【数学】甘肃省天水市一中2021届高三上学期第三学段考试（文）试题 8页

甘肃省天水市一中 2021 届高三上学期 第三学段考试（文）试题 【参考答案】 1．B 2．C 3．B 4．C 5．A 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A 11．B 12．D 13．3 14．126 15.-1 16．①②④ 17．解：（1）因为   23 1sin sin2 2 2 xf x x   ， 所以   23 1sin 2sin 12 2 2 xf x x       = 3 1sin cos sin2 2 6x x x       , 令 sin 16x      ，解得：  26 2x k k z      ，即  23x k k z    ， 所以函数  f x 的单调递增区间为：  2 2 , 23 3k k k z         ． （2）函数  y f x 的图象向右平移 2  个单位，横坐标缩短为原来的 1 2 倍后得到： sin 2 3y x      ，所以   sin 2 3g x x       ， 当 ,4 2x       时， 22 ,3 6 3x         ， 此时   sin 2 3g x x       的最大值为  max sin 12g x   ，最小值为  min 1sin 6 2g x   18．【解】 (1)当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-    21 2 1    n n =2n+1. 当 n=1 时,也符合上式,故 an=2n+1  *n Ν . (2)因为 1 1 n na a =    1 2 1 2 3 n n = 1 1 1 2 2 1 2 3     n n , 故 Tn= 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 5 7 2 1 2 3         n n = 1 1 1 2 3 2 3    n 1 6  19．（1）在侧棱 SD 上存在点 E ，使得 / /SB 平面 ACE ，其中 E 为 SD 的中点， 证明如下：设 BD AC O  ，则O 为 BD 的中点， 又 E 为 SD 的中点，连接 OE ，则 OE 为 SBD 的中位线. ∴ / /OE SB ，又OE  平面 AEC ， SB  平面 AEC ，∴ / /SB 平面 ACE ； （2）当 120BAD   时， 1 1 3sin120 2 2 32 2 2ABDS AB AD         ， ∴几何体 A SBD 的体积为 1 1 2 33 23 3 3A SBD S ABD ABDV V S SA         . 20.解：（1）由sin 2sinA C ，可得 2a c ，又 2 3b c ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 3 4 12cos 32 42 2 c c cb c aA bc c             . （2）因为 1cos 4A   ，所以 15sin 4A  ， 由 ABC 的面积为 3 15 4 得 1 3 15sin2 4bc A  ，解得 6bc  ， 又 3 2b c ，所以 3b  ， 2c  ， 2 4a c  ， 因为 AD 平分角 A ，所以 2 3 AB BD AC CD   ，则可得 2 8 5 5BD a  ， 3 12 5 5CD a  ， 又 1 15sin sin2 8C A  ，则 7cos 8C  , 在 ACD△ 中，由余弦定理得 2 2 2 2 2 12 12 7 542 cos 3 2 35 5 8 25AD AC CD AC CD C                ， 得 3 6 5AD  . 21．【解】(1)证明 PA  平面 ,ABCD AD  平面 ABCD ,所以 PA AD , 又 AB AD PA AB A  ， 所以 AD  平面 PAB , 又 AD  平面 ADE ,所以平面 ADE  平面 PAB . (2)连接 EF , BE ,在 Rt ADC 中,可得 2AC  , 则在 Rt PAC△ 中,可得 2AE  ,在直角梯形中,由已知可求得 2BC  . 2AC AB  , 2AE AF   . ,E F 分别是 ,PC PB 的中点, 1 12EF BC   , 在等腰 AEF 中,可求 7 1,4 2 1AEF ABF PABS S S    C 到平面 PAB 的距离为 3 , E 到平面 PAB 的距离为 3 2 设点 B 到平面 AEF 的距离为 h E AFB B AEFV V  1 3 1 3 2 3ABF AEFS S h     , 2 21 7h  . 22.解：（1） ( )f x 的定义域为 (0, ) 且 1 (2 1)( 1)( ) 2 2 1 ax xf x ax ax x        ， 若 0a  ，则当 (0, )x   时， ' ( ) 0f x  ，故 ( )f x 在 (0, ) 上单调递增； 若 0a  ，则当 '1(0, ), ( ) 02x f xa    ，当 '1( , ), ( ) 02x f xa     ， 故 ( )f x 在 1(0, )2a  上单调递增，在 1( , )2a   上单调递减. （2） 2( ) ( 1) ( ) 1 ( 1)ln 1g x x f x x x x x        ，所以， 1( ) lng x x x    ， 因为 lny x 在 (0, ) 上递增， 1y x  在 (0, ) 递减，所以 ( )g x 在 (0, ) 上递增， 又 1 ln 4 1(1) 1 0, (2) ln 2 02 2g g         ， 故存在唯一 0 (1,2)x  使得 0 0( )g x  ，所以 ( )g x 在 0(0, )x 上递减，在 0( , )x  上递增， 又 2 2 0( ) (1) 2, ( ) 3 0g x g g e e      ，所以 ( ) 0g x  在 0( , )x  内存在唯一根 ， 由 01 x   得 0 1 1 x   ，又 1 1 1 1 ( )( ) ( 1)ln 1 0gg            ， 故 1  是 ( ) 0g x  在 0(0, )x 上的唯一零点． 综上，函数 ( )g x 有且仅有两个零点，且两个零点互为倒数.