甘肃省天水一中2021届高三数学（理）上学期第二次考试试题（Word版附答案） 9页

试卷第 1页，总 4页 天水市一中 2018 级 2020--2021 学年度第二次考试试题 数学（理） 一、单选题（每小题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 2{ | 2 3} { 2 0 2 3}A x y x x B     , , , , ，M A B  ，则 M 的子集共有（ ） A．3个 B． 4 个 C． 7 个 D．8 个 2．已知向量  2,2AB  ，  ,1AC t ，若 2AB BC   ，则t  （ ） A．5 B． 4 C．3 D． 2 3．在等差数列 中，若 ，则 （ ） A．15 B．10 C．5 D．1 4．已知 sin 3cos 53cos sin       ，则 2sin sin cos   的值是（ ） A． 2 5 B． 2 5  C．2 D． 2 5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数 学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响 深远．若 0a b  ，则下列结论错误．．的是（ ） A． 1 1 a b  B． 2log ( ) 0a b  C． 1 1 2 2a b D．3 3a b 6．一个等比数列 na 的前 n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则前3n项和为（ ） A．63 B．108 C．75 D．83 7．已知函数   3sin 2 3f x x      ，则下列结论正确的是（ ） 试卷第 2页，总 4页 A．函数  f x 的最小正周期为 2 B．函数  f x 的图象的一个对称中心为 ,06      C．函数  f x 的图象的一条对称轴方程为 3x  D．函数  f x 的图象可以由函数 3 cos2y x 的图象向右平移 12  个单位长度得到 8．在△ABC 中，三内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 sin sin A a B c  ，（b+c+a）（b+c-a）=3bc， 则△ABC 的形状为（ ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 9．已知正项等比数列 na 中 9 79a a ，若存在两项 ma 、 na ，使 2 127m na a a ，则 1 16 m n  的最 小值为（ ） A．5 B． 21 5 C． 5 16 D． 65 4 10. 已知点  ,P x y 在曲线C ： 2 2 2 0x y x   上，则 2x y 的最大值为（ ） A．2 B．－2 C．1 5 D．1 5 11．已知函数 ( )f x 定义域为 R ，且满足下列三个条件：①任意 1 2 ( 4,0)x x   ，都有 2 1 2 1 ( ) ( ) 0f x f x x x   ；② ( ) ( 4)f x f x   ；③ ( 4)y f x  为偶函数，则（ ） A． (2019) (15) (2)f f f  B． (15) (2) (2019)f f f  C． (2) (15) (2019)f f f  D． (2) (2019) (15)f f f  12． 已知函数 ( ) 3xf x e ax   ，其中 a R ，若对于任意的 1 2, [1, )x x   ，且 1 2x x ，都有  2 1x f x    1 2 1 2x f x a x x   成立，则 a 的取值范围是（ ） A．[3, ) B．[2, ) C． ( ,3] D． ( ,2] 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．若复数 2 1 iz   ，则| |z ________. 试卷第 3页，总 4页 14．已知实数 x，y 满足 1 2 0 2 0 x x y x y          ，则 2z x y  的最大值为________． 15．已知等差数列 na 前 n 项和 nS ，且 2019 20200, 0S S  ，若 1 0k ka a   ，则 k 的值为________ 16．如图，在 中 1cos 4BAC  ，点 D 在线段 BC 上，且 3BD DC ， 15 2AD  ，则 的面 积的最大值为______. 三、解答题（第 17 题 10 分；第 18--22 题各小题 12 分，共 70 分） 17．已知命题 p ： x R  ， 2 0tx x t   . （1）若 p 为真命题，求实数 t 的取值范围； （2）命题 q： [2,16]x  ， 2log 1 0t x   ，当 p q 为真命题且 p q 为假命题时，求实数t 的取 值范围. 18．已知在等差数列 na 中， 2 4 10a a  ， 5 9a  . （1）求数列 na 的通项公式，写出它的前 n 项和 nS ； （2）若 1 2 n n n c a a    ，求数列 nc 的前 n 项和 nT . 19．设函数    2 5sin cos 3sin 2 2f x x x x        . (1)求函数  f x 的最小正周期 T 和单调递减区间; (2)在锐角 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 3 sin cos a b A B  ,求  f A 的取值范围. 试卷第 4页，总 4页 20．在 中，角 A 、B 、C 所对的边长是 a 、b 、c ，向量  ,m b c ，且满足 2 2m a bc  . （1）求角 A 的大小； （2）若 3a  ，求 的周长的最大值. 21．若数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 1n nS a  ， *n N . （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 ，求数列 nb 的前 n 项和 nT . 22．已知函数 l( ) 1( )1 naf x ax Rx     （1）若函数  f x 在区间 0,1 上单调递增，求实数 a 的取值范围； （2）若 0a  ，函数  f x 在 x t 处取得极小值，证明： 32 ( ) 0f t t t    . 答案第 1页，总 5页 参考答案 1．B 2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 10．C 11．B 12．C 13． 2 14．1 15．1010 16． 15 17．（1） 1 2t   ；（2） 1t   或 1 2t   . 【详解】 （1） x R  ， 2 0tx x t   0t  且 21 4 0t    ，解得： 1 2t   p 为真命题时， 1 2t   （2）  2,16x  ， 2log 1 0t x    2,16x   ， 2 1 logt x   有解  2,16x 时， 2 1 11,log 4x        当 1t   时，命题 q为真命题 p q 为真命题且 p q 为假命题 p 真 q假或 p 假 q真 当 p 真 q假时，有 1 1 2 t t     ，解得： 1t   ； 当 p 假 q真时，有 1 1 2 t t     ，解得： 1 2t   ； p q  为真命题且 p q 为假命题时， 1t   或 1 2t   18．（1） 2 1na n  ， 2 nS n ；（2） 2 2 1 n n 【详解】 （1）设 1 ( 1)na a n d   ，由题意得 12 4 10a d  ， 1 4 9a d  ， 1 1a  ， 2d  ， 所以 2 1na n  ， 2 1 ( 1) 2n n nS na d n   ． 答案第 2页，总 5页 （2） 1 2 2 1 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1n n n c a a n n n n         1 2 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 2 1 2 1n nT c c c n n                          1 21 2 1 2 1 n n n     ． 19．(1) ,  7,12 12k k k        Z ;(2) 1 3,1 3  . 【详解】 (1)   2sin cos 3 cos2 1f x x x x   sin 2 3 cos2 1x x   2sin 2 13x       函数  f x 的最小正周期 2 2T    , 令 32 2 22 3 2k x k         , k Z , 得 7 12 12k x k      , k Z , 从而函数  f x 的单调递减区间为  7,12 12k k k        Z ; (2)在锐角 ABC 中,由 3 sin cos a b A B  知, 3B  , 则 0 2 20 3 2 A A           得 6 2A   , 从而 2 42 ,3 3 3A        , 故  f A 的取值范围为  1 3,1 3  . 20．（1） 3A  ；（2）3 3 . 【详解】 答案第 3页，总 5页 （1）  ,m b c  且 2 2m a bc  ， 2 2 2b c a bc    ， 由余弦定理得 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc    ， 0 A   ，因此， 3A  ； （2）由 3a  ， 3A  及余弦定理得 2 2 2 2 cosa b c bc A   ， 即      22 2 22 2 2 3 3 2 4 b cb ca b c bc b c bc b c               ，  2 24 12b c a    ， 2 3b c   ，当且仅当 3b c  时，等号成立， 因此， ABC 的周长的最大值为3 3 . 21．（1） 12n na -= ；（2） 1 2 36 2n n nT    . 【详解】 （1）当 1n  时， 1 1 12 1 1aaa     ， 当 2n  时， 2 1n nS a  ， 1 12 1n nS a   ，两式相减得 12 2n n na a a   ， 即  12 2n na a n  ，所以数列 na 是首项为 1 1a  ，公比为 2 的等比数列， 所以  1 *2 Nn na n  . （2）由（1）得 1 2 1 2n n nb   ，所以 2 1 1 3 5 2 1 1 2 2 2n n nT       ， 2 3 1 1 3 5 2 1 2 2 2 2 2n n nT      ， 两式相减得 2 1 1 1 2 11 12 2 2 2n n n nT        1 1 11 2 1 1 2 121 1 2 11 2 2 21 2 n n n n n n              1 2 2 1 2 33 32 2 2n n n n n        . 答案第 4页，总 5页 所以 1 2 36 2n n nT    22．（1） ( ,0] ，（2）见解析 【详解】 解：（1）因为函数  f x 在区间 0,1 上单调递增，所以  'f x ≥0 在 0,1 上恒成立， 即  ' 2 1 ( 1) af x x x    ≥0， 因为  0,1x ，所以 a ≤ 2( 1) 1 2x xx x     在 0,1 上恒成立， 令 1( ) 2g x x x    ，  0,1x ，则 2 ' 2 2 1 1( ) 1 0xg x x x     ， 所以 1( ) 2g x x x    在 0,1 上递减，所以 ( ) (1) 0g x g  所以当 a ≤0 时，  f x 在区间 0,1 上单调递增， 所以 a 的取值范围 ( ,0] ， （2）因为函数  f x 在 x t 处取得极小值，所以  ' 0f t  ，即  ' 2 1=0( 1) af t t t    ， 得 2( 1)ta t  ，所以   1 ln 1tf ttt     f x 的定义域为 0,1 1( ),  ，   2 ' 2 2 1 ( 2) 1 ( 1) ( 1) a x a xf x x x x x        因为 0a  ，所以 2( 2) 4 0a     ， 设 ( )' 0f x = 的两个根为 1 2 1 2, ( )x x x x ， 解得 2 2 1 2 2 4 2 4,2 2 a a a a a ax x       ， 由 1 2 1 22, 1x x a x x    ，得 1 20 1x x   ， 所以当 1 2(0, ) ( , )x x x  时，  ' 0f x  ；当 1 2( ,1) (1, )x x x  时，  ' 0f x  又因为  f x 在 x t 处取得极小值，所以 1t  ， 答案第 5页，总 5页 要证 32 ( ) 0f t t t    ，只需证明 12ln 0( 1)t t tt     成立即可， 令 ( ) 2l 1n 0( 1)h t t t tt      ，则 2 ' 2 2 2 ( 1)) 1 01( th t t t t       ， 所以 ( )h t 在 (1, ) 上为减函数， 所以 ( ) (1) 0h t h  ， 所以 32 ( ) 0f t t t   