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- 2021-06-16 发布
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高三数学(文科)试题 第 1页 (共 13页)
吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第一次调研测试
文科数学
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
个是符合题目要求。
1. 已知集合 }06|{ 2 xxxA , }|{ NxxB ,则 BA
A. }2,1{ B. }2,1,0{ C. }3,2,1{ D. }3,2,1,0{
2. 下列函数中最小正周期为 的函数的个数是
① |sin| xy ; ② )32cos( xy ; ③ xy 2tan
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. 下列向量中不是单位向量的是
A. )0,1( B. )1,1( C. )sin,(cos D. )0|(|||
aa
a
4. 为了得到函数 )42
1cos( xy 的图象,可将函数 xy 2
1cos 的图象
A. 向左平移
4
个单位 B. 向右平移
4
个单位
C. 向左平移
2
个单位 D. 向右平移
2
个单位
5. 设角 的始边为 x轴非负半轴,则“角 的终边在第二、三象限”是“ 0cos ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 等差数列 na 中, 5 10 15 30a a a ,则 22 162a a 的值为
A. 10 B. 20
C.10 D.20
7. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 )(xf 在区间 ),0[ 是单调增函数,若 )2()1( faf ,
则实数 a 的取值范围是
A. 31 a B. 1a 或 3a
C. 13 a D. 3a 或 1a
8. 已知 21,ee 是两个夹角为 60 的单位向量,若 2121 32, eebeea ,且 ba ,则
高三数学(文科)试题 第 2页 (共 13页)
A.
2
3 B.
3
2
C.
4
1 D.
8
7
9. 已知某函数的图象如右图所示,则该函数的解析式可能是
A. xe
ey x
x
cos)1
1(
B. 22 2|| xy x
C. 2||2 || xy x
D. xxy cos)1( 2
10. 某兴趣小组对函数 )(xf 的性质进行研究,发现函数 )(xf 是偶函数,在定义域 R 上满足
)1()1()1( fxfxf ,且在区间 ]0,1[ 为减函数.则 )3(f 与 )2
5(f 的关系为
A. )2
5()3( ff B. )2
5()3( ff
C. )2
5()3( ff D. )2
5()3( ff
11. 《周髀算经》中给出了弦图,所谓弦图(如图)是由四个全等的直角三角
形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形,若图中直角三角形两锐角分
别为 , ,且小正方形与大正方形面积之比为 25:1 ,则 )cos( 的
值为
A.
25
24 B.1
C.
25
7 D. 0
12. 已知函数 )2()(,1,
1,ln)( fkxxgxxe
xxxf x
,对 ]3,3[, 21 xRx ,使得
)()( 21 xgxf 成立,则 k 的取值范围是
A. ]6
1
3
1,(
e B. )6
1
3
1[ ,
e
高三数学(文科)试题 第 3页 (共 13页)
C. ]6
1
3
1,6
1
3
1[
ee D. ]6
1
3
1,(
e
)6
1
3
1[ ,
e
二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。
13. 已知复数 iz 32 ,则 |1| z ________.
14. 已知函数 xaxf 1)( 0( a 且 )1a ,若 )2020()2021( ff ,则实数 a 的取值范围
是_______.
15.有一个数阵排列如下:
1 2 4 7 11 16 22……
3 5 8 12 17 23…………
6 9 13 18 24………………
10 14 19 25……………………
15 20 26…………………………
21 27………………………………
28……………………………………
………………………………………
则第 40 行从左至右第 6 个数字为 .
16. 如图所示,滨江公园内有一块三角形形状的草坪 ABC ,经测量
得, mBCmACmAB 1310,40,30 ,在保护草坪的同
时,为了方便游人行走,现打算铺设一条小路 DE (其中点 D 在
边 AB 上,点 E 在边 AC 上),若 DE 恰好将该草坪的面积平分,
则 ED, 两点间的最小距离为 m .
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分 10 分)
已知数列 nb 满足 1 1
11, 2n nb b b ,
(I) 求 nb 的通项公式;
(II)求 2 4 6 2nb b b b 值.
高三数学(文科)试题 第 4页 (共 13页)
18.(本小题满分 12 分)
已知函数 )3cos(sin2)( xxxf , Rx ,
(I) 求函数 )(xf 的对称中心;
(II)若存在 ]4
3,4[0
x ,使不等式 mxf )( 0 成立,求实数 m 的取值范围.
19.(本小题满分 12 分)
在 ABCΔ 中, cba ,, 分别是内角 CBA ,, 的对边, CbBca cos3sin3 ,
(I) 求角 B 的大小;
(II)若 4b ,且 ABCΔ 的面积等于 34 ,求 ca, 的值.
高三数学(文科)试题 第 5页 (共 13页)
20.(本小题满分 12 分)
已知函数 xxaaxxf 32
12
3
1)( 23 ,
(I) 当 2a 时,求函数 )(xf 的单调区间与极值;
(II)是否存在正实数 a ,使得函数 )(xf 在区间 ]1,1[ 上为减函数?若存在,请求 a 的取
值范围;若不存在,请说明理由.
21.(本小题满分 12 分)
已知数列 na 的首项 1 3a ,且满足 1
1 2 2 1n
n na a
,
(I) 设 1
2
n
n n
ab ,证明 nb 是等差数列;
(II)求数列 1na 的前 n项和 nS .
高三数学(文科)试题 第 6页 (共 13页)
22. (本小题满分 12 分)
设函数 xxmxf 2ln)( ,
(I) 当 2m 时,求函数 )(xf 在点 ))1(,1( f 处的切线;
(II)当 1m 时,曲线 )(xfy 上的点 )0)(,( 000 xyx 处的切线与 2xy 相切,求满
足条件的 0x 的个数.
吉林市普通中学 2020—2021 学年度高中毕业班第一次调研测试
文科数学参考答案
一、选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D C B C A A A C B B A D
二、填空题
13. 3 2 14. (0,1) 15. 1030 16. 10 6
17【解析】
(1)由 1
1
2n nb b 得 1 1
2
n
n
b
b
....................................................1
分
nb 为等比数列,且首项 1 1b 公比 1
2q .......................................3
分
高三数学(文科)试题 第 7页 (共 13页)
所以 nb 的通项公式为
11( )2
n
nb ..............................................5 分
(2)设 2n na b ,则
2 1
21 2 2
2 12
1( ) 1 12 ( )1 2 4( )2
n
n n
nn n
a b
a b
...........................7
分
所以 2nb 是首项为 1
2
,公比 1
4
的等比数列.......................................8
分
所以
2 4 6 2
1 1[1 ( ) ] 2 12 4 [1 ( ) ]1 3 41 4
n
n
nb b b b
...........................10 分
18【解析】(1)由题得, )3sinsin3cos(cossin2) xxxxf ( xxx 2sin3cossin
)2cos1(2
32sin2
1 xx
2
32cos2
32sin2
1 xx
2
3)32sin( x ……………………………………………………4
分
令 kx
32 )( Zk ,得
62
kx )( Zk
所以,函数 )(xf 的对称中心为 )2
3,62( k )( Zk …………………………………6
分
(2) 因为存在 ]4
3,4[0
x ,使不等式 mxf )( 0 成立,所以 m 大于 )(xf 的最小值………8
分
高三数学(文科)试题 第 8页 (共 13页)
由
4
3
4
x ,得
6
7
326
x ,
当
6
7
32 x ,即
4
3x 时, )(xf 取最小值
2
13 ,
所以
2
13 m ,则 m 的取值范围为 ),2
13( .………………………………………
12 分
19【解析】
(1)由正弦定理得 3sin sin sin 3sin cosA C B B C
因为 A B C ,所以 3sin( ) sin sin 3sin cosB C C B B C
即 3(sin cos cos sin ) sin sin 3sin cosB C B C C B B C ………………………………2 分
化简,得 3 cos sinB B …………………………………………………………………………4
分
因为 (0, )B ,所以
3B ………………………………………………………………………6
分
(2)由(1)知
3B ,因为 4b ,所以由余弦定理,得
2 2 2 2 cosb a c ac B ,即 2 2 24 2 cos 3a c ac
化简,得 2 2 16a c ac ①………………………………………………………………………8
分
因为该三角形面积为 4 3
所以 1 sin 4 32 ac B ,即 16ac ②……………………………………………………………10
分
联立①②,解得 4a c …………………………………………………………………………12
分
20【解析】
(1)当 2a 时, 2'( ) (2 5 3) ( 1)(2 3)f x x x x x ........................1 分
令 '( ) 0f x ,解得 31 2x 或- , ...................................2 分
x 3
2
(- ,- ) 3
2
3
2
(- ,-1) -1 +(-1, )
'( )f x + 0 - 0 +
( )f x 增 极大值 减 极小值 增
高三数学(文科)试题 第 9页 (共 13页)
.....................3
分
所以, ( )f x 的增区间为 3
2
(- ,- ), +(-1, ), ....................................4
分
( )f x 的减区间为 3
2
(- ,-1) ...........................................5
分
( )f x 的极大值为 3 9( )2 8f , ...........................................6
分
( )f x 的极小值为 7( 1) 6f ............................................7
分
(2)依题意: 2'( ) (2 1) 3 0 1,1f x ax a x 在 上恒成立 ........................9
分
又因为 0a ,所以,
0
'( 1) 0
'(1) 0
a
f
f
,.........................................10
分
【说明】(1)此处只使用判别式小于等于 0 加上 a>0 的不给分;
(2)若使用变量分离的,需要分类讨论,可以酌情给分;
即
0
2
4
3
a
a
a
即无解。 所以,不存在满足条件的正实数 a ......................12
分
【说明】(1)此处若结算结果都正确,只结论错误,只扣 1 分;
(2)此处若计算结果不正切,不给分;
21.【解析】
(1)解法一:将等式 122 1
1
n
nn aa 两边都减去1得 1
1 2)1(21
n
nn aa .........2
分
再除以 12 n 得 12
1
2
1
1
1
n
n
n
n aa ,即 11 nn bb .................................4
分
即 11 nn bb . 且
高三数学(文科)试题 第 10页 (共 13页)
12
11
1 ab .................................................5 分
所以 nb 是首项为1,公差为1的等差数列.........................................6
分
解法二:由 n
n
n
ab 2
1 得 1
1
1 2
1
n
n
n
ab ..........................................1
分
将 122 1
1
n
nn aa 代入上式得 12
1
2
12
2
222
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
aaab ...3
分
因 此 11 nn bb . 且
12
11
1 ab ..............................................5 分
所以 nb 是首项为1,公差为1的等差数列........................................6
分
(2) 由(1)知 nb n ,所以 1 , 2 12
nn
n nn
ab n a n .........................7
分
所 以
1 2n
na n ...........................................................8 分
则 2 31 2 2 2 3 2 2 n
nS n ...........................①
2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 2 n
nS n .........................②
① - ② 得 :
2 3 12 2 2 2 2n n
nS n ..................................10 分
1 12(2 1) 2 (1 n)2 2n n n
nS n
所 以
1(n 1)2 2n
nS .....................................................12 分
【说明】在求 nS 时,也可以用 1 2n
n nc c n ,采用累加法求和.其中 (n 2)2n
nc .
22【解析】
高三数学(文科)试题 第 11页 (共 13页)
(I)当 2m 时, 2'( ) 2f x x
, ...............................................1
分
'(1) 0k f ..........................................
2 分
即 切 线 方 程 为
2y .........................................3 分
(II)当 1m 时, 1 1 2'( ) 2 xf x x x
.........................................4
分
则曲线 ( )y f x 上的点 0 0 0( , )( 0)x y x 处的切线方程为
0 0
0 0 0 0
0 0
1 2 1 2(ln 2 ) ( ) ln 1x xy x x x x y x xx x
即 .................... 5
分
设直线l 与 2y x 相切于点 2
1 1( , )x x ,即切线方程为 2
1 12y x x x .................6
分
<方法一>即
20
1 20
0 0 0 0 0
02
0 1
1 2 2 1 21 ln 4 ln 4 1 02ln 1
x x xx x x x xxx x
即 即 ................7
分
2( ) 4 ln 4 1, '( ) 8 ln 4 4, ''( ) 8ln 12g x x x x g x x x x g x x 令 则
3
2''( ) 0,g x x e
令 得 ,
3 3
2 2'( )g x
即 在(0,e )单调递减,在(e ,+ )单调递减增
3 3
2 2
min'( ) '( ) 8 4 0g x g e e
即 ......................................9
分
3
2(0, ) 8ln 12 0, '( ) (8ln 12) 4 4x e x g x x x
当 时, 即 ,
1 '( ) 0x g x 当 时, ,
高三数学(文科)试题 第 12页 (共 13页)
所以, (0,1) '( ) 0x g x 当 时, , (1, ) '( ) 0x g x 当 时, ,
( ) 1g x 即 在(0,1)单调递减,在( ,+ )单调递减增,
min( ) (1) 3 0g x g 即 ...............................................1
0 分
4 2 2 2
2
2 4 2 4 4
1 8 4 4 8 ( 4) 8( ) 1 0, ( ) 4 4 1 0e e e eg g e e ee e e e e
又因为 且
..................................................11
分
2
1( ) 0 1g x e
在( ,1)和( ,e)上各有1个零点,
( ) 0 1g x 在(0,1)和( ,+ )上各有1个零点,
2
0 0 0 04 ln 4 1 0x x x x 即 有两个实根,即满足条件的 有2个. .............12
分
<方法二>即
20
1 0
0 0 0 2
0 0 02
0 1
1 2 2 1 2 1 11 ln ln + 02 4ln 1
x x xx x xx x xx x
即 即 .................7
分
2
2 3 2 3
1 1 1 1 1 2 2 1( ) ln , '( )4 2 2
x xg x x g xx x x x x x
令 则
1 3 1 3'( ) 0, ( )2 2g x x 令 得 或 舍 ,..................................9
分
1 3 1 3( ) 2 2g x 即 在(0, )单调递减,在( ,+ )单调递减增
min
1 3( ) ( ) 02g x g 即 ......................
.....................10 分
2
1( ) 0, ( ) 0g g ee
又因为 且 ...................................................1
1 分
2
1 1 3 1 3( ) 0 2 2g x e
在( , )和( ,e)上各有1个零点,
( ) 0 1g x 在(0,1)和( ,+ )上各有1个零点,
高三数学(文科)试题 第 13页 (共 13页)
0 02
0 0
1 1ln 04x xx x
即 有两个实根,即满足条件的 有2个.......................12
分
命题、校对:高三数学核心组