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- 2021-06-16 发布
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10.3 二项式定理
[知识梳理]
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
3.常用结论
(1)C+C+C+…+C=2n.
(2)C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.
(3)C+2C+3C+…+nC=n2n-1.
(4)CC+CC+…+CC=C.
(5)(C)2+(C)2+(C)2+…+(C)2=C.
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.( )
(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.(a+b)2n中系数最大的项是第n项.( )
(3)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同.( )
(4)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×
2.教材衍化
(1)(选修A2-3P30例1)6的展开式的常数项为( )
A.-192x2 B.240x C.-160 D.
答案 C
解析 6的展开式的通项为Tr+1=C(2)6-rr=(-1)r26-rCx3-r(r=1,2,…,6),所以当r=3时为常数项,此时T4=-23×C=-160,故选C.
(2)(选修A2-3P31例2)二项式10的展开式中系数最大的项为( )
A.第六项 B.第五项和第六项
C.第五项和第七项 D.第六项和第七项
答案 C
解析 二项展开式的通项为Tr+1=Cx10-r(-x-)r=(-1)rC·x10-r,每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等,由二项式系数性质,知展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为C,但第六项系数为-C,显然不是最大的.又因第五项和第七项的系数相等且为C=C,再由二项式系数的增减性规律可知选C.
3.小题热身
(1)(2017·全国卷Ⅲ)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
答案 C
解析 因为x3y3=x·(x2y3),其系数为-C·22=-40,
x3y3=y·(x3y2),其系数为C·23=80.
所以x3y3的系数为80-40=40.
故选C.
(2)(2017·山东高考)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=________.
答案 4
解析 (1+3x)n的展开式的通项为Tr+1=C(3x)r.令r=2,得T3=9Cx2.由题意得9C=54,解得n=4.
题型1 二项展开式
角度1 求二项展开式中的特定项或系数
(2016·全国卷Ⅰ)(2x+)5的展开式中,x3的系数是________.(用数字填写答案)
答案 10
解析 Tr+1=C(2x)5-r·()r=25-rC·x5-,令5-=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.
角度2 已知二项展开式某项的系数求参数
(2015·湖南高考)已知5的展开式中含x的项的系数为30,则a=( )
A. B.- C.6 D.-6
答案 D
解析 5的展开式的通项为Tr+1=C()5-r·r=(-a)rC·x.
依题意,令5-2r=3,得r=1,
∴(-a)1·C=30,a=-6,故选D.
角度3 多项展开式
(2015·全国卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( )
A.10 B.20 C.30 D.60
答案 C
解析 (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有C(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为CC=30,故选C.
方法技巧
1.求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路
(1)利用通项公式将Tk+1项写出并化简.
(2)令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出k.
(3)代回通项得所求.见角度1典例.
2.求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法
(1)
对于三项式问题,一般先变形化为二项式,再用通项公式求解,或用组合知识求解.见角度3典例.
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般对某个因式用通项公式,再结合与其他因式相乘情况求解特定项,或根据因式连乘的规律,结合组合知识求解,但要注意适当地运用分类思想,以免重复或遗漏.见冲关针对训练2.
(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题,只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项,再求和即可.
冲关针对训练
1.(2014·湖北高考)若二项式7的展开式中的系数是84,则实数a=( )
A.2 B. C.1 D.
答案 C
解析 Tr+1=C·(2x)7-r·r=27-rCar·.令2r-7=3,则r=5.由22·Ca5=84得a=1,故选C.
2.(2014·全国卷Ⅰ)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)
答案 -20
解析 由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x·Cxy7-y·Cx2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为C-C=C-C=8-28=-20.
题型2 二项式系数的性质或各项系数的和
(2015·湖北高考)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.212 B.211 C.210 D.29
答案 D
解析 ∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C,C,∴C=C,得n=10.
对(1+x)10,
令x=1,得(1+1)10=C+C+C+C+…+C=210,①
令x=-1,得(1-1)10=C-C+C-…+C=0,②
利用①+②可得2×(C+C+…+C)=210,
∴奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=29.故选D.
已知n的展开式中前三项x的系数为等差数列,则二项式系数最大项为________.
答案 x
解析 ∵C=1,C=,C2=n(n-1),
由题设可知2·=1+n(n-1),n2-9n+8=0,
解得n=8或n=1(舍去).
所以二项式系数的最大项为C4=x.
[结论探究] 典例2中条件不变,试求展开式中系数最大的项.
解 设第r+1项的系数Tr+1最大,显然Tr+1>0,
故有≥1且≤1,
∵==,
由≥1,得r≤3.
又∵==,
由≤1,得r≥2.
∴r=2或r=3,所求项为T3=7x和T4=7x.
方法技巧
1.赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.如:
(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可.
(2)形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.见典例1.
2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
(1)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1).
(2)奇数项系数之和为
a0+a2+a4+…=.
(3)偶数项系数之和为
a1+a3+a5+…=.
冲关针对训练
1.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 B
解析 由题意得a=C,b=C,所以13C=7C,∴=
,∴=13,解得m=6,经检验为原方程的解,故选B.
2.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=________.
答案 10
解析 解法一:(通法)将f(x)=x5进行转化,利用二项式定理求解.
f(x)=x5=(1+x-1)5,它的通项为Tr+1=C(1+x)5-r·(-1)r,T3=C(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,
∴a3=10.
解法二:(赋值法)对等式f(x)=x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5两边连续对x求导三次得:60x2=6a3+24a4(1+x)+60a5(1+x)2,再令x=-1得60=6a3,即a3=10.
题型3 二项式定理的应用
(1)求证:n∈N且n≥3时,2n-1≥n+1;
(2)求证:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除;
(3)计算1.056.(精确到0.01)
解 (1)证明:n≥3时,2n=(1+1)n
=1+n+C+…+n+1≥2+2n,∴2n-1≥n+1.
(2)证明:原式=(1+8)n+1-8n-9
=1+C81+C82+…+C8n+1-8n-9
=C82+C83+…+C8n+1
=64(C+C8+…+C8n-1).
∵C,C,…,C均为自然数,上式各项均为64的整数倍,
∴32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.
(3)1.056=(1+0.05)6=1+6×0.05+15×0.052+…=1+0.3+
0.0375+…≈1.34.
方法技巧
二项式定理应用的常见题型及求解策略
1.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中关注展开式的最后几项,而求近似值则关注展开式的前几项.见本典例(2).
2.二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式.
3.(a+b)n的展开式共有n+1项,故可通过对某些项的取舍来放缩,达到证明不等式的目的.见本典例(1).
4.利用二项式定理进行近似计算:当n不很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx.若精确度要求较高,则可使用更精确的公式(1+x)n≈1+nx+x2.见本典例(3).
冲关针对训练
1-90C+902C-903C+…+(-1)k·90kC+…+9010C除以88的余数是( )
A.-1 B.1 C.-87 D.87
答案 B
解析 1-90C+902C+…+(-1)k90kC+…+9010C=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C889+…+C88+1,∵前10项均能被88整除,∴余数是1.故选B.
1.(2017·全国卷Ⅰ)(1+x)6展开式中x2的系数为( )
A.15 B.20 C.30 D.35
答案 C
解析 因为(1+x)6的通项为Cxr,所以(1+x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.
因为C+C=2C=2×=30,所以(1+x)6展开式中x2的系数为30.故选C.
2.(2018·山西四校联考)若n的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
解析 Tr+1=C(x6)n-rr=Cx6n-r,当Tr+1是常数项时,6n-r=0,即n=r,又n∈N*,故当r=4时,n的最小值为5,故选C.
3.(2018·福建漳州模拟)已知(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,则a2+a3+…+a9+a10的值为( )
A.-20 B.0 C.1 D.20
答案 D
解析 令x=1,得a0+a1+a2+…+a9+a10=1,再令x=0,得a0=1,所以a1+a2+…+a9+a10=0,又易知a1=C×21×(-1)9=-20,所以a2+a3+…+a9+a10=20.故选D.
4.(2017·浙江高考)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=________,a5=________.
答案 16 4
解析 a4是x项的系数,由二项式的展开式得
a4=C·C·2+C·C·22=16;
a5是常数项,由二项式的展开式得a5=C·C·22=4.
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一、选择题
1.(2018·广东测试)6的展开式中,常数项是( )
A.- B. C.- D.
答案 D
解析 Tr+1=C(x2)6-rr=rCx12-3r,令12-3r=0,解得r=4.∴常数项为4C=.故选D.
2.(2018·福建厦门联考)在10的展开式中,x2的系数为( )
A.10 B.30 C.45 D.120
答案 C
解析 因为10=10=(1+x)10+C(1+x)9+…+C10,所以x2只出现在(1+x)10的展开式中,所以含x2的项为Cx2,系数为C=45.故选C.
3.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
答案 D
解析 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=C·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中相应x2的系数为C,当r=1时,相应x2的系数为C·a,所以C+C·a=5,a=-1,故选D.
4.(2018·河南百校联盟模拟)(3-2x-x4)(2x-1)6的展开式中,含x3项的系数为 ( )
A.600 B.360 C.-600 D.-360
答案 C
解析 由二项展开式的通项公式可知,展开式中含x3项的系数为3×C23(-1)3-2×C22(-1)4=-600.故选C.
5.若5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式的常数项为( )
A.-40 B.-20 C.20 D.40
答案 D
解析 令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,∴a=1.
∴5的通项为Tr+1=C·(2x)5-r·r=(-1)r·25-r·C·x5-2r.
令5-2r=1,得r=2.令5-2r=-1,得r=3.
∴展开式的常数项为(-1)2×23·C+(-1)3·22·C=80-40=40.故选D.
6.在n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是( )
A.-7 B.7 C.-28 D.28
答案 B
解析 由题意知n=8,
Tr+1=C·8-r·r=(-1)r·C··=(-1)r·C·,
由8-r-=0,得r=6.
∴T7=C·=7,即展开式中的常数项为T7=7.故选B.
7.(2018·石家庄模拟)若9(a∈R)的展开式中x9的系数是-,则sinxdx的值为( )
A.1-cos2 B.2-cos1 C.cos2-1 D.1+cos2
答案 A
解析 由题意得Tr+1=C·(x2)9-r·(-1)r·r=(-1)r·C·x18-3r·,令18-3r=9,得r=3,所以-C·=-,解得a=2.所以sinxdx=(-cosx)=-cos2+cos0=1-cos2.故选A.
8.设a∈Z,且0≤a<13,若512018+a能被13整除,则a=( )
A.0 B.1 C.11 D.12
答案 D
解析 512018+a=(52-1)2018+a=522018+C·522017·(-1)+…+C×52×(-1)2017+1+a,
∵522018能被13整除,∴只需a+1能被13整除即可,∴a=12.故选D.
9.(2018·合肥质检)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2·(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为( )
A.1或-3 B.-1或3
C.1 D.-3
答案 A
解析 令x=0,得到a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,令x=-2,得到a0-a1+a2-a3+…-a9=m9,所以有(2+m)9m9=39,即m2+2m=3,解得m=1或m=-3.故选A.
10.(2017·淮北模拟)已知在n的展开式中,第6项为常数项,则展开式中所有的有理项共有( )
A.5项 B.4项 C.3项 D.2项
答案 C
解析 Tr+1=Cxr=Crx,由第6项为常数项 ,得当r=5时,=0,得n=10.令=k∈Z,则10-2r=3k,即r=5-k,故k应为偶数.又0≤r≤10,故k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.故第3项,第6项与第9项为有理项,故选C.
二、填空题
11.(2014·安徽高考)设a≠0,n是大于1的自然数,n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=________.
答案 3
解析 根据题意知a0=1,a1=3,a2=4,结合二项式定理得即解得a=3.
12.若6的展开式中x3的系数为20,则a2+b2的最小值为________.
答案 2
解析 因为二项式6展开后第k项为C·(ax2)7-kk-1=Ca7-kbk-1x15-3k,所以当k=4时,可得x3的系数为20a3b3,即20a3b3=20,得ab=1.故a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b=1时等号成立,此时a2+b2取得最小值2.
13.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=________.
答案 120
解析 ∵(1+x)6展开式的通项公式为Tr+1=Cxr,(1+y)4展开式的通项公式为Th+1=Cyh,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为CCxryh.
∴f(m,n)=CC.
∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C+CC+CC+C=20+60+36+4=120.
14.(2017·江西赣州十四县联考)若n的展开式中前三项的系数分别为A,B,C,且满足4A=9(C-B),则展开式中x2的系数为________.
答案
解析 易得A=1,B=,C==,所以有4=9,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍).在8中,因为通项Tr+1=Cx8-r·r=x8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数为.
三、解答题
15.(2018·三亚模拟)已知fn(x)=(1+x)n.
(1)若f2019(x)=a0+a1x+…+a2019x2019,求a1+a3+…+a2017+a2019
的值;
(2)若g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),求g(x)中含x6项的系数.
解 (1)因为fn(x)=(1+x)n,
所以f2019(x)=(1+x)2019,
又f2019(x)=a0+a1x+…+a2019x2019,
所以f2019(1)=a0+a1+…+a2019=22019,①
f2019(-1)=a0-a1+…+a2017-a2019=0,②
①-②得2(a1+a3+…+a2017+a2019)=22019,
所以a1+a3+…+a2017+a2019=22018.
(2)因为g(x)=f6(x)+2f7(x)+3f8(x),
所以g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8.
g(x)中含x6项的系数为C+2C+3C=99.
16.已知n,
(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;
(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.
解 (1)因为C+C=2C,所以n2-21n+98=0,得n=7或n=14.
当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.
∴T4的系数为C423=,
T5的系数为C324=70.
当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,
∴T8的系数为C727=3432.
(2)∵C+C+C=79,∴n2+n-156=0,
∴n=12或n=-13(舍去).
设Tk+1项的系数最大,
∵12=12(1+4x)12,
∴
解得≤k≤.
∵k∈N,∴k=10,∴展开式中系数最大的项为T11,
T11=C·2·210·x10=16896x10.