新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：1-4-2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课件（52张） 52页

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的 基本性质　 必备知识·自主学习 1.正弦函数、余弦函数的基本性质 根据正弦函数v=sin α和余弦函数u=cos α的定义,我们不难从单位圆看出它 们具有以下性质: (1)定义域是R; (2)最大值是1,最小值是-1,值域是[-1,1]; (3)它们是周期函数,其周期是2kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期为2π; (4)正弦函数v=sin α在区间 (k∈Z)上是增加的,在区间 (k∈Z)上是减少的. 余弦函数u=cos α在区间[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上是增加的,在区间 [2kπ,2kπ+π](k∈Z)上是减少的. [2k ,2k ]2 2      3[2k ,2k ]2 2      【思考】　 当α取何值时,正弦函数v=sin α取到最值? 提示:当α=2kπ+ ,k∈Z时,正弦函数v=sin α取得最大值1; 当α=2kπ- ,k∈Z时,正弦函数v=sin α取得最小值-1. 2  2  2.正弦函数、余弦函数在各象限的符号 [注意]　按正值简记为:正弦一、二象限全为正;余弦偏在一、四中. 　 象 限 三角函数　　 第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限 sin α + + - - cos α + - - + 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)正弦函数v=sin α与余弦函数u=cos α的定义域都是R. (　　) (2)函数v=sin α在[0,π]上是单调减函数. (　　) (3)函数u=cos α在[0,π]上的值域是[0,1]. (　　) (4)函数v=sin α的最大值为1,最小值为-1. (　　) 提示:(1)√ (2)×.v=sin α在 上是增函数,在 上是减函数. (3)×.函数u=cos α在[0,π]上的值域是[-1,1]. (4)√ [0, ]2  [ , ]2   2.函数y=πsin x的最大值与最小值的差为 (　　) A.π　 B.-π C.2π　 D.-2π 【解析】选C.y=πsin x的最大值为π,最小值为-π,所以差为2π. 3.(教材二次开发:练习改编)余弦函数u=cos α,α∈ 的单调增区间 为______,单调减区间为________.  【解析】在单位圆中,当x由-π到 时,u=cos α由-1增大到1,再由1减小 到 .所以它的单调增区间为[-π,0],单调减区间为 答案: [-π,0] 　 [ , ]6  6  3 2 (0, ].6  (0, ]6  关键能力·合作学习 类型　正弦函数、余弦函数性质的应用(逻辑推理) 角度1　正弦函数、余弦函数的定义域问题  【典例】求下列函数的定义域: (1)y=4-cos x;(2)y= 【思路导引】通过单位圆观察角的终边与单位圆交点坐标的变化,解出关于正、 余弦函数的不等式. 2sin x 1. 【解析】(1)由y=4-cos x知定义域为R. (2)由题意知2sin x+1≥0,即sin x≥- 在一周期 内满足上述条件 的角为x∈ ,由此可以得到函数的定义域为 (k∈Z). 1 2 3[ ]2 2   ， 7[ ]6 6   ， 7[2k 2k ]6 6    ， ＋ 【变式探究】　 (1)函数y= 的定义域为______.  (2)函数y=ln sin x的定义域为______.  【解析】(1)由2+cos x≠0知cos x≠-2, 又由cos x∈[-1,1],故定义域为R. 答案:R 1 2 cos x＋ (2)由题意知sin x>0.又y=sin x在[0,2π]内sin x>0满足0sin B.sin 10时,-b≤bsin x≤b. 所以a-b≤a-bsin x≤a+b,所以 解得 所以所求函数为y=-2sin x. 当b<0时b≤bsin x≤-b所以a+b≤a-bsin x≤a-b. 所以 解得 所以所求函数为y=-2sin(-x)=2sin x. 所以y=±2sin x的最大值是2,最小值是-2,周期是2π. 3a b 2 1a b 2      ＋ ＝ ， ＝ ， 1a 2 b 1   ＝ ， ＝ ， 3a b 2 1a b 2     ＝ ， ＋ ＝ ， 1a 2 b 1    ＝ ， ＝ ， 【能力进阶一水平二】　(20分钟　40分) 一、单选题(每小题5分,共15分) 1.y=2sin 2x在x∈[ ]上的最大值与最小值的和为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选B.因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x≤ π,当2x=- 时, ymin=2sin (- )=-1,当2x= 时,ymax=2sin =2,所以和为1. 12 3   ， 12  3  6  2 3 6  6  2  2  2.若sin x=2m+3,且x∈ ,则m的取值范围为(　　)[ ]6 6   ， 1 1 5 1A.[ ] B.[ ]2 2 4 2 7 5 7 1C.[ ] D.[ ]4 4 4 2         ， ， ， ， 【解析】选C.因为x∈ ,所以结合单位圆知sin x∈ , 即- ≤2m+3≤ .所以- ≤m≤- . [ ]6 6   ， 1 1[ ]2 2  ， 1 2 1 2 7 4 5 4 3.函数y= 的定义域为 (　　) A.R　 B.[0,π] C.[-4,-π] D.[-4,-π]∪[0,π] 【解题指南】先求出每一段的x的取值范围,然后求它们的交集. 216 x sin x ＋ 【解析】选D.要使函数式有意义, 需 由①得-4≤x≤4,由②得2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z), 故函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π]. 216 x 0 sin x 0      ①， ②， 【补偿训练】 　　　在[0,2π]上,满足sin x≥ 的x的取值范围是 (　　)1 2 5A.[0 ] B.[ ]6 6 6 2 5C.[ ] D.[ ]6 3 6        ， ， ， ， 【解析】选B.如图易知选B. 二、多选题(共5分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分) 4.函数y= 的函数值可以取的值是 (　　) A.- B.-1 C.1 D.2 【解析】选BCD.令sin α=t,则t∈[-1,0)∪(0,1],所以y= 的值域为 (-∞,-1]∪[1,+∞). 1 sin 1 2 1 t 【光速解题】令y= 等于- ,-1,1,2,然后分别求解α.1 sin 1 2 【补偿训练】 　　　已知函数f(x)= 则下列结论不正确的是 (　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞) 2x 1 x 0 cos x x 0     ＋ ， ， ， ， 【解析】选ABC,因为f(π)=π2+1,f(-π)=-1,所以f(-π)≠f(π), 所以函数f(x)不是偶函数,A不正确; 函数f(x)在(-2π,-π)上单调递减,B不正确; 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)不是周期函数,C不正确; 因为x>0时,f(x)>1,x≤0时,-1≤f(x)≤1, 所以函数f(x)的值域为[-1,+∞),D正确. 三、填空题(每小题5分,共10分) 5.函数f(x)=sin x在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-1,f(b)=1, 则cos =______.  【解析】由条件知,a=- +2kπ,b= +2kπ, 所以cos =cos 2kπ=1. 答案:1 a b 2 ＋ a b 2 ＋ 2  2  6.函数y=cos 2x-4cos x+5的值域为________.  【解析】令t=cos x,由于x∈R,故-1≤t≤1. y=t2-4t+5=(t-2)2+1, 当t=-1时,即cos x=-1时函数有最大值10; 当t=1,即cos x=1时函数有最小值2. 所以该函数的值域是[2,10]. 答案:[2,10] 【误区警示】本题容易忽视求解t的取值范围,而导致求解值域出错. 四、解答题 7.(10分)已知函数y=acos x+b的最大值是0,最小值是-4,求a,b的值. 【解析】当a>0时, 解得 当a<0时, 解得 所以a=2,b=-2或a=b=-2. a b 0 a b 4    ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， a 2 b 2    ＝ ， ＝ ， a b 0 a b 4    ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， a 2 b 2.    ＝ ， ＝ 【补偿训练】 　　　已知函数f(x)= (1)判定函数f(x)是否为周期函数; (2)求函数f(x)的单调递增区间; (3)当x∈ 时,求f(x)的值域. 1 .2 sin x 5( ]6 6   ， 【解析】(1)由于-1≤sin x≤1,所以f(x)的定义域是R. 又f(x+2π)= =f(x), 故f(x)是周期函数. (2)由正弦函数的基本性质,可知在区间 (k∈Z)上,函数y=sin x 是增函数,而此时函数h(x)=2-sin x是减函数,从而可知此时函数f(x)是增函 数,故可知函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z). (3)设t=sin x ,则t∈ 所以1≤2-t< ,则 ≤1.故f(x)的值域为 1 1 2 sin(2 x) 2 sin x  ＝＋ [2k 2k ]2 2    ， ＋ [2k 2k ]2 2    ， ＋ 5(x ( ])6 6    ， 1( 1]2  ，， 5 2 2 1 5 2 t＜ 2( 1].5，