【数学】河南省十所名校2021届高三上学期毕业班尖子生第二次考试（12月）试题（理）（扫描版）（解析版） 11页

河南省十所名校 2021 届高三上学期毕业班尖子生第二次 考试（12 月）数学试题（理） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一 项是符合题目要求的． 1．设集合 M＝{x｜ 1 x ＜1}，N＝{x｜log2（x－1）＜1}，则（ ） A．M  N B．M∩N＝ C．N  M D．M∪N＝R 2．若实数 a，b 满足 a＋b＞2，则下列结论中一定正确的是（ ） A．a，b 都大于 1 B．a，b 中至多有一个大于 1 C．a，b 中一个大于 1，一个小于 1 D．a，b 中至少有一个大于 1 3．已知命题 p： x ∈（0， 2  ），x－sinx＞0，命题 q： x ∈R， 2 2 1sin cos3 3 3 x x＋ ＝ ，则 （ ） A．p∨q 是假命题 B．p∧q 是真命题 C．p∨（ q ）是假命题 D．p∧（ q ）是真命题 4．已知正项等比数列{ na }的前 n 项和为 nS ，且 4S ＝ 210S ， 5a ＝ 27 ，则 1a ＝（ ） A． 1 3 B． 3 3 C． 3 D．3 5．计算 21 cos 70 1 cos40   － ＋ ＝（ ） A． 4 5 B． 3 4 C． 2 3 D． 1 2 6．已知等边 △ ABC 的边长是 1，点 M 满足 1 1 3 3AM AB AC   ＝ ＋ ，则 MB  · MC  ＝（ ） A．－ 1 12 B．－ 1 6 C．－ 1 3 D．－ 1 2 7．已知函数 f（x）的图象关于直线 x＝1 对称，且当 x≥1 时，f（x）＝ 1 2 x    ．设 a＝ f（ln 27），b＝ 3 1log 2f     ，c＝ 1 32f       － ，则（ ） A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a 8．有以下四个函数：①y＝－x·sin（－x），②y＝x·cos（－x），③ 1 sin2y x x＝ － ，④y＝cosx2．它 们的部分图象大致如下，按照图象的顺序，对应的函数解析式依次为（ ） A．①④②③ B．④①③② C．①③②④ D．②④①③ 9．已知等差数列{ na }的公差为 d （ d ≠ 0），前 n 项和为 nS ，数列{ nb }满足 1b ＝ 3S ， 1nb ＋ ＝ 3 3nS ＋ － 3nS ， n N ∈ ，则“ 1b ， 2b ， 5b 依次成等比数列”的充要条件是（ ） A． 1a d＝ B． 1 3 2a d＝ C． 1 2a d＝ D． 1 2 da＝ 10．已知两个单位向量 e1，e2，函数 f（t）＝（te1＋e2）·（e1＋te2），若当 t＝－ 2 3 3 时， f（t）取最小值，则 e1，e2 的夹角为（ ） A． 6  B． 4  C． 3  D． 6  或 5 6  11．对任意 x∈R 都有 f（x）＋2f（－x）＝3cos2x－sin2x，将函数 f（x）的图象向左平移 t （t ＞0）个单位长度后，得到函数 g（x）的图象，若 g（x）＝ 8g x    － － ，则实数 t 的最小值为（ ） A． 3 8  B． 5 8  C． 3 16  D． 5 16  12．设函数 f（x）在 R 上存在导数  f x ，对于任意的实数 x，都有 f（x）＋f（－x）＋2x2 ＝0，当 x＞0 时，  f x ＋ 2x ＜1，若 f（m）≥f（1）－m2＋m，则实数 m 的最大值为（ ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．函数   tan 2 6 xf x     ＝ ＋ 的最小正周期为__________． 14．若数列{ na }的通项公式为    1 1n na n＝ － － ，其前 n 项和为 nS ，则 2021S ＝__________． 15．已知 x，y 满足约束条件 1 0 2 2 0 0 x y x y y    ＋ － ≤ ， ＋ ＋ ≥ ， ≤ ， 且 z＝ax－by（a＞0，b＞0）的最大值为 1，则 2 1 a b ＋ 的最小值为__________． 16．已知函数    ln 1 1 1 1 1 x x f x x x   － － ， ＜－ ， ＝ － － ， ≥－ ， 若关于 x 的方程 f2（x）＋3af（x）＋a2－5＝ 0 有 9 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是__________． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 已知数列{ na }是递增的等差数列，且 1a ＝1， 3 5 91a a ＝ ． （Ⅰ）求{ na }的通项公式； （Ⅱ）求正整数 m ，使得 1 2 5 123m m m ma a a a＋ ＋ ＋＋ ＋ ＋…＋ ＝ ． 18．（12 分） 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2＋c2－a2＝ 3 bc． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若△ABC 的外接圆的半径为 2，求△ABC 面积的最大值． 19．（12 分） 已知函数 f（x）＝x3＋2ax2－4x＋4，a∈R． （Ⅰ）若 a＝1，求曲线 y＝f（x）的过坐标原点的切线方程； （Ⅱ）若 f（x）在（0，1）上有极值点，求 a 的取值范围． 20．（12 分） 设数列{ na }的前 n 项和为 nS ，且 2S ＝10 ， 1na ＋ ＝ 3 nS ＋ 2 ．数列{ nb }满足 1b ＝ 1a ， 1nb ＋ － nb ＝ 2 2 1 1 log logn na a ＋ ． （Ⅰ）求{ na }的通项公式． （Ⅱ）是否存在正整数 m ， k （ m ≠ k ），使得 2b ， mb ， kb 成等差数列?若存在，求出 m ， k 的值；若不存在，请说明理由． 21．（12 分） 如图所示，在△ABC 中，AB⊥BC，AD＝DE，∠DAE＝∠ACB，BD＝1． （Ⅰ）求 CE 的长； （Ⅱ）若 E 为 CD 的中点，求 cos∠EAC． 22．（12 分） 已知函数 f（x）＝－mx＋lnx＋1，    1 ln 1 x xg x x ＋＝ － ． （Ⅰ）讨论函数 f（x）的单调区间与极值； （Ⅱ）若对任意的 x1∈[1，2]，x2∈[2，＋∞），f（x1）－g（x2）＜1 恒成立，求 m 的取值范 围．附：ln 2≈0．69． 参考答案