【数学】四川省宜宾市第四中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试（理） 11页

四川省宜宾市第四中学2019-2020学年 高二下学期期末模拟考试（理）‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知集合，，则 A．， B．， C．， D．，‎ ‎2．复数（为虚数单位）的虚部是 A． B． C． D．‎ ‎3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是 A．10 B．11 C．12 D．16‎ ‎4．对于向量,, “”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．函数是 A．奇函数且在上是减函数 B．奇函数且在上是增函数 C．偶函数且在上是减函数 D．偶函数且在上是增函数 ‎6．以下三个命题：‎ ‎①“”是“”的充分不必要条件；②若为假命题，则，均为假命题；‎ ‎③对于命题：，使得；则是：，均有.‎ 其中正确的个数是 ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内的取值范围是 ‎ A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是 ‎ A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎9．六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁 相邻，则一共有多种排法 ‎ A．72 B．144 C．180 D．288‎ ‎10．已知直线与圆相交所得弦长为4，则 ‎ A．-9 B．1 C．1或-2 D．1或-9‎ ‎11．直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,则此球的表面积等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若对，，且，都有，则m的最小值是注：为自然对数的底数，即 A． B．e C．1 D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．展开式中，常数项的值为__________.‎ ‎14．函数在处有极值，则的值是__________．‎ ‎15．若对于任意的关于的不等式恒成立，则的最小值为___________________‎ ‎16．如图所示,在正方体中,,分别为棱,的中点,有以下四个结论:‎ ‎①直线与是相交直线；②直线与是平行直线；‎ ‎③直线与是异面直线； ④直线与所成的角为.‎ 其中正确的结论为___________ (注:把你认为正确的结论序号填在横线上).‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（12分）对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调查，统计数据如下表所示：‎ 对数学感兴趣 对数学不感兴趣 合计 数学成绩好 ‎17‎ ‎8‎ ‎25‎ 数学成绩一般 ‎5‎ ‎20‎ ‎25‎ 合计 ‎22‎ ‎28‎ ‎50‎ ‎（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由．‎ ‎（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数为，求的分布列和数学期望．‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎．‎ ‎18．（12分）已知函数,在点处的切线方程为.‎ ‎(1)求函数的解析式;‎ ‎(2)若方程有三个根,求的取值范围．‎ ‎19．（12分）如图，在正方体中，点为棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎20．（12分）已知抛物线上任一点到焦点的距离比到轴距离大1.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设为抛物线上两点，且不与轴垂直，若线段的垂直平分线恰过点，求的面积的最大值.‎ ‎21．（12分）设,函数.‎ ‎(1) 若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(2)求函数单调区间 ‎(3) 若有两个零点,求证: .‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系中，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴非负半轴为极轴，圆C的方程为.‎ ‎（1）求圆C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点，设圆C与直线l交于点A，B，求的最小值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 设函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若的最小值为，且，求的最小值．‎ 参考答案 ‎1．C 2．D 3．D 4．B 5．B 6．B 7．A 8．C 9．A 10．D ‎ ‎11．B 12．C ‎13． 14．2 15． 16．③④.‎ ‎17．（1）．‎ 因为，所以有99.9%的把握认为有关系．‎ ‎（2）由题意知，的取值为0，1，2，3，4．‎ 因为，‎ ‎．‎ 所以，分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以，‎ ‎．‎ ‎18．解：（1）函数的导数为，‎ 根据在点处的切线方程为，‎ 得，，即，，解得，，则；‎ ‎（2）令，解得或1，令，得或；‎ 令，得；‎ 的单调增区间是，，单调减区间是，‎ 有两个极值为，，图象如图所示：‎ 方程有三个根，即为和有三个交点，．‎ ‎19．（1）在正方体中，∴四边形为平行四边形 ∴‎ ‎∵平面，平面∴平面.‎ ‎（2）以点为坐标原点，方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 设，则，，，，，，，.‎ 设平面的法向量为，由，‎ 则，取，，，则 设平面的法向量为，由，‎ 则，取，，，则 可得，，，‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值为 ‎20．（1）由已知易得抛物线为，曲线的方程为；‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 联立抛物线，消去元得，‎ ‎，‎ ‎，即得，‎ ‎，‎ 点到直线的距离，‎ 则，‎ 面，令，‎ 设，则，‎ 当时，，面积最大值为8.‎ ‎21在区间上,. ‎ ‎（1）当时，则切线方程为，即 ‎（2）若,则,是区间上的增函数, ‎ 若,令得: .‎ 在区间上, ,函数是增函数; ‎ 在区间上, ,函数是减函数; ‎ ‎ (3)设 ‎ ‎,，原不等式 ‎ 令,则,于是.（9分）‎ 设函数 ,求导得: ‎ 故函数是上的增函数, ‎ 即不等式成立,故所证不等式成立.‎ ‎22．（1）由得，化为直角坐标方程为，即.‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得，‎ 由，设是上述方程的两根，，‎ 又直线过点，结合的几何意义得 ‎ ，‎ 的最小值.‎ ‎23．（1）当时，由，解得；‎ 当时，由，解得；当时，由，解得．‎ 所以所求不等式的解集为或．‎ ‎（2）根据函数图像知：当时，，所以．‎ 因为 ‎，‎ 由，可知，‎ 所以，‎ 当且仅当，，时，等号成立．‎ 所以的最小值为．‎