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  • 2021-06-16 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版二项式定理(1)学案

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‎10.3 二项式定理 ‎ [知识梳理]‎ ‎1.二项式定理 ‎2.二项式系数的性质 ‎3.常用结论 ‎(1)C+C+C+…+C=2n.‎ ‎(2)C+C+C+…=C+C+C+…=2n-1.‎ ‎(3)C+‎2C+‎3C+…+nC=n2n-1.‎ ‎(4)CC+CC+…+CC=C.‎ ‎(5)(C)2+(C)2+(C)2+…+(C)2=C.‎ ‎[诊断自测]‎ ‎1.概念思辨 ‎(1)(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b无关.(  )‎ ‎(2)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.(a+b)2n中系数最大的项是第n项.(  )‎ ‎(3)(a+b)n某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等,与该项的二项式系数不同.(  )‎ ‎(4)若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值为128.(  )‎ 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×‎ ‎                    ‎ ‎2.教材衍化 ‎(1)(选修A2-3P30例1)6的展开式的常数项为(  )‎ A.-192x2 B.240x C.-160 D. 答案 C 解析 6的展开式的通项为Tr+1=C(2)6-rr=(-1)r26-rCx3-r(r=1,2,…,6),所以当r=3时为常数项,此时T4=-23×C=-160,故选C.‎ ‎(2)(选修A2-3P31例2)二项式10的展开式中系数最大的项为(  )‎ A.第六项 B.第五项和第六项 C.第五项和第七项 D.第六项和第七项 答案 C 解析 二项展开式的通项为Tr+1=Cx10-r(-x-)r=(-1)rC·x10-r,每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等,由二项式系数性质,知展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为C,但第六项系数为-C,显然不是最大的.又因第五项和第七项的系数相等且为C=C,再由二项式系数的增减性规律可知选C.‎ ‎3.小题热身 ‎(1)(2017·全国卷Ⅲ)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为(  )‎ A.-80 B.-‎40 C.40 D.80‎ 答案 C 解析 因为x3y3=x·(x2y3),其系数为-C·22=-40,‎ x3y3=y·(x3y2),其系数为C·23=80.‎ 所以x3y3的系数为80-40=40.‎ 故选C.‎ ‎(2)(2017·山东高考)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=________.‎ 答案 4‎ 解析 (1+3x)n的展开式的通项为Tr+1=C(3x)r.令r=2,得T3=‎9Cx2.由题意得‎9C=54,解得n=4.‎ ‎                    ‎ 题型1 二项展开式 角度1 求二项展开式中的特定项或系数   (2016·全国卷Ⅰ)(2x+)5的展开式中,x3的系数是________.(用数字填写答案)‎ 答案 10‎ 解析 Tr+1=C(2x)5-r·()r=25-rC·x5-,令5-=3,得r=4,∴T5=10x3,∴x3的系数为10.‎ 角度2 已知二项展开式某项的系数求参数   (2015·湖南高考)已知5的展开式中含x的项的系数为30,则a=(  )‎ A. B.- C.6 D.-6‎ 答案 D 解析 5的展开式的通项为Tr+1=C()5-r·r=(-a)rC·x.‎ 依题意,令5-2r=3,得r=1,‎ ‎∴(-a)1·C=30,a=-6,故选D.‎ 角度3 多项展开式   (2015·全国卷Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为(  )‎ A.10 B.‎20 C.30 D.60‎ 答案 C 解析 (x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式中只有C(x2+x)3y2中含x5y2,易知x5y2的系数为CC=30,故选C.‎ 方法技巧 ‎1.求二项展开式中的特定项或项的系数问题的思路 ‎(1)利用通项公式将Tk+1项写出并化简.‎ ‎(2)令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出k.‎ ‎(3)代回通项得所求.见角度1典例.‎ ‎2.求多项式展开式中的特定项或项的系数问题的方法 ‎(1)‎ 对于三项式问题,一般先变形化为二项式,再用通项公式求解,或用组合知识求解.见角度3典例.‎ ‎(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题,一般对某个因式用通项公式,再结合与其他因式相乘情况求解特定项,或根据因式连乘的规律,结合组合知识求解,但要注意适当地运用分类思想,以免重复或遗漏.见冲关针对训练2.‎ ‎(3)对于几个多项式和的展开式中的特定项问题,只需依据各个二项展开式中分别得到符合要求的项,再求和即可.‎ 冲关针对训练 ‎1.(2014·湖北高考)若二项式7的展开式中的系数是84,则实数a=(  )‎ A.2 B. C.1 D. 答案 C 解析 Tr+1=C·(2x)7-r·r=27-rCar·.令2r-7=3,则r=5.由22·Ca5=84得a=1,故选C.‎ ‎2.(2014·全国卷Ⅰ)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字填写答案)‎ 答案 -20‎ 解析 由二项展开式公式可知,含x2y7的项可表示为x·Cxy7-y·Cx2y6,故(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为C-C=C-C=8-28=-20.‎ 题型2 二项式系数的性质或各项系数的和   (2015·湖北高考)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为(  )‎ A.212 B.‎211 C.210 D.29‎ 答案 D 解析 ∵(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为C,C,∴C=C,得n=10.‎ 对(1+x)10,‎ 令x=1,得(1+1)10=C+C+C+C+…+C=210,①‎ 令x=-1,得(1-1)10=C-C+C-…+C=0,②‎ 利用①+②可得2×(C+C+…+C)=210,‎ ‎∴奇数项的二项式系数和为C+C+…+C=29.故选D.‎   已知n的展开式中前三项x的系数为等差数列,则二项式系数最大项为________.‎ 答案 x 解析 ∵C=1,C=,C2=n(n-1),‎ 由题设可知2·=1+n(n-1),n2-9n+8=0,‎ 解得n=8或n=1(舍去).‎ 所以二项式系数的最大项为C4=x.‎ ‎[结论探究] 典例2中条件不变,试求展开式中系数最大的项.‎ 解 设第r+1项的系数Tr+1最大,显然Tr+1>0,‎ 故有≥1且≤1,‎ ‎∵==,‎ 由≥1,得r≤3.‎ 又∵==,‎ 由≤1,得r≥2.‎ ‎∴r=2或r=3,所求项为T3=7x和T4=7x.‎ 方法技巧 ‎1.赋值法的应用 二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或‎0”‎,有时也取其他值.如:‎ ‎(1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子,求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可.‎ ‎(2)形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子,求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可.见典例1.‎ ‎2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 ‎(1)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1).‎ ‎(2)奇数项系数之和为 a0+a2+a4+…=.‎ ‎(3)偶数项系数之和为 a1+a3+a5+…=.‎ 冲关针对训练 ‎1.设m为正整数,(x+y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)‎2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若‎13a=7b,则m=(  )‎ A.5 B.‎6 C.7 D.8‎ 答案 B 解析 由题意得a=C,b=C,所以‎13C=‎7C,∴=‎ ,∴=13,解得m=6,经检验为原方程的解,故选B.‎ ‎2.若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3=________.‎ 答案 10‎ 解析 解法一:(通法)将f(x)=x5进行转化,利用二项式定理求解.‎ f(x)=x5=(1+x-1)5,它的通项为Tr+1=C(1+x)5-r·(-1)r,T3=C(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,‎ ‎∴a3=10.‎ 解法二:(赋值法)对等式f(x)=x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5两边连续对x求导三次得:60x2=‎6a3+‎24a4(1+x)+‎60a5(1+x)2,再令x=-1得60=‎6a3,即a3=10.‎ 题型3 二项式定理的应用   (1)求证:n∈N且n≥3时,2n-1≥n+1;‎ ‎(2)求证:32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除;‎ ‎(3)计算1.056.(精确到0.01)‎ 解 (1)证明:n≥3时,2n=(1+1)n ‎=1+n+C+…+n+1≥2+2n,∴2n-1≥n+1.‎ ‎(2)证明:原式=(1+8)n+1-8n-9‎ ‎=1+C81+C82+…+C8n+1-8n-9‎ ‎=C82+C83+…+C8n+1‎ ‎=64(C+C8+…+C8n-1).‎ ‎∵C,C,…,C均为自然数,上式各项均为64的整数倍,‎ ‎∴32n+2-8n-9(n∈N*)能被64整除.‎ ‎(3)1.056=(1+0.05)6=1+6×0.05+15×0.052+…=1+0.3+‎ ‎0.0375+…≈1.34.‎ 方法技巧 二项式定理应用的常见题型及求解策略 ‎1.整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题,整除问题中关注展开式的最后几项,而求近似值则关注展开式的前几项.见本典例(2).‎ ‎2.二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理,注意选择合适的形式.‎ ‎3.(a+b)n的展开式共有n+1项,故可通过对某些项的取舍来放缩,达到证明不等式的目的.见本典例(1).‎ ‎4.利用二项式定理进行近似计算:当n不很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx.若精确度要求较高,则可使用更精确的公式(1+x)n≈1+nx+x2.见本典例(3).‎ 冲关针对训练 ‎1-‎90C+‎902C-‎903C+…+(-1)k·90kC+…+‎9010C除以88的余数是(  )‎ A.-1 B.‎1 C.-87 D.87‎ 答案 B 解析 1-‎90C+‎902C+…+(-1)k90kC+…+‎9010C=(1-90)10=8910=(88+1)10=8810+C889+…+C88+1,∵前10项均能被88整除,∴余数是1.故选B.‎ ‎1.(2017·全国卷Ⅰ)(1+x)6展开式中x2的系数为(  )‎ A.15 B.‎20 C.30 D.35‎ 答案 C 解析 因为(1+x)6的通项为Cxr,所以(1+x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.‎ 因为C+C=‎2C=2×=30,所以(1+x)6展开式中x2的系数为30.故选C.‎ ‎2.(2018·山西四校联考)若n的展开式中含有常数项,则正整数n的最小值等于(  )‎ A.3 B.‎4 C.5 D.6‎ 答案 C 解析 Tr+1=C(x6)n-rr=Cx6n-r,当Tr+1是常数项时,6n-r=0,即n=r,又n∈N*,故当r=4时,n的最小值为5,故选C.‎ ‎3.(2018·福建漳州模拟)已知(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10,则a2+a3+…+a9+a10的值为(  )‎ A.-20 B.‎0 C.1 D.20‎ 答案 D 解析 令x=1,得a0+a1+a2+…+a9+a10=1,再令x=0,得a0=1,所以a1+a2+…+a9+a10=0,又易知a1=C×21×(-1)9=-20,所以a2+a3+…+a9+a10=20.故选D.‎ ‎4.(2017·浙江高考)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=________,a5=________.‎ 答案 16 4‎ 解析 a4是x项的系数,由二项式的展开式得 a4=C·C·2+C·C·22=16;‎ a5是常数项,由二项式的展开式得a5=C·C·22=4.‎ ‎ [基础送分 提速狂刷练]‎ 一、选择题 ‎1.(2018·广东测试)6的展开式中,常数项是(  )‎ A.- B. C.- D. 答案 D 解析 Tr+1=C(x2)6-rr=rCx12-3r,令12-3r=0,解得r=4.∴常数项为‎4C=.故选D.‎ ‎2.(2018·福建厦门联考)在10的展开式中,x2的系数为(  )‎ A.10 B.‎30 C.45 D.120‎ 答案 C 解析 因为10=10=(1+x)10+C(1+x)9+…+C10,所以x2只出现在(1+x)10的展开式中,所以含x2的项为Cx2,系数为C=45.故选C.‎ ‎3.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=(  )‎ A.-4 B.-‎3 C.-2 D.-1‎ 答案 D 解析 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为Tr+1=C·xr,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中相应x2的系数为C,当r=1时,相应x2的系数为C·a,所以C+C·a=5,a=-1,故选D.‎ ‎4.(2018·河南百校联盟模拟)(3-2x-x4)(2x-1)6的展开式中,含x3项的系数为 (  )‎ A.600 B.‎360 C.-600 D.-360‎ 答案 C 解析 由二项展开式的通项公式可知,展开式中含x3项的系数为3×C23(-1)3-2×C22(-1)4=-600.故选C.‎ ‎5.若5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式的常数项为(  )‎ A.-40 B.-‎20 C.20 D.40‎ 答案 D 解析 令x=1,得(1+a)(2-1)5=2,∴a=1.‎ ‎∴5的通项为Tr+1=C·(2x)5-r·r=(-1)r·25-r·C·x5-2r.‎ 令5-2r=1,得r=2.令5-2r=-1,得r=3.‎ ‎∴展开式的常数项为(-1)2×23·C+(-1)3·22·C=80-40=40.故选D.‎ ‎6.在n的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是(  )‎ A.-7 B.‎7 C.-28 D.28‎ 答案 B 解析 由题意知n=8,‎ Tr+1=C·8-r·r=(-1)r·C··=(-1)r·C·,‎ 由8-r-=0,得r=6.‎ ‎∴T7=C·=7,即展开式中的常数项为T7=7.故选B.‎ ‎7.(2018·石家庄模拟)若9(a∈R)的展开式中x9的系数是-,则sinxdx的值为(  )‎ A.1-cos2 B.2-cos‎1 C.cos2-1 D.1+cos2‎ 答案 A 解析 由题意得Tr+1=C·(x2)9-r·(-1)r·r=(-1)r·C·x18-3r·,令18-3r=9,得r=3,所以-C·=-,解得a=2.所以sinxdx=(-cosx)=-cos2+cos0=1-cos2.故选A.‎ ‎8.设a∈Z,且0≤a<13,若512018+a能被13整除,则a=(  )‎ A.0 B.‎1 C.11 D.12‎ 答案 D 解析 512018+a=(52-1)2018+a=522018+C·522017·(-1)+…+C×52×(-1)2017+1+a,‎ ‎∵522018能被13整除,∴只需a+1能被13整除即可,∴a=12.故选D.‎ ‎9.(2018·合肥质检)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2·(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为(  )‎ A.1或-3 B.-1或3‎ C.1 D.-3‎ 答案 A 解析 令x=0,得到a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,令x=-2,得到a0-a1+a2-a3+…-a9=m9,所以有(2+m)‎9m9=39,即m2+‎2m=3,解得m=1或m=-3.故选A.‎ ‎10.(2017·淮北模拟)已知在n的展开式中,第6项为常数项,则展开式中所有的有理项共有(  )‎ A.5项 B.4项 C.3项 D.2项 答案 C 解析 Tr+1=Cxr=Crx,由第6项为常数项 ,得当r=5时,=0,得n=10.令=k∈Z,则10-2r=3k,即r=5-k,故k应为偶数.又0≤r≤10,故k可取2,0,-2,即r可取2,5,8.故第3项,第6项与第9项为有理项,故选C.‎ 二、填空题 ‎11.(2014·安徽高考)设a≠0,n是大于1的自然数,n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=________.‎ 答案 3‎ 解析 根据题意知a0=1,a1=3,a2=4,结合二项式定理得即解得a=3.‎ ‎12.若6的展开式中x3的系数为20,则a2+b2的最小值为________.‎ 答案 2‎ 解析 因为二项式6展开后第k项为C·(ax2)7-kk-1=Ca7-kbk-1x15-3k,所以当k=4时,可得x3的系数为‎20a3b3,即‎20a3b3=20,得ab=1.故a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b=1时等号成立,此时a2+b2取得最小值2.‎ ‎13.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记xmyn项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=________.‎ 答案 120‎ 解析 ∵(1+x)6展开式的通项公式为Tr+1=Cxr,(1+y)4展开式的通项公式为Th+1=Cyh,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为CCxryh.‎ ‎∴f(m,n)=CC.‎ ‎∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C+CC+CC+C=20+60+36+4=120.‎ ‎14.(2017·江西赣州十四县联考)若n的展开式中前三项的系数分别为A,B,C,且满足‎4A=9(C-B),则展开式中x2的系数为________.‎ 答案  解析 易得A=1,B=,C==,所以有4=9,即n2-7n-8=0,解得n=8或n=-1(舍).在8中,因为通项Tr+1=Cx8-r·r=x8-2r,令8-2r=2,得r=3,所以展开式中x2的系数为.‎ 三、解答题 ‎15.(2018·三亚模拟)已知fn(x)=(1+x)n.‎ ‎(1)若f2019(x)=a0+a1x+…+a2019x2019,求a1+a3+…+a2017+a2019‎ 的值;‎ ‎(2)若g(x)=f6(x)+‎2f7(x)+‎3f8(x),求g(x)中含x6项的系数.‎ 解 (1)因为fn(x)=(1+x)n,‎ 所以f2019(x)=(1+x)2019,‎ 又f2019(x)=a0+a1x+…+a2019x2019,‎ 所以f2019(1)=a0+a1+…+a2019=22019,①‎ f2019(-1)=a0-a1+…+a2017-a2019=0,②‎ ‎①-②得2(a1+a3+…+a2017+a2019)=22019,‎ 所以a1+a3+…+a2017+a2019=22018.‎ ‎(2)因为g(x)=f6(x)+‎2f7(x)+‎3f8(x),‎ 所以g(x)=(1+x)6+2(1+x)7+3(1+x)8.‎ g(x)中含x6项的系数为C+‎2C+‎3C=99.‎ ‎16.已知n,‎ ‎(1)若展开式中第5项,第6项与第7项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数;‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79,求展开式中系数最大的项.‎ 解 (1)因为C+C=‎2C,所以n2-21n+98=0,得n=7或n=14.‎ 当n=7时,展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.‎ ‎∴T4的系数为C423=,‎ T5的系数为C324=70.‎ 当n=14时,展开式中二项式系数最大的项是T8,‎ ‎∴T8的系数为C727=3432.‎ ‎(2)∵C+C+C=79,∴n2+n-156=0,‎ ‎∴n=12或n=-13(舍去).‎ 设Tk+1项的系数最大,‎ ‎∵12=12(1+4x)12,‎ ‎∴ 解得≤k≤.‎ ‎∵k∈N,∴k=10,∴展开式中系数最大的项为T11,‎ T11=C·2·210·x10=16896x10.‎

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