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- 2021-06-16 发布
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6.2 平面向量在几何、物理中的应
用举例
一、向量在几何证明中的应用
关键能力·合作学习
类型一 证明三点共线、三线共点(逻辑推理)
【题组训练】
1.如图,已知△ABC两边AB,AC的中点分别为M,N,在BN延长线上取点P,使NP=BN,
在CM延长线上取点Q,使MQ=CM.
求证:P,A,Q三点共线.
2.如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且 = = .
求证:点E,O,F在同一直线上.
CE
ED
AF
FB
1
2
3.已知D,E,F分别为△ABC三边BC,AC,AB的中点.
求证:AD,CF,BE相交于一点.
【证明】1.设 则 由此可得
所以
故 故 且它们有公共点A,所
以P,A,Q三点共线.
AB AC
, ,a b 1 1AN AM2 2
, ,b a
1 1BN NP CM MQ2 2
- , - ,b a a b PA AN NP PA ( )
- , - - - ,b a a b
QA AM MQ AQ ( )
- , - - - ,b a a b PA AQ
, PA AQ
,
2.设 由 知E,F分别是CD,AB的三等分点,所以
又O为 和 的公共点,所以点E,O,F在同一条直线上.
AB AD
, ,m n CE AF 1
ED FB 2
,
1 1 1 1 1 1 1 1FO FA AO BA AC OE OC CE AC CD3 2 3 2 6 2 2 3
1 1 1 1 .2 3 6 2
- ,
- 所以
m m n m n
m n m m n FO OE
,故 FO OE
FO
OE
3.设 =a, =b,直线AD,BE交于点G.设 =λ , =μ ,则 = +
=(b-a)+μ =(b-a)+μ =b-a+μ =( μ-1)a+(1-μ)b,
又 =λ =λ( + )=λ =
-λa+ λb,所以 解得
则
又因为 所以 所以G在中线CF上,所以AD,CF,BE相交于一点.
CA
CB
AG
AD
BG
BE
AG
AB
BG
BE
1(BC CA)2
1( )2
a b 1
2
AG
AD
AC
CD
1( )2
a b
1
2
1 1,2
1 1 ,2
- -
-
2 ,3
2.3
2 2 1 1 1CG CA AG AD ( ) .3 3 2 3 3
-a a a b a b
1 1CF 2 2
,a b 2CG CF3
,
【解题策略】
三点共线的证明
(1)平面上三点A,B,C共线⇔ =λ (向量共线且有公共点才能得出三点共
线).
(2)点P为线段AB的中点,O为平面内任意一点⇔ .
AB
BC
1OP (OA OB)2
(3)平面上三点A,B,C共线,O为不同于A,B,C的任意一点⇔
且λ+μ=1.
OC OA OB
类型二 证明等式、求值(逻辑推理、数学运算)
【典例】PQ过△OAB的重心G,且
求证:
OP mOA OQ nOB.
,
1 1 3.m n
【解题策略】
向量法证明等式
向量法证明等式的关键是熟练掌握条件的向量等价表达式,常常借助三角形的
性质(例如:中线,重心等)及向量基本定理.
【跟踪训练】
如图,四边形ABCD是正方形,M是BC的中点,将正方形折叠,使点A与M重合,设折痕
为EF,若正方形面积为64,求△AEM的面积.
【解析】如图,建立坐标系,设E(e,0),AM交EF于点N,由正方形面积为64,可得边
长为8,由题意可得M(8,4),N是AM的中点,故N(4,2).
所以
因为 所以8(4-e)+4×2=0,
解得e=5,即AE=5,所以S△AEM= AE·BM=10.
AM (8,4) EN AN AE (4,2) (e,0) (4 e,2)
, - - - ,
AM EN
,
1
2
类型三 证明位置关系(逻辑推理)
角度1 证明平行关系
【典例】证明顺次连接四边形各边中点所得四边形为平行四边形.
已知:如图,四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
【思路导引】要证平行四边形,只需证一组对边平行且相等,即它们所对应的向
量相等.
【证明】连接AC.因为E,F分别是AB,BC的中点,所以
同理
所以 ,所以EF∥HG且EF=HG,所以四边形EFGH是平行四边形.
1 1 1 1EF EB BF AB BC (AB BC) AC2 2 2 2
, 1HG AC2
,
EF HG
角度2 证明垂直关系
【典例】证明直径所对的圆周角是直角.
已知:如图所示,已知☉O,AB为直径,C为☉O上任意一点.
求证:∠ACB=90°.
【思路导引】要证∠ACB=90°,只需证向量 ⊥ ,即 · =0.
【证明】连接CO,设
由此可得
即 · =0,即∠ACB=90°.
AC
CB
AC
CB
AO OC AC CB
, ,则 , - ,a b a b a b
2 2 2 2 2 2AC CB ( ) | | r r 0.
- - -| | -a b a b a b a b
AC
CB
【解题策略】
1.向量共线的相关结论
(1)a与b共线⇔a=λb(λ∈R,b≠0).
(2)a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0.
2.向量垂直的相关结论
(1)数量积:a⊥b⇔a·b=0(a≠0,b≠0).
(2)坐标表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.
【题组训练】
1.若O为△ABC所在平面内一点,且满足( - )·( + -2 )=0,则△ABC
的形状为( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.正三角形 D.等腰直角三角形
OB
OC
OB
OC
OA
【解析】选A.因为 所以 所以
所以△ABC的中线和底边垂直,所以△ABC是等腰三角形.
(OB OC) (OB OC 2OA) 0
- - , CB (AB AC) 0
,
CB (AB AC)
,
2.已知正方形ABCD,P为对角线AC上任意一点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,连接
DP,EF.求证:DP⊥EF.
【证明】以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立直角坐标系.
设正方形边长为1,则
由已知,可设 并可得
因为
所以 ⊥ ,故DP⊥EF.
AB 1,0 AD 0,1 .
,
AP (a,a)
,
EB (1 a,0) BF 0,a EF (1 a,a) DP AP AD (a,a 1).
- , , - , - -
DP EF (a,a 1) (1 a,a) (1 a) a a (a 1) 0
- - - - ,
DP
EF
3.在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA= AB.
求证:AC⊥BC.
1
2
【证明】如图,建立平面直角坐标系.
设CD=1,则A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1).
所以 =(-1,1), =(1,1),
所以 · =(-1,1)·(1,1)=-1+1=0,
所以 ⊥ ,即AC⊥BC.
BC
AC
BC
AC
BC
AC
1.在△ABC中,若( + )·( - )=0,则△ABC( )
A.是正三角形 B.是直角三角形
C.是等腰三角形 D.形状无法确定
【解析】选C.因为
所以| |=| |,即CA=CB,故△ABC是等腰三角形.
课堂检测·素养达标
CA
CB
CA
CB
2 2
(CA CB) (CA CB) CA CB 0
- - ,
CA
CB
2.在△ABC中,已知A(4,1),B(7,5),C(-4,7),则BC边上的中线AD的长是( )
【解析】选B.因为BC的中点为D , ,所以 .
5 5A.2 5 B. 2
7 5C.3 5 D. 2
3( ,6)2
5AD ( ,5)2
- 5 5AD 2
3.(教材二次开发:习题改编)在Rt△ABC中,斜边BC长为2,O是平面ABC外一点,点
P满足 则 等于( )
A.2 B.1 C. D.4
1OP OA (AB AC)2
, | AP |
1
2
【解析】选B.因为 所以
所以AP为Rt△ABC斜边BC的中线,所以| |=1.
1OP OA (AB AC)2
, 1 1OP OA (AB AC) AP (AB AC)2 2
- , ,
AP
4.如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点.
求证:AF⊥DE.
【证明】如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则
A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1), =(2,1), =(1,-2).
因为 · =(2,1)·(1,-2)=2-2=0,
所以 ⊥ ,即AF⊥DE.
AF
DE
AF
DE
AF
DE
二十六 向量在几何证明中的应用
【基础通关——水平一】
(15分钟 30分)
1.已知△ABC中, =a, =b,且a·b<0,则△ABC的形状为 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰直角三角形
课时素养评价
AB
AC
【解析】选A.因为a·b= · =| |·| |cos A<0,所以A为钝角,故△ABC
为钝角三角形.
AB
AC
AB
AC
2.在四边形ABCD中, = ,且| |=| |,那么四边形ABCD为( )
A.平行四边形 B.菱形
C.长方形 D.正方形
【解析】选B.由 = 可知,该四边形为平行四边形,又由| |=| |知
邻边相等,故该四边形为菱形.
AB
DC
AB
BC
AB
DC
AB
BC
3.△ABC顶点为A(a,0),B(-a,0),C(asin θ,acos θ),则△ABC为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
【解析】选A.依题意可知a≠0, =(asin θ-a,acos θ), =(asin θ+a,
acos θ), 与 不恒等,所以 · =(asin θ)2-a2+(acos θ)2
=a2(sin2θ+cos2θ)-a2=0,所以 ⊥ ,所以△ABC是直角三角形.
BC
AC
| BC |
| AC |
BC
AC
BC
AC
4.(2020·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足 = ( + ),
则| |=________; · =________.
【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以 =(2,0),
=(2,2), =(2,1),P(2,1), =(-2,1),| |= ,又 =(0,-1),所
以 · =-1.
答案: -1
AP
1
2 AB
AC
PD
PB
PD
AB
AC
AP
PD
5 PB
PB
PD
5
PD
5.在△ABC所在的平面内有一点P,如果 ,那么△PBC的面积与
△ABC的面积之比是________.
【解析】因为 所以
所以点P在边AC上,且3|PA|=|PC|,所以 ,如图,
设△ABC中AC边上的高为h,所以
答案:
2PA PC AB PB
-
2PA PC AB PB AB BP AP
- , 2PA PC AP 3PA PC 0
- ,
PC 3
AC 4
PBC
ABC
1 PC h PCS 32 .1S AC 4AC h2
3
4
6.求证:以A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形.
【证明】因为 =(4,-2), =(3,6), =(4,-2), = , =(3,6)
不为零向量,且不与 平行,所以以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形.
因为 · =0, ⊥ ,所以以A,B,C,D为顶点的四边形是矩形.
AB
BC
DC
AB
DC
BC
AB
AB
BC
AB
BC
【能力进阶——水平二】
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若在△ABC中AB=AC=1,| + |= ,则△ABC的形状是 ( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
AB
AC
2
【解析】选D.由| + |= ,
得 ,因为AB=AC=1,所以 · =0,即AB⊥AC,所以
△ABC为等腰直角三角形.
AB
AC
2
2 2
AB 2AB AC AC 2
AB
AC
【补偿训练】
已知非零向量 与 满足 且 则△ABC为( )
A.等腰非等边三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.三边均不相等的三角形
AB
AC
AB AC( ) BC 0
|AB| |AC|
, | BC | 3|AB|
【解析】选A.不妨设 即 为∠BAC平分线所在直线上的向量,
又 ⊥ ,所以AB=AC,又 所以△ABC为等腰非等边三角形.
AB ACAP
|AB| |AC|
, AP
AP
BC
| BC | 3 | AB| | AB|
2.已知△ABC为等腰三角形,满足AB=AC= ,BC=2,若P为底BC上的动点,则=
( )
A.有最大值8 B.是定值2
C.有最小值1 D.是定值4
3
AP (AB AC)
【解析】选D.设AD是等腰三角形的高,长度为 = .故 3 1 2
2 2 2AP (AB AC) (AD DP) 2AD 2AD 2DP AD 2AD 2 ( 2) 4.
3.已知O是平面上一定点,满足 λ∈[0,+∞),则P
的轨迹一定通过△ABC的( )
A.内心 B.垂心 C.重心 D.外心
AB ACOP OA ( )
|AB|cosB |AC|cosC
,
【解析】选B.因为 所以
即
因为cos B= cos C=
所以
所以 垂直,
即 ⊥ ,所以点P在BC的高线上,即P的轨迹过△ABC的垂心.
AB ACOP OA ( )
|AB|cos B |AC|cos C
,
AB ACOP OA ( )
|AB|cos B |AC|cos C
- , AB ACAP ( )
|AB|cos B |AC|cos C
,
BA BC
|BA||BC|
, CA CB
| CA||CB|
,
AB ACBC ( ) |BC| |BC| 0
|AB|cos B |AC|cos C
- ,
AB ACBC ( )
|AB|cos B |AC|cos C
与
AP
BC
4.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且a与b不共
线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于( )
A.以a,b为邻边的平行四边形的面积
B.以b,c为两边的三角形的面积
C.以a,b为两边的三角形的面积
D.以b,c为邻边的平行四边形的面积
【解析】选A.由题意可以画出图形:记 =a, =b, =c,=θ.
因为这三个向量的起点相同,且满足a与b不共线,
a⊥c,|a|=|c|,利用向量的数量积定义,可得|b·c|=
||b|·|c|cos|=|OB|·|OC||cos θ|=
|OB|·|OA|sin ∠AOB,
因为S△AOB= |OA|·|OB|sin∠AOB,所以|b·c|等于以a,b为邻边的平行四边形的
面积.
OA
OB
OC
1
2
【误区警示】不作示意图,从而将角混淆.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错
的得0分)
5.在△ABC中,|AB|=2,|AC|=2 ,∠BAC=45°,P为线段AC上任意一点,
则 · 的可能值有 ( )
A.-2 B.-1 C.2 D.3
2
PB
PC
【解析】选CD.设 因为
所以
因为0≤t≤1,所以- ≤ · ≤4,故2,3为可能取的值.
PC tAC(0 t 1) AP (1 t)AC
,则 - PB AB AP AB (1 t)AC,
- - -
2 2PB PC [AB (1 t)AC] tAC tAB AC t(1 t)AC 2 2 2t cos45 t( 1 t) (2 2)
- - - - - -
2 21 18t 4t 8(t )4 2
- - - ,
1
2 PB
PC
6.下列命题中正确的是 ( )
A.若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b
B.对于非零向量a,b,c,若a·(b-c)=0,则b=c
C.已知A,B,C是平面内任意三点,则
D.若O为△ABC所在平面内任一点,且满足
则△ABC为等腰三角形
AB BC CA
0
(OB OC) (OB OC 2OA) 0
- - ,
【解析】选CD.选项A中,向量不能比较大小,故错误;选项B中,由a·(b-c)=0,
可得b=c或a⊥(b-c),故错误;选项C中, 故正确;选项D
中,
所以故△ABC为等腰三角形,正确.
【光速解题】本题中AB易判断错误,则可直接选CD.
AB BC CA AC CA
,0
2 2(OB OC) (OB OC 2OA) CB (AB AC) (AB AC) (AB AC) | AB| | AC | 0
- - - - ,
| AB| | AC |
,
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.点O是△ABC所在平面内的一点,满足 则点O是△ABC
的______心.
【解题指南】根据向量数量积的运算律可整理出 · =0,即OB⊥AC;同理
可得OA⊥BC,OC⊥AB,由垂心定义可知O为垂心.
OA OB OB OC OC OA
,
OB
CA
【解析】因为 所以
即 · =0,
所以OB⊥AC,同理可得OA⊥BC,OC⊥AB,
所以点O为△ABC的垂心.
答案:垂
OA OB OB OC
, (OA OC) OB 0
- ,
OB
CA
【补偿训练】
过△ABC内一点M任作一条直线,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为
D,E,F,若 恒成立,则点M是△ABC的________心.
【解析】本题采用特殊位置法较为简单.
因为过△ABC内一点M任作一条直线,可将此直线
特殊为过点A,则 =0,有 + =0.
如图,则有直线AM经过BC的中点,同理可得直线BM
经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点M是△ABC的重心.
答案:重
AD BE CF
0
AD
BE
CF
8.已知P是△ABC的边BC上任一点,且满足 ,x,y∈R,则
的最小值是____.
【解析】因为点P落在△ABC的边BC上,所以B,P,C三点共线,所以x+y=1.故
当且仅当 即x= ,y= 时取等号,
所以 的最小值为9.
答案:9
AP xAB yAC 1 4
x y
1 4 1 4 y 4x+ =( + )(x+y)= + +5 4+5=9,x y x y x y
y 4x
x y
, 1
3
2
3
1 4
x y
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,已知直角梯形ABCD中,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于点E,M为
CE的中点.
求证:(1)DE∥BC;(2)D,M,B三点共线.
【证明】以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,
如图.令| |=1,则| |=1,| |=2,因为CE⊥AB,AD=DC,所以四边形AECD为
正方形,所以各点坐标分别为E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0).
AD
CD
AB
(1)因为 =(-1,1)-(0,0)=(-1,1), =(0,1)-(1,0)=(-1,1),所以
= ,即DE∥BC.
(2)因为M为EC的中点,所以M(0, ),所以 =(-1,1)-(0, )=(-1, ),
=(1,0)-(0, )=(1,- ),所以 =- ,所以 ∥ .
又 与 有公共点,所以D,M,B三点共线.
ED
BC
ED
BC
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
MD
MB
MD
MB
MD
MB
MD
MB
10.四边形ABCD中, =a, =b, =c, =d,且a·b=b·c=c·d=d·a,
试问四边形ABCD是什么图形?
【解析】因为a·b=b·c,所以b·(a-c)=0,即b⊥(a-c).同理d⊥(a-c),所以b∥d,同
理a∥c,所以四边形ABCD是平行四边形.所以a=-c,故b·(a-c)=b·2a=0,所以a·b=0,
故该四边形为矩形.
BC
AB
CD
DA
【创新迁移】
在△ABC所在平面内有一点H满足
则H点是△ABC的________.
【解析】因为 所以
整理得
即AB⊥HC;同理可得AC⊥HB,BC⊥HA.
所以可知H为垂心.
答案:垂心
2 2 2 2 2 2
HA BC HB CA HC AB ,
BC HC HB,CA HA HC,AB HB HA
- - - ,
2 22 2HA (HC HB) HB (HA HC)
- - , HC (HB HA) 0,HC AB 0,
-
【补偿训练】
设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点.(1)试用向量证明:PQ∥AB;
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB的值.
【解析】(1)因为Q为BD中点,所以
又因为P为AC中点,所以
所以
又向量 与 共线,设向量 则
CB CD 2CQ
,
CA 2CP
;
2PQ 2CQ 2CP (CB CD) CA CB CD AC AB CD.
- -
CD
AB
CD AB
, 2PQ (1 )AB
,
所以 又梯形ABCD中, 所以λ≠-1,
所以 ∥ ,即PQ∥AB.
(2)因为向量 与 反向,且 所以
即λ=- ,代入①式,得 所以PQ∶AB=1∶3.
1PQ AB.2
① | AB| | CD |
,
PQ
AB
AB
CD
| AB| 3|CD|,
AB 3CD
- ,
1
3
11 13PQ AB AB2 3
-
,