数学北师大版（2019）必修第二册：6-6-3 球的表面积和体积 学案与作业 12页

6.3 球的表面积和体积 (15 分钟 30 分) 1.圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径 与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半 径是( ) A. cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 【解析】选 D.设球的半径为 r,则 V 水=8πr2,V 球=4πr3,加入小球后,液 面高度为 6r,所以πr2·6r=8πr2+4πr3,解得 r=4. 【补偿训练】 已知正方体外接球的体积是 π,则此正方体的棱长为( ) A.1 B. C. D. 【解析】选 C.因为该正方体外接球的体积是 π, 则该正方体外接球的半径 R=2,正方体的体对角线的长为 4,棱长等于 . 2.若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为1, , ,则此三棱 锥的外接球的表面积为( ) A.6π B.12π C.18π D.24π 【解析】选 A.由题意,三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为 1, , , 看成是长方体的长宽高分别为 1, , , 所以长方体的外接球半径 R= = , 所以此三棱锥的外接球的表面积 S=4πR2=6π. 3. (2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是面积为 的等边三角形,且其顶点 都在球 O 的球面上.若球 O 的表面积为 16π,则 O 到平面 ABC 的距离为 ( ) A. B. C.1 D. 【解析】选 C.设△ABC 的外接圆圆心为 O1,记 OO1=d,圆 O1 的半径为 r, 球 O 的半径为 R,△ABC 的边长为 a,则 S△ABC= a2= ,可得 a=3,于是 r= ,由题知,球 O 的表面积为 16π,则 R=2,由 R2=r2+d2 易得 d=1,即 O 到平面 ABC 的距离为 1. 4.面积为 的正六边形的六个顶点都在球 O 的球面上,球心 O 到正六 边形所在平面的距离为 ,则球 O 的表面积为________. 【解析】如图△O′AB 是正六边形的六分之一, 为正三角形,设其边长为 a, 则 6× a2= ,解得 a=1, 所以 OB= ,所以 S 球=4π×OB2= π. 答案: π 5.中国古代数学经典《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱 锥 称 为 鐅 臑 . 若 三 棱 锥 P-ABC 为 鐅 臑 , 且 PA⊥ 平 面 ABC,PA=2,AB=3,BC=4,AB⊥BC, 则 该 鐅 臑 的 外 接 球 的 表 面 积 为 __________. 【 解 析 】 因 为 AB ⊥ BC, 所 以 , 直 角 三 角 形 ABC 的 外 接 圆 直 径 为 AC= =5, 由 于 PA ⊥ 平 面 ABC, 则 该 鐅 臑 的 外 接 球 的 直 径 为 2R= = , 因此,该鐅臑的外接球的表面积为 4πR2=π×(2R)2=29π. 答案:29π 6.一倒置圆锥体的母线长为 10 cm,底面半径为 6 cm. (1)求圆锥体的高; (2)一球刚好放进该圆锥体中,求这个球的半径以及此时圆锥体剩余的 空间. 【 解 析 】 (1) 设 圆 锥 体 的 高 为 h, 底 面 半 径 为 R, 母 线 长 为 l, 则 h= = =8(cm). (2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示,设球的半径为 r,由△OCD∽△ ACO1 得, = . 所以 = ,解得 r=3. 圆锥体剩余的空间为圆锥体的体积减去球的体积,即 V 圆锥-V 球= ×π× 62×8 - π×33 =96π-36π=60π(cm3). (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.如图所示的阴影部分绕中间轴旋转一周,形成的几何体形状为 ( ) A.一个球体 B.一个球体中间挖去一个圆柱 C.一个圆柱 D.一个球体中间挖去一个棱柱 【解析】选 B.按旋转体的定义得到的是选项 B 所描述的几何体. 2.已知圆柱的高为 2,它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球 面上,则该圆柱的体积是( ) A.π B. C. D.6π 【解析】选 D.如图所示, 圆柱的高为 2,它的两个底面的圆周在直径为 4 的同一个球的球面上, 所以该圆柱底面圆周半径为 r= = , 所以该圆柱的体积为:V=Sh=π·( )2·2=6π. 3.一个棱长为 6 的正四面体内部有一个任意旋转的正方体,当正方 体的棱长取得最大值时,正方体的外接球的表面积是( ) A.4π B.6π C.12π D.24π 【解析】选 C.因为正方体在正四面体内部任意旋转,当正方体的棱长取 得最大值时,正方体的外接球即为正四面体的内切球. 点 O 为正四面体内切球的圆心,连接 PO 并延长交底面 ABC 于点 D,点 D 是底面三角形 ABC 的中心, 所以 PD⊥底面 ABC,所以 OD 为该正四面体内切球的半径. 连接 BO,则 BO=OP. 在 Rt△BDP 中,BD= × ×6 =2 , PD= =4 . 在 Rt△BDO 中, OB2=(PD-OB)2+BD2 得 OB=3 ,所以 OD= ,即正四面体的内切球半径为 ,即正方体的外接球半径为 . 所以当正方体的棱长取得最大值时,正方体的外接球的表面积是 S=4π r2=4π×( )2=12π. 【补偿训练】 设四棱柱的侧棱垂直于底面,侧棱长为 2,底面是边长为 3 的等边 三角形,则该三棱柱外接球的体积为( ) A. π B. π C.8 π D.36π 【解析】选 A.设三棱柱外接球的球心为 O,球半径为 r,三棱柱的底面三 角形 ABC 的中心为 D, 如图,有 OA=r.由于三棱柱的高为 2,所以 OD=1. 又在正三角形 ABC 中,AB=3,则 AD= , 所以在直角三角形 ADO 中,OA2=OD2+AD2,有 r2=12+( )2,所以 r=2, 则这个三棱柱的外接球的体积为 V= π×r3= . 4.两个半径都是 r(r>1)的球 O1 和球 O2 相切,且均与直二面角α-l-β的 两个半平面都相切,另有一个半径为 1 的小球 O 与这二面角的两个半平 面也都相切,同时与球 O1 和球 O2 都外切,则 r 的值为( ) A. +1 B. +3 C. D. 【解析】选 D.如图所示,过点 O1,O2 分别作 O1M⊥l,O2N⊥l,垂足分别为点 M,N,过点 O 分别作 OA⊥l,OB⊥O1O2, 则|O1M|=|O2N|= r, |OA|= ,|O1B|=|O2B|=r, |OO1|=|OO2|=r+1, |OB|= = , |AB|=|OA|+|OB|= + = r, 所以 = r- , 等式两边平方得 2r+1=2r2-4r+2, 化简得 2r2-6r+1=0,由于 r>1, 解得 r= . 【误区警示】一定要画出正确的截面图. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.一个正方体内有一个内切球,用一个平面去截,所得截面图形可能是 图中的( ) 【解析】选 AB.由组合体的结构特征知,球只与正方体的六个面相切, 而与两侧棱相离. 6.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知半球内 有一个方锥,方锥的底面内接于半球的底面,方锥的顶点在半球的球面 上,若方锥的体积为 18,则半球的说法正确的是( ) A.半径是 3 B.体积为 18π C.表面积为 27π D.表面积为 18π 【解析】选 ABC.由题意可得方锥的高为球的半径 R,且方锥的底面正方 形的对角线为球的直径 2R, 所以正方形的边长 a= = R, 所以方锥的体积 V= ( R)2·R=18, 解得 R=3,所以 A 选项正确;所以半球的表面积为 S= ·4πR2+πR2=3π R2=27π,所以 C 选项正确; 半球体积为球的体积的一半,即 V 半球= V 球= · πR3=18π,B 选项正确. 【光速解题】选项逐一验证,计算准确. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7.两个半径为 1 的实心铁球,熔化成一个大球,这个大球的半径是 __________. 【解析】设大球的半径为 R,则有 πR3=2× π×13,R3=2,所以 R= . 答案: 8.在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=1,AD=BC=2,∠ABC=90°,则该三棱锥的外 接球的表面积为________,该三棱锥的体积的最大值为________. 【解析】因为在三棱锥 A-BCD 中 AB=CD=1,AD=BC=2,∠ABC=90°,所以 AC= = , 取 AC 中点 O,连接 OB,OD, 则 OA=OB=OC=OD= , 所以三棱锥 A-BCD 的外接球的球心为 O, 球半径 r= ,所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积 S=4πr2=4×π× =5 π. 当平面 ADC⊥平面 ABC 时, 三棱锥 A-BCD 的体积最大, 设 D 到平面 ABC 的距离为 h, 则 ×AD×DC= ×AC×h, 解得 h= = = . 所以该三棱锥的体积的最大值为: V= ×S△ABC×h= × ×AB×BC×h = × ×1×2× = . 答案:5π 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知过球面上 A,B,C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且 AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面积和体积. 【解析】因为 AB2+BC2=AC2, 所以△ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形, 其外接圆为过 A,B,C 的平面截球所得截面, 2r=30,r=15.由题意得 2+152=R2, 解得 R2=300,R=10 . 所以 S=4πR2=1 200π, V= πR3= π·(10 )3=4 000 π. 10.如图,圆锥型容器内盛有水,水深 3 dm,水面直径 2 dm,放入一个 铁球后,水恰好把铁球淹没,求该铁球的体积. 【解析】设铁球的半径为 r,则放入铁球后水深为 3r,上底面半径为 r, 此时铁球与水的体积和为 ·π·( r)2·3r=3 πr3.原来水的体积为 ·π·( )2·3=3 π,铁球的体积为 πr3, 则 3 π+ πr3=3πr3,解得 r3= . 所以铁球的体积 V= π× = . 所以该铁球的体积为 . 1.球 O 的球心为点 O,球 O 内切于底面半径为 、高为 3 的圆锥,三棱 锥 V-ABC 内接于球 O,已知 OA⊥OB,AC⊥BC,则三棱锥 V-ABC 的体积的最 大值为________. 【解析】圆锥的母线长为 =2 , 设球 O 的半径为 r,则 = ,解得 r=1. 因为 OA⊥OB,OA=OB=1,所以 AB= , 因为 AC⊥BC,所以 C 在以 AB 为直径的圆上, 所以当平面 OAB⊥平面 ABC 时, O 到平面 ABC 的距离最大为 , 故 V 到平面 ABC 的最大距离为 +1. 又 C 到 AB 的最大距离为 ,△ABC 面积最大为 × × , 所以三棱锥 V-ABC 的体积的最大值为 × × × × +1 = . 所以三棱锥 V-ABC 的体积的最大值为 . 答案: 2.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆都在同一个 球面上.若圆锥的底面面积是这个球表面积的 ,则这两个圆锥中,体 积较小者与体积较大者的高的比值为多少? 【解析】该几何体的轴截面如图, 设球的半径为 R,圆锥底面半径为 r, 由题意得πr2= ×4πR2,所以 r= R. 所以 OO1= = R. 体积较小的圆锥的高 AO1=R- R= R, 体积较大的圆锥的高 BO1=R+ R= R, 所以这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 . 关闭 Word 文档返回原板块