f x g x x x x xx        则   2 2lnh x x x    ，   3 1 4h x x x    因为 0x  ，所以   0h x  ，即  h x 在( )0,+¥ 上单调递增， 因为  1 2 0h    ，   2 21 0h e e     ， 所以在区间 1,e 内，存在唯一的 0x ，使得  0 0 2 0 2ln 0h x x x     ，即 0 2 0 2ln x x  当  00,x x 时，  0 0h x  ，  h x 单调递减， 当  0 ,x x  时，  0 0h x  ，  h x 单调递增，所以    0h x h x 因为    0 0 0 0 0 0 0 0 2 4ln 2 2 , 1,h x x x x x x ex x         所以  0 2 0 41 0h x x      ，所以  0 0 0 4 42 2 0h x x ex e        所以   0h x  ，即 ( )g x 的图象在 ( )f x 图象的下方. 21．【解】（Ⅰ）将点 3 3 4,5 5P       代入椭圆的方程得 2 2 27 16 125 25a b   ， 由短轴长为 2，知 1b  ，故 2 3a  ，则椭圆的方程为 2 2 13 x y  . （Ⅱ）由题意可得 PA 的斜率为 3 ，即 PA 的倾斜角为 60， 当 PA 与直线l 所成夹角为 30°时，易知直线l 的倾斜角为 30°或90 . ①当直线l 的倾斜角为90 时， 8 5PB  ， 2 23 3 4 6 315 5 5PA               ， 则 1 12 3sin302 25PABS PA PB   △ ； ②当直线l 的倾斜角为 30°时，直线l 的方程为 4 3 3 3 5 3 5y x        ， 即 3 1 3 5y x  ，联立方程 2 2 3 1 3 5 13 y x x y       ，得 2 2 3 722 05 25x x   ， 则 3 5BPx x   ，故 4 3 5Bx   . 2 3 141 3 5B PP xB x         ， 1 21 3sin302 25PABS PA PB   △ ， 综上可得 PAB△ 的面积为 12 3 25 或 21 3 25 . 22．【解】（1）直线l 的参数方程为 1 3 1 x t y t     ， 把直线l 的参数方程化为普通方程为  3 1 1y x   ． 由 2 2cos 1 cos    ，可得  2 21 cos 2 cos     ，∴曲线C 的直角坐标方程为 2 2y x ． （2）直线l 的倾斜角为 3  ，∴直线l 的倾斜角也为 3  ， 又直线l 过点  2,0M ，∴直线l 的参数方程为 12 2 3 2 x t y t        (t 为参数)， 将其代入曲线C 的直角坐标方程可得 23 4 16 0t t    ， 设点 A ， B 对应的参数分别为 1t ， 2t ． 由一元二次方程的根与系数的关系知 1 2 16 3t t    ， 1 2 4 3t t  ．∴ 16 3MA MB  ．