河南省郑州外国语学校2020-2021学年上学期高三调研4试卷理科数学 9页

试卷第 1页，总 4页 郑州外国语学校 2020-2021 学年上期高三调研 4 试卷 理科数学 （120 分钟 150 分） 一、选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分） 1．已知集合  2 1,xA y y x R    ， 1 0 2 xB x x       ，则  RA C B  ( ) A．[2，+） B．[1，2] C．（1，2] D．（﹣，1] 2．已知 (1 2 )z i i  ，则下列说法正确的是（ ） A．复数 z的虚部为 5 i B．复数 z对应的点在复平面的第二象限 C．复数 z的共轭复数 2 5 5 iz   D． 1 5 z  3．下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若 ln 1x x  ，则 1x  ”； ②命题“ p且q为真，则 ,p q有且只有一个为真命题”； ③命题“所有幂函数   af x x 的图象经过点  1,1 ”； ④命题“已知 2 2, , 4a b R a b   是 2a b  的充分不必要条件”. A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知定义在 R上的函数  y f x 满足条件  3 2 f x f x       ，且函数 3 4 y f x      为奇函数，下列有 关命题的说法错误．．的是（ ） A．函数  f x 是周期函数； B．函数  f x 为R 上的偶函数； C．  f x 的图象关于点 3 ,0 4      对称函数； D．  f x 为R 上的单调函数． 5．使函数 ( ) sin( ) 3 cos( )f x x x     为偶函数，且在区间 0, 4       上是增函数的的一个值为（ ） A． 5 6   B． 2 3  C． 3   D． 6  6．已知{ }na 是等比数列， 3 1a  ，那么其前 5项和 5S 的取值范围是（ ） A． 1 ， B．  ( 3] 5， ，   C．  ( 3] 1， ，   D． 5 ， 7．已知 0x  ， 0y  ， 2 3x y  ，则 2 3x y xy  的最小值为（ ） A．3 2 2 B． 2 2 1 C． 2 1 D． 2 1 8．已知点O为 ABC 内一点，满足 3OA OB OC     ，若 1 3AOB ABCS S△ △ ，则 （ ）. A． 2 B． 1 2  C． 1 2 D．2 试卷第 2页，总 4页 9．在四面体 ABCD中， 2 3AB AC  ， 6BC  ， AD平面 ABC，四面体 ABCD的体积为 3 .若 四面体 ABCD的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积是（ ）. A． 49π 4 B． 49π C． 49π 2 D． 4π 10．已知圆 2 2: 1,O x y  点  0 0,P x y 在直线 2 0x y   上，O为坐标原点.若圆上存在点Q使得 30OPQ  ，则 0x 的取值范围为（ ） A．  1,1 B． 0,1 C． 0,2 D．  2 2 , 11．已知  'f x 是函数  f x 的导函数，对任意的实数 x都有     2' xf x f x e    ，且 3 0 2 f       ，若函 数  y f x a  有两个零点，则实数 a的取值范围是（ ） A． 2 52 ,e        B． 5 2 2 ,0e       C． 5 22 ,e        D． 5 22 ,0e       12．已知数列{ }na 满足 1 1a  ， 1 1ln 1n n n a a a    ，记      1 2r nS a a a    ， t 表示不超过 t的最 大整数，则 2020S 的值为（ ） A．2019 B．2020 C．4037 D．4039 二、填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分 ） 13．已知 | | 2a  r ， | | 2b   ， a  与b  的夹角为 45，要使 2b a    与 a  垂直，则 __________． 14．已知数列 na 的前 n和为 nS ， 1a 1 ， 2 n n2S a n  ，则 101S 的值为______． 15．已知 x，y满足约束条件 4 0 3 3 0 1 x y x y x          ，若可行域内任意 ( , )x y 使不等式 0x y k   恒成立，则实数 k 的取值范围为__________． 16．已知定义在 R上的函数 ( )f x 满足 ( ) 0f x  且  ( ) 1xf f x e  ，若 ( )f x ax x  恒成立，则 a的 取值范围为_______________． 三、解答题（共 7 小题，满分 70 分，第 17-21 题为必答题，每题 12 分，第 22、23 题为选做题，每题 10 分） 17．已知等差数列{ }na 的前 n项和为 nS ， 1 ( 0)a    ， 1 2 1( )n na S n N      ． （1）求 的值；（2）求数列 1 1 n na a        的前 n项和 nT ． 试卷第 3页，总 4页 18．如图，在 ABC 中， 2AB  ， π 3 B  ，点 D在线段 BC上. （1）若 1cos 3 ADC   ，求 AD的长； （2）若 2BD DC ， sin 7 sinBAD CAD   ，求 ABC 的面积. 19．某校随机调查了 80位学生，以研究学生中爱好羽毛球运动与性别的关系，得到下面的数据表： 爱好 不爱好 合计 男 20 30 50 女 10 20 30 合计 30 50 80 （1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查了本校的 3名学生,设这 3人中爱好羽毛球运动的人数 为 X ，求 X 的分布列和期望值： （2）根据表中数据，能否有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联？若有，有多大把握？ 附：           2 2 n ad bc K a b c d a c b d        2 0p K k 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 20．已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0a b＞ ＞ )的离心率为 6 3 ，以C的短轴为直径的圆与直线 : 3 4 5 0l x y   相 切. （1）求C的方程； （2）直线 y x m  交C于  1 1,M x y ，  2 2,N x y 两点，且 1 2x x .已知 l上存在点 P，使得 PMN 是以 PMN 为顶角的等腰直角三角形，若 P在直线MN的右下方，求m的值. 试卷第 4页，总 4页 21．已知函数   lnf x ax x  ,   1 1xg x e   . (1)讨论函数  y f x 的单调性; (2)若不等式    f x g x a  在  1,x  上恒成立,求实数 a的取值范围. 22．在平面直角坐标系中，曲线 C1的参数方程为 2cos sin x y      (φ为参数)，以原点 O为极点，x轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，曲线 C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线 π 3   与曲线 C2交于点 π2, 3 D       . （1）求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； （2）已知极坐标系中两点 1 0( , )A   ， 2 0 π, 2 B       ，若 A，B都在曲线 C1上，求 2 2 1 2 1 1    的值. 23．已知函数 䁣 洠 䁣 ， (1)当 洠 时，解不等式 䁣 㤰 ； (2)若存在 洠 ，使得不等式 䁣 䁣 洠 的解集非空，求 的取值范围． 答案第 1页，总 5页 2020-2021 学年上高三调研 4 理科数学参考答案 1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．A 7．B 8．A 9．B 10．C 11．D 12．D 8【解析】∵点O为 ABC 内一点，满足 3OA OB OC     ，∴ 0  ， 如图，作 1 3OB OB   ， 1OC OC    ，则 1 1 0OA OB OC       ， ∴O是 1 1ABC△ 的重心，∴ 1 1 1 1 1 1 1 3OAB OB C OAC AB CS S S S      ， 由 1 3OB OB   ， 1OC OC    ，知 1 1 3OAB OABS S  ， 1 1 1 1 1 1 1 3 3OBC OB C OB CS S S          ， 1 1 OAC OACS S     ， ∴ 1 1 1: : : ( ) : ( ) 3 3OAB OBC OCAS S S        ， ∴ 1 13 1 1 1 3 3 3 OAB ABC S S         ，解得 2   ．故选：A． 10．【解析】设过 P的 C 的切线切点为 R，根据圆的切线性质，有 30OPR OPQ   … ． 反过来，如果 30OPR … ，则存在 C 上点Q使得 30OPQ  ． 若圆C上存在点Q，使 30OPQ  ，则 30OPR … | | 1OR  ， | | 2OP  时不成立， | | 2OP „ ． 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0| | ( 2) 2 4 4OP x y x x x x        2 0 02 4 0x x  „ ， 解得， 0 00 2x x„ „ 的取值范围是 [0， 2]故选：C． 11．【解析】设函数     2 3xg x e f x x   ，则      ' ' 2x xg x e f x e f x   ， 因为     2' xf x f x e    ，所以   2' ( ) 2 0x xg x e e      ， 又因为 3 0 2 g       ，所以   0g x  ，即   3 2 x xf x e   .   2 5' x xf x e   ，  f x 在 5, 2      上单调递减，在 5 , 2      上单调递增，   5 2 min 5 2 2 f x f e        .且当 5 2 x  时，   0f x  ，如图所示：所以当 5 22 ,0a e        时，  y f x 与 y a 有 两个交点，所以实数 a的取值范围是 5 22 ,0e       .故选：D 12．【解析】因为 1 1a  ， 1 1ln 1n n n a a a    ，所以 2 1 1 1ln 1 2a a a     ，所以  3 1 3ln 2 1 ln 2 2,3 2 2 a       ，令   1ln 1f x x x    ，  2,3x ， 则   2 2 1 1 1 0xf x x x x      在  2,3x 上显然恒成立，所以函数   1ln 1f x x x    在  2,3x 上单调递增， 因此      2 3f f x f  ，即  3 4ln 2 ln 3 2 3 f x    ， 答案第 2页，总 5页 因为 3ln 2 2 2   ， 4ln3 3 3   ，所以    2,3f x  ，因此当 3n  时，都有  2,3na  ， 所以      22020 1 1 2 2 2 2 1 2019 2 4039na a aS                .故选：D. 13．4 14．55 15．[2, ) 16．[ 1, 1]e  14.【解析】数列 na 的前 n和为 nS ， 1a 1 ， 2 n n2S a n  ， 2 n 1 n 12S a (n 1)    ，两式相减可得 n n 1a a 2n 1   ．      101 1 2 3 4 5 100 101 50 49S a a a a a a a 1 5 50 4 5151 2                ． 16．【解析】  f x ＞0，∴  f x 为增函数，  ( ) 1xf f x e Q ， ∴存在唯一一个常数 0x ，使得 0( ) 1f x  ，∴ 0( ) xf x e x ，即 0( ) xf x e x  ， 令 0x x 可得 0 1xe x  ，∴ 0 0x  ，故而 ( ) xf x e ， ∵ ( )f x ax x  恒成立，即 ( 1)xe a x  恒成立．∴y=ex的函数图象在直线 ( 1)y a x  上方，不妨设直 线 ( 1)y k x  与 xy e 的图象相切，切点为（x0，y0）， 则 0 0 0 0 0 ( 1) 1 x x y k x y e e k        ，解得 0 1x  , 1k e  ．如图， ∴当0 1a e   ,即 1 1a e    时，y=ex的函数图象在直线 ( 1)y a x  上方，即 ( )f x ax x  恒成立，故答案为：[ 1, 1]e  17．解：（1）因为 1 1n n na S S   ，代入 1 2 1n na S   ，可得： 1 2 1n n nS S S    ， 整理可得 2 1=( +1)n nS S ，因为 0nS  ，所以 1 1n nS S   所以数列 nS 是首项为  ，公差为 1的等差数列， ……… ………3分 所以    2= 1 1, 1n nS n n S n          ， ……… ………4分 当 2n  时， 1 2 2 3n n na S S n      ，当 1n  时， 1a  ， 因为 1 2n na a   ，所以，若数列 na 为等差数列，则有 2 1 2 1 2a a       ， 解得 1  ． ……… ………7分 （2） 由（1）可得 2 1na n  ，所以   1 1 1 1 1 1= 2 1 2 1 2 2 1 2 1n na a n n n n         …8分 所以 1 2 2 3 1 1 1 1 n n n T a a a a a a       ， 答案第 3页，总 5页 即 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n nT n n n n                                       ． ………12分 18．解：（1）由 1cos 3 ADC   ，得 1cos cos 3 ADB ADC     ，∴ 2 2sin 3 ADB  ， 由正弦定理得 sin sin AD AB B ADB   ， 2 3 2 2 2 3 AD  ，解得 3 6 4 AD  ；………4分 （2）在 BDAV 中，由正弦定理， sin sin BD BA BAD BDA    ①， 在 CDA 中，由正弦定理， sin sin DC AC CAD CDA    ②， 又 sin sinBDA CDA   ， 2BD DC ， sin 7 sinBAD CAD   ，由 ① ② 得， 7AC  ，…8分 由余弦定理可得， 2 2 2 2 cosAC BA BC BA BC B     ，即 27 4 2BC BC   ，解得 3BC  或 1（舍负），……… 10分∴ 1 3 3sin 2 2ABCS BA BC B   △ .………12分 19．解：（1） X 的可能取值为0 1 2 3，，，，随机变量服从二项分布， 任一学生爱好羽毛球运动的概率为 3 8 ，故 3~ 3, 8 X B       ………2分   3 0 3 5 1250 8 512 P X C        ，   2 1 3 3 5 2251 8 8 512 P X C        ，   2 2 3 3 5 1352 8 8 512 P X C        ，   3 3 3 3 273 8 512 P X C        ，………6分 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 125 512 225 512 135 512 27 512 ………7分 3 9( ) 3 8 8 E X    （人） ………8分 （2）  22 80 20 20 10 30 80 0.3556 0.455 30 50 30 50 225 K           ，………11分 故没有充分证据判定爱好羽毛球运动与性别有关联. .………12分 20．解：（1）依题意， 2 23 0 0 5 1 4 b      ，因为离心率 2 2 6 3 c a be a a     ， 所以 2 1 6 3 a a   ，解得 3a  ，所以C的标准方程为 2 2 1 3 x y  . .………3分 （2）因为直线 y x m  的倾斜角为45，且 PMN 是以 PMN 为顶角的等腰直角三角形， P在直线MN的右下方，所以 NP x∥ 轴， 答案第 4页，总 5页 过M 作 NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段 NP的中点， 所以  1 2,Q x y ，故  1 2 22 ,P x x y ， 所以  1 2 23 2 4 5 0x x y    ，即    1 2 23 2 4 5 0x x x m     ， 整理得 1 26 4 5 0x x m    .①, .………6分 由 2 23 3,x y y x m       得 2 24 6 3 3 0x mx m    .所以 2 236 48 48 0m m     ，解得 2 2m   ，所以 1 2 3 2 x x m   ，②  2 1 2 3 1 4 x x m  ，③ .………9分 由① ②得， 1 1 2 mx   ，④ 将④代入②得 2 1x m   ，⑤ 将④⑤代入③得     31 1 1 1 2 4 m m m m         ，解得 1m   .综上，m的值为 1 . .………12分 21．解:（1）函数  f x 定义域是  0,  ，   1 1axf x a x x     ， 当 0a  时，   0f x  ，函数  f x 在  0,  递增，无减区间； 当 0a  时，令   0f x  ，得到 1 0ax   ，即 1x a   ， 所以 10,x a       ，   0f x  ，  f x 递增， 1 ,x a        ，   0f x  ，  f x 递减， 综上所述， 0a  时，函数  f x 在  0,  单调递增，无减区间； 0a  时，函数  f x 在 10, a      单调递增，在 1 , a       单调递减. .………4分 （2）由已知 1 ln 1 0xe x ax a      在 1x  恒成立， 令   1 ln 1xe x axF x a     ， 1x  ，可得  1 0F  ， 则   1 1xF x e a x     ，   1 2 1 0xF x e x     所以  F x 在 1, 递增，所以    1F x F a    ， .………7分 ①当 0a  时，   0F x  ，  F x 在 1, 递增，所以    1 0F x F  成立， 符合题意. .………9分 ②当 0a  时，  1 0F a    ，当  ln 1 1x a   时，   1 11 1 0F x a a x x         ， ∴  0 1,x   ，使   0F x  ，即  01,x x  时   0F x  ，  F x 在  01, x 递减，    1 0F x F  ，不符合题意. .………11分 综上得 0a  . .………12分 答案第 5页，总 5页 22．（1）因为 C1的参数方程为 2cos sin x y      (φ为参数)，所以 C1的普通方程为 2 2 1 4 x y  . 曲线 C2的极坐标方程为 2 cosa  (a为半径)，将 D π2, 3       代入，得 12 2 2 a  ，解得 2a  ，所以圆 C2的极坐标方程为 4cos  ，所以 C2的直角坐标方程为 2 2( 2) 4x y   . .………5分 （2）曲线 C1的极坐标方程为 2 2 2 2cos sin 1 4      ，即 2 2 2 4 4sin cos      ， 所以 2 1 2 2 0 0 4 4sin cos      ， 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 4 4 π π sin 4cos4sin cos 2 2                    ， 所以 2 2 2 2 0 0 0 2 2 0 2 1 4sin cos sin 4cos 5 4 1 4 1 4             . .………10分 23．（1）当 洠 时，函数 䁣 䁣 ， 解不等式 䁣 㤰 化为 䁣 䁣 䁣 㤰 ，即 䁣 㤰 ， 㤰 䁣 㤰 ，解得 㤰 㤰 ， 不等式的解集为 㤰 㤰 ； .………4分 （2）由 䁣 䁣 洠 ，得 䁣 洠 䁣 洠 䁣 ， 设 䁣 洠 䁣 洠 䁣 ， 则不等式 䁣 䁣 洠 的解集非空，等价于 䁠max； 由 䁣 洠 䁣 洠 䁣 洠 洠 䁣 ， 洠 洠 䁣 ； 由题意知存在 洠 ， ，使得上式成立； 而函数 洠 洠 洠 䁣 在 洠 ， 上的最大值为 ， ，即 b的取值范围是 ， .………10分