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- 2021-06-16 发布
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浙江省温州市2019-2020学年高二上学期期末考试试题
一、选择题:本大题共10个小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.双曲线的实轴长为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题得a=3,
所以实轴长为6.
故选:C
2.与直线关于轴对称的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设M(x,y)是所求直线上的任意一点,
则其关于y轴的对称点为在直线上,
所以即.
与直线关于轴对称的直线的方程为.
故选:B
3.若直线与圆相离,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题得圆心到直线的距离为,所以,
因为m>0,所以0<m<2.
故选:C
4.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积(单位:)是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据三视图:该几何体为底面为直角梯形的四棱柱,如图所示:
故该几何体的体积为.
故选:A.
5.一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是( )
A. 底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形
B. 各个面都是正三角形
C. 三个侧面是全等的等腰三角形
D. 顶点在底面上的射影为重心
【答案】A
【解析】A.根据正三棱锥的定义可知,满足侧面是全等的等腰三角形,底面是正三角形的三棱锥是正三棱锥.正三棱锥的底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形,所以一个三棱锥是正三棱锥的充要条件是底面是正三角形,三个侧面是全等的等腰三角形,所以该选项符合题意;
B. 各个面都是正三角形,则三棱锥是正三棱锥,所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的充分条件;如果三棱锥是正三棱锥,则各个面不一定都是正三角形,所以各个面都是正三角形是三棱锥为正三棱锥的非必要条件,故该选项错误.
C. 三个侧面是全等的等腰三角形不一定是正三棱锥,如图所示,VA=VC=BC=AB,AC=VB时,不一定是正三棱锥,故该选项错误;
D. 顶点在底面上的射影为重心,设底面为直角三角形,其重心为,过点作平面ABC的垂线,连接VA,VB,VC得到三棱锥V-ABC,显然三棱锥V-ABC不是正三棱锥,所以该选项错误.
故选:A
6.如图,已知三棱锥,点是的中点,且,,过点作一个截面,使截面平行于和,则截面的周长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示,设AB、BC、VC的中点分别为D,E,F,
连接PD,DE,EF,PF.由题得PD||VB,DE||AC,
因为平面DEFP,VB,AC不在平面DEFP内,
所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP,
所以截面DEFP就是所作的平面.
由于,
所以四边形DEFP平行四边形,
因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1,
所以截面DEFP的周长为2+2+1+1=6.
故选:D
7.已知直线和相交于点,则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题得所以.
由题得,所以.
所以点的轨迹方程为.
故选:D
8.已知双曲线,若过点作直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点,则点的坐标可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设,
由题得,
所以.
当P的坐标为时,直线AB的方程为.
把代入双曲线方程得.
对于选项A,C,D中点P的坐标经检验得,不满足.
故选:B
9.已知椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上,且
,则此椭圆的离心率的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设P,由题得
因为,所以,
所以此椭圆的离心率的最小值为.
故选:A
10.在平面直角坐标系中,已知点,,圆,若圆上存在点,使得,则实数取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设,则,
所以,所以点M的轨迹是一个圆D,
由题得圆C和圆D相交或相切,所以,
所以.
故选:B
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
11.已知直线(为常数),若直线的斜率为,则
__________,若,直线的倾斜角为__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】(1)由题得;
(2)若,则直线的斜率所以直线的倾斜角为.
故答案为:(1). (2).
12.在平面直角坐标系中,点关于轴的对称点为,那么,在空间直角坐标系中,关于轴的对称点坐标为__________,若点关于平面的对称点为点,则__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】(1)由题得关于轴的对称轴点坐标为;
(2)点关于平面的对称点为点(1,-1,-2),
所以.
故答案为:(1). (2).
13.已知圆和圆外切,则的值为
__________,若点在圆上,则的最大值为__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】(1)由于两圆外切,所以.
(2)点在圆上,所以,
所以,因为,所以的最大值为5.
此时.
故答案为: (1). (2).
14.已知直线与抛物线交于两点;若直线过抛物线的焦点,则抛物线的准线方程为__________,若,则的值为__________.
【答案】 (1). (2).
【解析】(1)由于直线过抛物线的焦点,令y=0得x=1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0),
所以抛物线的准线方程为x=-1.
(2)联立得,
设,所以,
因为,所以,
所以,所以.
故答案为:(1). (2).
15.某学习合作小组学习了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,意思是夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理研究椭圆绕轴旋转一周所得到的椭球体的体积,方法如下:取一个底面圆半径为高为
的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥,把所得的几何体和半椭球体放在同一平面上,那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了,现在用一平行于平面的任意一个平面去截这两个几何体,则截面分别是圆面和圆环面,经研究,圆面面积和圆环面面积相等,由此得到椭球体的体积是__________.
【答案】
【解析】由祖暅原理得椭球体的体积为.
故答案为:
16.如图,等腰梯形中,,,,为上一点,且,为的中点.沿将梯形折成大小为的二面角,若内(含边界)存在一点,使得平面,则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】如图所示,由于梯形是等腰梯形,所以.
折叠之后,.所以就是二面角的平面角.
当时,不存在这样的点Q;
当时,点Q恰好是AE的中点.此时.
当时,以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则E(0,0,0),B,.
设Q在平面ABE内,.
所以,.,
由题得.
所以点Q在△ABE的中位线GH上,
所以点Q的纵坐标.
由题得
所以,所以,所以.
所以此时.综上所述,.
故答案为:
17.设抛物线,点是抛物线的焦点,点在轴正半轴上(异于点),动点在抛物线上,若是锐角,则的范围为__________.
【答案】
【解析】设,可知,且,
所以,,
因为是锐角,所以,
即,
整理得,
等价于对任意恒成立;
令,则对任意恒成立;
因为的对称轴为,故分类讨论如下:
(1),即时,
,所以;
(2),即时,
应有,得;
综上所述:.
三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.已知圆心在直线:上的圆经过点和,且过点的直线与圆相交于不同的两点.
(1)求圆的标准方程;
(2)若,求直线的方程.
【解】(1)易求得的中点为,且,
的中垂线方程为
由,得圆心的坐标为,
半径,故圆的标准方程为:
(2)当时,则圆心到直线的距离为,
若直线的斜率存在,设直线,
即
圆心到直线的距离,解得,
直线的方程为
若直线的斜率不存在,则直线,符合题意,
综上所述:所求直线的方程为:或
19.如图,,,,.
(1)求证:;
(2)若几何体是三棱柱,是边长为的正三角形,与面所成角的余弦值为,,求三棱柱的体积.
【解】(1)
又,,,
又,
(2)由题得,
又棱柱高
20.已知点的坐标分别是,,直线相交于点,且直线的斜率与直线的斜率的差是.
(1)求点的轨迹方程;
(2)若直线与曲线交于两点,求的面积.
【解】(1)设,则,,
所以,所以轨迹方程(或);
(2)设,联立方程
,得,所以,
所以,
到直线的距离为,
所以.
21.如图,在三棱锥中,且,,面面,
,为中点,为中点.
(1)求证:;
(2)在直线上确定一点,使得面,求与面所成角.
【解】(1)易知,又平面平面
面,
又,,,平面,
平面,
(2)在延长线上取点,使,则四边形为平行四边形
又,面,面,面
又面,即为与面所成线面角
又,,
即与面所成线面角为
22.设椭圆的离心率为,直线过椭圆的右焦点,与椭圆交于点;若垂直于轴,则.
(1)求椭圆的方程;
(2)椭圆的左右顶点分别为,直线与直线交于点.求证:点在定直线上.
【解】(1)由已知得,所以,
所以椭圆的方程为;
(2)设,,,
联立,得,
所以,可得,,
所以,
又因为,
所以;
所以点在直线上.