【数学】2020届一轮复习人教A版集合学案 3页

专题一：集合与逻辑 一、集合的基本概念及表示方法 1、 集合的概念： 2、 一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合，简 称集.通常用大写英文字母 A、B、C、····表示。集合中的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小 写字母 a、b、c、 3、 集合中元素的三个特征 （1） 确定性；设 A 使一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则 a 是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种 情况必有一种且只有一种成立. （2） 互异性； 集合中的元素必须是互异的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.即集合 中的元素不重复，两个或两个以上的相同的元素都认为是一个元素，在用列举法表示时也只能写一个. 例如方程 x2+2x+1=0 的解组成的集合 A，必须写成 A={-1}. （3）、无序性； 集合中的元素不考虑顺序，对于元素相同而排列顺序不同的集合认为是相同的集合.例如集合{1，2， 3，4}与集合{4，3，2，1}是相同的集合. 4、 集合的分类 集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素 的集合叫做无限集. 5、 集合的表示方法 （1） 列举法 把集合中的元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法. 使用列举法时应注意一下几点： ①元素间用分隔号“，”；②元素不重复；③元素无顺序；④对于含较多元素的集合如果构成该集合的元 素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后才能用省略号.如：由方程 x2-1=0 的所有解组 成的集合可以表示为{-1，1}. （2）描述法 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在花括号内表示集合的方法，即{x∈A│ p(x)}. 对于描述法，不能只把注意力放在竖号“│”右边“p”适合的条件，还要对竖号“│”左边的形式引起 足够的重视. 如：所有的直角三角形的集合可以表示为{x│x 是直角三角形}. （3）图示法 为了形象的表示集合，我们常常画一条封闭的曲线， 1，3，5，8 用它的内部来表示 一个集合. 如图所示，表示集合{1，3，5，8}. 5、空集 不含任何元素的集合叫做空集，记作φ. 注意：（1）空集中没有任何元素，要区分φ和{0}，集合{0}中有 1 个元素 0，而φ中没有任何元素，两者有 着本质的不同. （2）空集在实际问题中是实实在在存在的，如在实数范围内方程 x2+1=0 的解集和不等式 x2+1<0 的解集 都是空集. 6、常用数集的符号 为了书写方便对于常用数集用特定的字母表示： （1） 全体非负整数组成的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作 N； （2） 非负整数集内排除 0 的集合，称为正整数集，表示成 N*（或 N+）； （3） 全体整数组成的集合通常简称为整数集，记作 Z； （4） 全体有理数组成的集合通常简称为有理数集，记作 Q； （5） 全体实数组成的集合通常简称为实数集，记作 R； 二、集合间的关系 1、包含关系 如果任意 x∈A，=＞x ∈B,则集合 A 是集合 B 的子集，记作 A B或 B A.显然，任何集合是他自身 的子集，即 A A，空集是任何集合的子集，即φ A. 2、相等关系 对于两个集合 A、B，如果 A B 同时 B A，那么成集合 A 和集合 B 相等，记作 A=B.显然，两个相 等的集合的元素完全相同. 3、真包含关系 对于两个集合 A 和 B，如果 A B，并且 A≠b,称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B,显然，空集是 任何非空集合的真子集，若 A B，则 B 中至少存在一个元素不属于 A. 三、集合与集合间的运算 1、交集； 一般的对于两个给定的集合 A、B，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素构成的集合，叫做 A 和 B 的交集，记作 A∩B. 2、并集； 一般的对于两个给定的集合 A、B，由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，叫做 A 与 B 的并集，记作 A∪B. 3、全集与补集； 含有所要研究的各集合的全部元素的集合称为全集，一般可记作 U，全集是相对的.若 A 是全集 U 的子集，则由全集中不属于 A 的元素组成的集合称为 A 的补集，记作 CUA. 专题二：命题 一、四种命题及其关系 1、 命题的定义 可以判断真假的语句叫做命题。如：12>5，3 是 12 的约数都是命题. 说明：（1）并不是任何语句都是命题.一般来说，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.（2）一个命题一 般可以用小写英文字母表示，如 p、q、r、····. 2、四种命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个 命题的条件，这两个命题叫互逆命题。其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题。 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题， 其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否 命题，其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题. 3、表示形式 若 p 为原命题条件，q 为原命题结论 则：原命题：若 p 则 q 逆命题：若 p 则 q 否命题：若 ¬p 则 ¬q 逆否命题：若 ¬q 则 ¬p 4、四种命题的关系 （1）关系图： 原命题　　　　　　　互逆　　　　　 逆命题 若ｐ则ｑ　　　　　　　　　　　　　 若ｑ则ｐ 　　　　　　　互　　　　　　　互 　　互　　　　　　　　为　　　为　　　　　　　　互 　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否 　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　否　　　　　　 否 否命题　　　　　　　　　　　　　 逆否命题　　　 若非ｐ则非ｑ　　　　互逆　　　　 若非ｑ则非ｐ （2）真假值具有的关系： ①原命题为真，它的逆命题不一定为真；②原命题为真，它的否命题不一定为真； ⊆ ⊇ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ③原命题为真，它的逆否命题一定为真；④逆命题为真，否命题一定为真. 二、充分条件、必要条件、充要条件 定义 若 p⇒q，则 p 是 q 的充分条件 若 q⇒p，则 p 是 q 的必要条件 若 p⇒q 且 q≠>p 则 p 是 q 的充分不必要条件 若 q⇒p 且 p≠>q 则 p 是 q 的必要不充分条件 若 q⇔p，则 p 是 q 的充分必要条件 若 p≠>q 且 q≠>p 则 p 是 q 的非充分非必要条件 三、逻辑联结词：“或”“且”“非” 1.或：两个简单命题至少有一个成立. 2.且：两个简单命题都成立.3.非：对一个命题的否定. 四、简单命题与复合命题 1、 定义： 不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题。 2、 表达形式； 简单命题常用小写英文字母 p、q、r 等表示； 复合命题有三类：①p 或 q；②p 且 q；③非 p. 3、真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 五、量词 （1）全称量词 短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. （2）全称命题 含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题就是形如“对 M 中所有 x，p(x)”的命题，用符号简 记为∀x∈M，p(x). （3）存在量词 短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存 在量词，并用符号“∃”表示. （4）特称命题 含有存在量词的命题叫做特称命题，用符号简记为∃x∈M,p(x).