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- 2021-06-16 发布
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第2课时 直线与椭圆
题型一 直线与椭圆的位置关系
1．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>0
C．00且m≠5，∴m≥1且m≠5.
2．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－33时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．
思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法
(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．
(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．
题型二 弦长及弦中点问题
命题点1 弦长问题
典例斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2B.C.D.
答案 C
解析 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0，
则x1＋x2＝－t，x1x2＝.
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝·，
当t＝0时，|AB|max＝.
命题点2 弦中点问题
典例已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 D
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以运用点差法，
所以直线AB的斜率为k＝，
设直线方程为y＝(x－3)，
联立直线与椭圆的方程得
(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，
所以x1＋x2＝＝2，
又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.
命题点3 椭圆与向量等知识的综合
典例 (2017·沈阳质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，e＝，其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A，B，线段AB的中点横坐标为，且＝λ(其中λ>1)．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求实数λ的值．
解 (1)由椭圆的焦距为2，知c＝1，又e＝，∴a＝2，
故b2＝a2－c2＝3，
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)由＝λ，可知A，B，F三点共线，设点A(x1，y1)，点B(x2，y2)．
若直线AB⊥x轴，则x1＝x2＝1，不符合题意；
当AB所在直线l的斜率k存在时，
设l的方程为y＝k(x－1)．
由消去y得
(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0.①
①的判别式Δ＝64k4－4(4k2＋3)(4k2－12)
＝144(k2＋1)>0.
∵
∴x1＋x2＝＝2×＝，∴k2＝.
将k2＝代入方程①，得4x2－2x－11＝0，
解得x＝.
又＝(1－x1，－y1)，＝(x2－1，y2)，＝λ，
即1－x1＝λ(x2－1)，λ＝，又λ>1，
∴λ＝.
思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单．
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝(k为直线斜率)．
(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
跟踪训练 (2018·长春调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．
(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．
解 (1)由已知得b＝4，且＝，
即＝，∴＝，
解得a2＝20，∴椭圆方程为＋＝1.
将4x2＋5y2＝80与y＝x－4联立，
消去y得9x2－40x＝0，∴x1＝0，x2＝，
∴所求弦长|MN|＝|x2－x1|＝.
(2) 椭圆右焦点F的坐标为(2,0)，
设线段MN的中点为
Q(x0，y0)，
由三角形重心的性质知
＝2，
又B(0,4)，∴(2，－4)＝2(x0－2，y0)，
即故得x0＝3，y0＝－2，
即Q的坐标为(3，－2)．
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，
且＋＝1，＋＝1，
以上两式相减得＋＝0，
∴kMN＝＝－·
＝－×＝，
故直线MN的方程为y＋2＝(x－3)，
即6x－5y－28＝0.
高考中求椭圆的离心率问题
考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
典例1已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则M到直线l的距离d＝≥，
∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝＝∈，
故选A.
答案 A
典例2(12分)(2016·浙江)如图，设椭圆方程为＋y2＝1(a＞1)．
(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；
(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．
规范解答
解 (1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，
由
得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，[2分]
故x1＝0，x2＝－，
因此|AM|＝|x1－x2|＝·.[4分]
(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.
记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，
且k1>0，k2＞0，k1≠k2.[5分]
由(1)知|AP|＝，
|AQ|＝，
故＝，
所以(k－k)[1＋k＋k＋a2(2－a2)kk]＝0.[7分]
由k1≠k2，k1>0，k2＞0得1＋k＋k＋a2(2－a2)kk＝0，
因此＝1＋a2(a2－2)，①
因为①式关于k1，k2的方程有解的充要条件是1＋a2(a2－2)＞1，所以a＞.
因此，任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a≤，[10分]
由e＝＝＝，得02，即<2，
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，故所求交点个数是2.
2．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.
联立解得交点坐标为(0，－2)，，
不妨设A点的纵坐标yA＝－2，B点的纵坐标yB＝，
∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|
＝×1×＝，
故选B.
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M
(－4,1)，则椭圆的离心率是( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，
由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4，1)，解得＝，e＝＝，
故选C.
4．已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案 C
解析 设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|＝3，所以＝，b2＝a2－c2，所以a2＝4，b2＝a2－c2＝4－1＝3，椭圆的方程为＋＝1.
5．从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，
kOP＝－，kAB＝－，由于OP∥AB，
∴－＝－，y0＝，
把P代入椭圆方程得＋＝1，
∴2＝，∴e＝＝.故选C.
6．已知椭圆E的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则椭圆E的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由题意可知，∠F1PF2是直角，且tan∠PF1F2＝2，
∴＝2，
又|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
根据勾股定理得2＋2＝(2c)2，
所以离心率e＝＝.
7．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是( )
A．4B．3C．2D．1
答案 D
解析 ∵(＋)·＝(＋)·
＝·＝0，
∴PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12,2mn＝4，mn＝2，
∴＝mn＝1.
8．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于____________．
答案 －1
解析 直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，
所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，
所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，
所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.
9．P为椭圆＋＝1上的任意一点，AB为圆C：(x－1)2＋y2＝1的任一条直径，则·的取值范围是______．
答案 [3,15]
解析 圆心C(1,0)为椭圆的右焦点，
·＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(－)
＝2－2＝||2－1，
显然||∈[a－c，a＋c]＝[2,4]，
所以·＝||2－1∈[3,15]．
10．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与椭圆交于A，B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则椭圆C的离心率为________．
答案
11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
解 (1)由题意，得
解得
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
Δ＝96－8m2>0，∴－2c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1上，∴＋＝1>＋＝e2＋，即e4－3e2＋1>0，e2<＝2，∴0b>0)短轴的端点为P(0，b)，Q(0，－b)，长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA，PB的斜率之积等于－，则点P到直线QM的距离为___________________________________．
答案 b
解析 设A(x0，y0)，则B点坐标为(－x0，－y0)，
则·＝－，即＝－，
由于＋＝1，则＝－，
故－＝－，则＝，不妨取M(a,0)，则直线QM的方程为bx－ay－ab＝0，则点P到直线QM的距离为
d＝＝＝b.
15．(2017·广东广州一模)已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C
上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
由题易知|x0|x＋y有解，即c2>(x＋y)min，又y＝b2－x，b2＋c2＝a2，xb2，所以e2＝>，又0b>0)上的动点M作圆x2＋y2＝的两条切线，切点分别为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，则△EOF面积的最小值是________．
答案
解析 设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则直线MP和MQ的方程分别为x1x＋y1y＝，x2x＋y2y＝.因为点M在MP和MQ上，所以有x1x0＋y1y0＝，x2x0＋y2y0＝，则P，Q两点的坐标满足方程x0x＋y0y＝，所以直线PQ的方程为x0x＋y0y＝，可得E和F，
所以S△EOF＝·|OE||OF|＝，
因为b2y＋a2x＝a2b2，b2y＋a2x≥2ab|x0y0|，
所以|x0y0|≤，所以S△EOF＝≥，
当且仅当b2y＝a2x＝时取“＝”，
故△EOF面积的最小值为.
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