山东省潍坊诸城一中2021届高三数学11月模拟试题（Word版附答案） 15页

诸城一中 2021 届高三 11 月份模拟 数 学 一、单项选择题 1．已知集合 2{ | 6 0}A x x x    ， { | 1 0}B x x   ，则 A B  （ ） A． ( ,3] B． ( ,2) C． ( ,1) D．[ 2,1) 2．函数 f（x）＝lnx﹣ +1 的零点所在的大致区间是（ ） A．（1，2） B．（2，e） C．（e，3） D．（3，+∞） 3．已知 sin θ +sin（ θ + ）＝1，则 sin（ θ + ）＝（ ） A． B． C． D． 4．设 x  R ，则“ 2 4x  ”是“ lg(| | 1) 0x   ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5 ． 函 数   3 sin x x x xf x e e   的 图 象 大 致 是 ( ) 6．《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介： 院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角， 有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上甲、乙、丙、丁四人想 根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人 每人模仿一个动作若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不 模仿“扶”的结果有( )种． A．10 B．12 C．14 D．16 7．已知 1( ) x x ef x e a   是定义在 R 上的奇函数，则不等式 2( 3) (9 )f x f x   的解集为 （ ） A． ( 2,6) B． ( 6,2) C． ( 4,3) D． ( 3,4) 8．已知函数 ，若方程 有四个不相等的实根，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9．为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了 20 名肥胖者，健身之前他们的体重（ kg ） 情况如图（1），经过四个月的健身后，他们的体重（ kg ）情况如图（2）． 对比健身前后，关于这 20 名肥胖者，下面结论正确的是（ ） A．他们健身后，体重在[90,100) 内的肥胖者增加了 2 名 B．他们健身后，体重在[100,110) 内的人数没有改变 C．因为体重在[100,110) 内的人数所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影 响 D．他们健身后，原来体重在[110,120) 内的肥胖者体重都有减少 10．将函数 ( ) sin3 3 cos3 1f x x x   的图像向左平移 π 6 个单位长度，得到函数 ( )g x 的图 像，给出下列关于函数 ( )g x 的结论：①它的图像关于直线 5π 9x  对称；②它的最小正周期为 2π 3 ；③它的图像关于点 11π( ,1)18 对称；④它在 5π 19π[ , ]3 9 上单调递增．其中正确的结论的编 号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 11．若10 4a  ，10 25b  ，则（ ） A． 2a b  B． 1b a  C． 28lg 2ab  D． lg6b a  12．已知四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D 的上、下底面均为正方形，其中 2 2AB  ， 1 1 2A B  ， 1 1 1 1 2AA BB CC DD    ，则下列叙述正确的是（ ） A．该四棱台的高为 3 B． 1 1AA CC C．该四棱台的表面积为 26 D．该四棱台外接球的表面积为16π 三、填空题 13．已知函数 2 1( ) 2 , 0( ) 3 4 log , 0 x x xf x x x        ，则 ( (8))f f  ． 14．某工厂质检部要对即将出厂的1000 个零件进行质检，已知每个零件质检合格的概率为 0.95，且每个零件质检是否合格是相互独立的．设质检合格的零件数为 X ，则随机变量 X 的 方差 ( )D X  ． 15．已知 0a  ， 0b  ，且 2a b  ，则 5 1 5a b  的最小值是 ． 16．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为棱CD 上一点，且 2CE DE ， F 为棱 1AA 的中点，平面 BEF 与 1DD 交于点 G ，与 1AC 交于点 H ，则 1 DG DD  ， 1 AH HC  ． 四、解答题 17．（10 分）在① cos2 3sin 2 0B B   ，② 2 cos 2b C a c  ，③ cos 1 3sin b B a A  这三个 条件中任选一个，补充在下面横线处，并加以解答． 已知 ABC△ 的内角 A ， B ，C 所对的边分别是 a ，b ， c ，若 ，且 a ，b ， c 成等差 数列，则 ABC△ 是否为等边三角形？若是，写出证明过程；若不是，请说明理由． 18．（12 分）如图（1），平面四边形 ABCD 中， 2AB AC  ， AB AC ， AC CD ， E 为 BC 的中点．将 ACD△ 沿对角线 AC 折起，使 CD BC ，连接 BD ，得到如图（2） 的三棱锥 D ABC ． （1）证明：平面 ADE 平面 BCD ； （2）已知直线 DE 与平面 ABC 所成的角为 π 4 ，求三棱锥的体积． 19．（12 分）如图，某公园有三条观光大道 AB，BC，AC 围成直角三角形，其中直角边 BC ＝200 m，斜边 AB＝400 m．现有甲、乙、丙三位小朋友分别在 AB，BC，AC 大道上嬉戏， (1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点 B 出发在各自的大道上奔走，乙比甲迟 2 分 钟出发，当乙出发 1 分钟后到达 E，甲到达 D，求此时甲、乙两人之间的距离； (2) 甲、乙、丙所在位置分别记为点 D，E，F.设∠CEF＝θ，乙、丙之间的距离是甲、 乙之间距离的 2 倍，且∠DEF＝π 3 ，请将甲、乙之间的距离 y 表示为θ的函数，并求甲、乙之间 的最小距离． 20．（12 分）网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物 体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等 因素对商家作出评价，评价分为好评、中评和差评．平台规定商家有50 天的试营业时间，期 间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计 0 分，差评计 1 分．某商家 在试营业期间随机抽取100 单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了 图（1）和图（2）： （1）通常收件时间不超过 4 天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓．请根据题目所给信息 完成下面 2 2 列联表，并判断能否有99% 的把握认为“获得好评”与物流速度有关； （2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为 X ．该商家将试营业50 天期 间的成交情况制成了频数分布表，如下表，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成 交单数的概率． ①求 X 的分布列和数学期望； ②平台规定，当积分超过10000 分时，商家会获得“诚信商家”称号．请估计该商家从正式 营业开始，1年内（365 天）能否获得“诚信商家”称号？ 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    ． 21．（12 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 为矩形， APB 是以 P 为直角的等腰 直角三角形，平面 PAB ⊥平面 ABCD ． (1)证明：平面 PAD ⊥平面 PBC ； (2) M 为直线 PC 的中点，且 2AP AD  ，求二面角 A MD B  的余弦值. 22 ．（ 12 分 ） 已 知 函 数 ( ) lnxf x ae x ， 其 中 2.71828e   是 自 然 对 数 的 底 数 ， 2( ) lng x x x a  ， 0a  ． （1）讨论函数 ( )f x 的单调性； （2）设函数 ( ) ( ) ( )h x g x f x  ，若 ( ) 0h x  对任意的 (0,1)x 恒成立，求实数 a 的取值范 围． 诸城一中 2021 届高三 11 月份模拟 数学解析答案 一、单项选择题 1．【答案】A 2．【答案】A 解：函数 f（x）＝lnx﹣ +1 在 x＞0 时，是连续增函数， ∵f（1）＝ln（1）﹣2+1＝﹣1＜0，而 f（2）＝ln2﹣1+1＞ln2＞0， ∴函数 f（x）＝lnx﹣ +1 的零点所在区间是 （1，2），故选：A． 3．【答案】B 4.【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】C 【解析】因为 1( ) x x ef x e a   是定义在 R 上的奇函数，所以 (1) ( 1) 0f f   ， 即 1 11 01 e e e a ae     ，解得 1a  ， 即 1 2( ) 11 1 x x x ef x e e     ，故 ( )f x 在 R 上为增函数， 又 2( 3) (9 )f x f x   ，所以 23 9x x   ，解得 4 3x   ，故选 C． 8．【答案】D 二、多项选择题 9．【答案】ABD 10．【答案】BC 【解析】因为 π( ) sin3 3cos3 1 2sin(3 ) 13f x x x x      ， 所以 π π π( ) 2sin[3( ) ] 1 2sin(3 ) 16 3 6g x x x       ． 令 π π3 π ( )6 2x k k   Z ，得 π π ( )3 9 kx k  Z ， 所以直线 5π 9x  不是 ( )g x 图像的对称轴，①错误； 最小正周期 2π 2π 3T   ，②正确； 令 π3 π( )6x k k  Z ，得 π π ( )3 18 kx k  Z ，取 2k  ，得 11π 18x  ， 故函数 ( )g x 的图像关于点 11π( ,1)18 对称，③正确； 令 π π π2 π 3 2 π2 6 2k x k     ， k  Z ，得 2 π 2π 2 π π 3 9 3 9 k kx    ， k  Z ， 取 2k  ，得10π 13π 9 9x  ；取 3k  ，得16π 19π 9 9x  ，所以④错误， 故选 BC． 11．【答案】 ACD 【解析】由10 4a  ，10 25b  ，得 lg 4a  ， lg 25b  ， 则 lg100 2a b   ， 25lg lg64b a   ， 24lg 2 lg5 4lg 2 lg 4 8lg 2ab      ， 故选 ACD． 12．【答案】AD 【解析】将四棱台补为如图所示的四棱锥 P ABCD ，并取 E ， 1E 分别为 BC ， 1 1B C 的中点， 连接 AC ， BD， 1 1AC ， 1 1B D ， 1AO ，OE ， OP ， PE ， 记四棱台上、下底面中心分别为 1O ， O ， 由条件知 1A ， 1B ， 1C ， 1D 分别为四棱锥的侧棱 PA ， PB ， PC ， PD的中点， 则 12 4PA AA  ， 2OA  ，所以 2 2 1 1 1 32 2OO PO PA OA    ， 故该四棱台的高为 3 ，故 A 正确； 由 4PA PC  ， 4AC  ，得 PAC△ 为正三角形，则 1AA 与 1CC 所成角为 60 ，故 B 不正 确； 四棱台的斜高 2 2 2 21 1 1 14(2 3) ( 2)2 2 2 2h PE PO OE        ， 所以该四棱台的表面积为 2 2 2 2 2 14(2 2) ( 2) 4 10 6 72 2       ，故 C 不正确； 易知 1 1 1 1 0OA OB OC OD    ， 2 2 1 1 2A OO OA OB OC OD      ， 所以O 为四棱台外接球的球心， 所以外接球的半径为 2 ，外接球表面积为 24π 2 16π  ，故 D 正确． 第Ⅱ卷 三、填空题 13．【答案】5 【解析】因为 2(8) 4 log 8 4 3 1f         ，所以 11( (8)) ( 1) ( ) 2 53f f f      ． 14．【答案】 47.5 【解析】由题意可知， ~ (1000,0.95)X B ， ( ) 1000 0.95 (1 0.95) 47.5D X      ． 15．【答案】18 5 【解析】因为 2a b  ，所以 5 1 1 5 1 1 5 26( )( ) ( )5 2 5 2 5 5 b aa ba b a b a b        ． 因为 0a  ， 0b  ，所以 5 25 b a a b   （当且仅当 5 3a  ， 1 3b  时，等号成立）， 所以 5 1 1 26 18(2 )3 2 5 5a b      ． 16．【答案】 1 6 ， 3 8 【解析】如图，G 为平面 BEF 与 1DD 的交点，连接GE ， EF ． 易证 BF∥平面 1 1CDD C ，则 BF GE∥ ，则 AFB DGE△ △∽ ， 则 AF DG AB DE  ，即 1 2 DG DE  ， 又 2CE DE ，所以 1 1 6 DG DD  ． 连接 1AC ，连接 AC 交 BE 于点 M ，过点 M 作 1MN CC∥ ， MN 与 1AC 交于点 N ， 连接 FM ，则 H 为 FM 与 1AC 的交点， 因为 AB CE∥ ，所以 3 2 AM AB MC CE   ，所以 1 3 2 AN AM NC MC   ， 所以 1 3 5 MN CC  ，所以 6 5 MN HN FA AH   ，故 1 3 8 AH HC  ． 四、解答题 17．【解析】选①．∵ 2cos2 1 2sinB B  ，∴ 22sin 3sin 3 0B B   ， 即 (2sin 3)(sin 3) 0B B   ，解得sin 3B   （舍去）或 3sin 2B  ， ∵ 0 πB  ，∴ π 3B  或 2π 3B  ． 又∵ a ，b ， c 成等差数列，∴ 2b a c  ，∴b 不是三角形中最大的边，∴ π 3B  ， ∵ 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，∴ 2 2 2 0a c ac   ，即 a c ， 故 ABC△ 是等边三角形． 选②．由正弦定理，得 2sin cos 2sin sinB C A C  ， 即 2sin cos 2sin( ) sinB C B C C   ，整理，得 2cos sin sin 0B C C  ， ∵ 0 πC  ，∴sin 0C  ，∴ 1cos 2B  ， ∵ 0 πB  ，∴ π 3B  ， ∵ a ，b ， c 成等差数列，∴ 2b a c  ，故 ABC△ 是等边三角形． 选③．由正弦定理，得 sin cos 1 sin 3sin B B A A  ． ∵sin 0A  ，∴ 3sin cos 1B B  ，即 π 1sin( )6 2B   ， ∵ 0 πB  ，∴ π π 5π 6 6 6B    ，∴ π π 6 6B   ，得 π 3B  ． 由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B   ，得 2 2 2 0a c ac   ，即 a c ， 故 ABC△ 是等边三角形． 18．【答案】（1）证明见解析；（2） 6 6 ． 【解析】（1）在三棱锥 D ABC 中， 因为 CD BC ，CD AC ， AC BC C ，所以CD  平面 ABC ， 又 AE  平面 ABC ，所以 AE CD ， 因为 AB AC ， E 为 BC 的中点，所以 AE BC ， 又 BC CD C ，所以 AE  平面 BCD ， 又 AE  平面 ADE ，所以平面 ADE 平面 BCD ． （2）略 19．【答案】解：(1)依题意得 BD＝300，BE＝100. 在△ABC 中，cos B＝BC AB ＝1 2 ，所以 B＝π 3.……………………………………2 分 在△BDE 中，由余弦定理得 DE2＝BD2＋BE2－2BD·BE·cos B ＝3002＋1002－2×300×100×1 2 ＝70 000， 所以 DE＝100 7 答：甲、乙两人之间的距离为 100 7 m. .………………………………6 分 (2)由题意得 EF＝2DE＝2y，∠BDE＝∠CEF＝θ. 在 Rt△CEF 中，CE＝EF·cos∠CEF＝2ycos θ. .…………………………………8 分 在△BDE 中，由正弦定理得 BE sin∠BDE ＝ DE sin∠DBE ， 即200－2ycos θ sin θ ＝ y sin 60° ，.…………………………………10 分 所以 y＝ 100 3 3cos θ＋sin θ ＝ 50 3 sin θ＋π 3 ，0＜θ＜π 2 ，.…………………………10 分 所以当θ＝π 6 时，y 有最小值 50 3. 答：甲、乙之间的最小距离为 50 3 m. .…………………………………12 分 20．【答案】（1）列联表见解析，有99% 的把握认为；（2）①分布列见解析，0.7 ；②不能获 得． 【解析】（1）由题意可得 2 2 (50 15 30 5) 100 100 6.63580 20 55 45 11K         ， 所以有99% 的把握认为“获得好评”与物流速度有关． （2）①由题意可知， X 的所有可能取值为1，0 ， 1 ，每位买家给商家作出好评、中评、差 评的概率分别为 0.8 ， 0.1 ， 0.1 ， 所以 X 的分布列为 所以数学期望 ( ) 1 0.8 0 0.1 ( 1) 0.1 0.7E X         ． ②方法一：设商家每天的成交量为Y ，则Y 的可能取值为 27 ，30 ，36 ， 所以Y 的分布列为 所以 ( ) 27 0.4 30 0.4 36 0.2 30E Y        ． 所以商家每天能获得的平均积分为30 0.7 21  ， 商家一年能获得的积分为 21 365 7665 10000   ， 所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． 方法二：商家每天的平均成交量为 36 10 30 20 27 20 3050       ， 所以商家每天能获得的平均积分为30 0.7 21  ， 商家一年能获得的积分为 21 365 7665 10000   ． 所以该商家在1年内不能获得“诚信商家”称号． 21．【答案】（Ⅰ）证明： ABCD 为矩形， AD AB  ，  平面 PAB  平面 ABCD ，平面 PAB 平面 ABCD AB ， AD  平面 PAB ，…………………………………2 分 则 AD PB ，又 PA PB ， PA AD A  ， PB  平面 PAD ，…………………………………4 分 而 PB  平面 PBC ， 平面 PAD  平面 PBC ； .…………………………………6 分 （Ⅱ）取 AB 中 点 O，分别以 ,OP OB 所在直线为 ,x y 轴建立空间直角坐标系，………7 分 由 2AP AD  ， APB 是 以 P 为 直 角 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 得 ：       2 20, 2,0 , 0, 2,2 , 0, 2,0 , , ,12 2A D B M       ， ………………………8 分 2 3 2 2 3 2 2 2, , 1 , , ,1 , , , 12 2 2 2 2 2MA MD MB                                ． 设平面 MAD 的一个法向量为  , ,m x y z  ， 由 2 3 2 02 2 2 3 2 02 2 m MA x y z m MD x y z                 ，取 1y  ，得  3,1,0m   ；…………………9 分 设平面 MBD 的一个法向量为  , ,n x y z  ， 由 2 3 2 02 2 2 2 02 2 n MD x y z n MB x y z                 ，取 x 1 ，得  1,-1,- 2n .…………………11 分 1cos 5 0,           m nm n m n …………… …………13 分 ∴二面角 A MD B  的余弦值为 10 5 ．………………………12 分 22．【答案】（1） ( )f x 在定义域 (0, ) 上单调递增；（2） 1[ , )e  ． 【解析】（1）因为 ( ) lnxf x ae x ，所以 1( ) (ln )xf x ae x x    ， (0, )x  ． 令 1( ) lnk x x x   ，则 2 1( ) xk x x   ， 当 (0,1)x 时， ( ) 0k x  ，函数 ( )k x 单调递减； 当 (1, )x  时， ( ) 0k x  ，函数 ( )k x 单调递增， 所以 ( ) (1) 1 0k x k   ． 又因为 0a  ， 0xe  ，所以 ( ) 0f x  ，则 ( )f x 在定义域 (0, ) 上单调递增． （2）由 ( ) 0h x  ，得 ( ) ( ) 0g x f x  ，即 2ln lnxae x x x a  ， 所以 ln ln ln( )x x x x x x a ae x ae ae ae    ，即 ln( ) lnx x ae x ae x  对任意 (0,1)x 恒成立． 设 ln( ) xH x x  ，则 2 1 ln( ) xH x x   ． 当 (0,1)x 时， ( ) 0H x  ，函数 ( )H x 单调递增， 且当 (1, )x  时， ( ) 0H x  ；当 (0,1)x 时， ( ) 0H x  ， 若 1xae x  ，则 ( ) 0 ( )xH ae H x  ， 若 0 1xae  ，因为 ( ) ( )xH ae H x ，且 ( )H x 在 (0,1) 上单调递增，所以 xae x ． 综上可知， xae x 对任意 (0,1)x 恒成立，即 x xa e  对任意 (0,1)x 恒成立． 设 ( ) x xG x e  ， (0,1)x ， 则 1( ) x xG x e   ，所以 ( )G x 在 (0,1) 上单调递增， 所以 1( ) (1)G x G ae    ， 即实数 a 的取值范围为 1[ , )e  ．