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- 2021-06-16 发布
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2021 年 1 月“八省联考”考前猜题卷
数学
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的。
1.已知集合 A＝{－5－1”是“方程
2 2
12 1
x y
m m
表示双曲线”的充分不必要条件
6.函数 f(x)＝
2lnx
x
的大致图象是
7.《九章算术》是中国古代张苍､耿寿昌所撰写的一部数学专著。是《算经十书》中最重要的
一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，下列说法错误的
是
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A.“羡除”有且仅有两个面为三角形 B.“羡除”一定不是台体
C.不存在有两个面为平行四边形的“羡除” D.“羡除”至多有两个面为梯形
8.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且当 x<0 时，函数 f(x)＝xex＋1，若关于 x 的函数 F(x)
＝[f(x)]2－(a＋1)f(x)＋a 恰有 2 个零点，则实数 a 的取值范围为
A.(－∞，1－ 1
e ) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1， 1
e
－1)∪(1－ 1
e
，1) D.(－∞，－1]∪[1，＋∞)
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9.已知 1 1 0a b
，则
A.a3>b3 B.|a|>|b| C. b
a >1 D.( 1
2 )a>( 1
2 )b
10.已知 F1、F2 是双曲线 C：
2 2
14 2
x y 的上、下焦点，点 M 是该双曲线的一条渐近线上的
一点，并且以线段 F1F2 为直径的圆经过点 M，则下列说法正确的是
A.双曲线 C 的渐近线方程为 y＝± 2 x B.以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2＋y2＝2
C.点 M 的横坐标为± 2 D.△MF1F2 的面积为 2 3
11.在公比为 q 等比数列{an}中，Sn 是数列{an}的前 n 项和，若 a1＝1，a5＝27a2，则下列说法正
确的是
A.q＝3 B.数列{Sn＋2}不是等比数列
C.S5＝120 D.2lgan＝lgan－2＋lgan＋2(n≥3)
12.某同学在研究函数 f(x)＝ 2 2x 1 x 4x 5 的性质时，受两点间距离公式的启发，将
f(x)变形为 f(x)＝ 2 2 2 2x 0 0 1 x 2 0 1 ，则下列关于函数 f(x)的描述正确
的是
A.函数 f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增 B.函数 f(x)的图象是中心对称图形
C.函数 f(x)的值域是[2 2 ，＋∞) D.方程 f(f(x))＝1＋ 5 无实数解
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知向量 a
＝(－1，m)，b
＝(2，－3)，若( a
＋2b
)⊥b
，则 m＝ 。
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14.二项式( 1x x
)6 的二项展开式中的常数项是 。
15.将函数 f(x)＝sin2x＋ 3 cos2x 的图象沿 x 轴向左平移φ(φ>0)个单位后得到函数 g(x)的图象，
若 g(x)为偶函数，则φ的最小值为 。
16.已知矩形 ABCD 满足 AB＝2 3 ，AD＝2，若将 ABD 沿 BD 翻折到 A'BD 的位置，使得平
面 A'BD⊥平面 BCD，M，N 分别为 A'D，BC 的中点，则直线 MN 被四面体 A'－BCD 的外接
球所截得的线段长为 。
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10 分)
从①a＝3，②S△ABC＝ 3 5
2
，③3sinB＝2sinA 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中。
若问题中的三角形存在，求出 b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由。
问题：是否存在△ABC，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 c＝ 21 ，3ccosB＝3a
＋2b， ？
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分。
18.(12 分)
已知数列{an}的前 n 项的和为 Sn，且满足 Sn＝2an－1(n∈N*)。
(1)求数列{an}的通项公式 an 及 Sn；
(2)若数列{bn}满足 bn＝|Sn－15|，求数列{bn}的前 n 项的和 Tn。
19.(12 分)
东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都
会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨
站停车场带来很大的压力。某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费
制度，收费标准如下：4 小时内(含 4 小时)每辆每次收费 5 元；超过 4 小时不超过 6 小时，每
增加一小时收费增加 3 元；超过 6 小时不超过 8 小时，每增加一小时收费增加 4 元，超过 8
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小时至 24 小时内(含 24 小时)收费 30 元；超过 24 小时，按前述标准重新计费。上述标准不足
一小时的按一小时计费。为了调查该停车场一天的收费情况，现统计 1000 辆车的停留时间(假
设每辆车一天内在该停车场仅停车一次)，得到下面的频数分布表：
以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率。
(1)现在用分层抽样的方法从上面 1000 辆车中抽取了 100 辆车进行进一步深入调研，记录并统
计了停车时长与司机性别的 2×2 列联表：
完成上述列联表，并判断能否有 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关？
(2)(i)X 表示某辆车一天之内(含一天)在该停车场停车一次所交费用，求 X 的概率分布列及期望
E(X)；
(ii)现随机抽取该停车场内停放的 3 辆车，ζ表示 3 辆车中停车费用大于 E(X)的车辆数，求 P(ζ
≥2)的概率。
参考公式及数据：
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
，其中 n＝a＋b＋c＋d。
20.(12 分)
如图，四棱锥 P－ABCD 中，四边形 ABCD 是菱形，PA＝PC，BD⊥PA，E 是 BC 上一点，且
EC＝3BE，设 AC∩BD＝O。
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(1)证明：PO⊥平面 ABCD；
(2)若∠BAD＝60°，PA⊥PE，求二面角 A－PE－C 的余弦值。
21.(12 分)
已知椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 3
2
，其左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 为
坐标平面内的一点，且 3OP 2
， 1 2
3PF PF 4
，O 为坐标原点。
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 M 为椭圆 C 的左顶点，A，B 是椭圆 C 上两个不同的点，直线 MA，MB 的倾斜角分别
为α，β，且α＋β＝
2
，证明：直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。
22.(12 分)
已知函数 f(x)＝ex(x＋a)，其中 e 是自然对数的底数，a∈R。
(1)求函数 f(x)的单调区间；
(2)设 g(x)＝f(x－a)－x2，讨论函数 g(x)零点的个数，并说明理由。
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