全国名校2021届高考复习策略：数学 78页

科学高效谋发展 改革创新求突破 ——2021年高三备考策略 衡水中学 孙金宁 精研细磨，高效务实 1 2 3 研文件明方向 2021备考启示 研真题悉规律 课程标准要求 背景分析 2018年： 考试中心为高考定调 围绕高考核心功能，全面深化考试内容改革. 高考的核心功能：立德树人；服务选才；引导教学. 高考的主要任务：立德树人“一堂课”； 服务选才“一把尺”； 引导教学“一面旗”. 高考的命题要求：科学设计考试内容； 优化髙考选拔功能； 强化能力立意与素养导向； 助力推动中学素质教育. 2018年：考试中心为高考命题定调 1.高考命题要增强基础性，考查学生必备知识和关键能 力； 2.高考命题要增强综合性，体现学生综合素质和学科 素养； 3.高考命题要增强应用性，注重理论密切联系实际； 4.高考命题要增强探究性和开放性，考查学生的创新意 识和创新能力. 数学学科加强理性思维考查，体现创新性. 2019.6.11国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方 式改革的指导意见 一）指导思想。坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，深入贯彻党的十九大和十九届二中、三中全会精神，全面贯彻党的教育方针，落实立德树人根本任务，发展素质教育，遵循教育规律，围绕凝聚人心、完善人格、开发人力、培育人才、造福人民的工作目标，深化育人关键环节和重点领域改革，坚决扭转片面应试教育倾向，切实提高育人水平，为学生适应社会生活、接受高等教育和未来职业发展打好基础，努力培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。 （十五）深化考试命题改革。高等学校招生全国统一考试 命题要以高中课程标准和高校人才选拔要求为依据，实施新 课程的省份不再制定考试大纲。优化考试内容，突出立德树 人导向重点考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能 力。创新试题形式，加强情境设计，注重联系 社会生活实际，增加综合性，开放性，应用性， 探究性试题 2020年10月16日，中考体育冲上热搜，引发广泛关注。 今天上午，教育部召开新闻发布会，就中共中央办公厅、国务院办公厅《关于全面加强和改进新时代学校体 育工作的意见》《关于全面加强和改进新时代学校美育工作的意见》这两个重磅文件进行解读。 2022年将全面实行美育中考 在今天上午教育部举行的新闻发布会上，教育部体育卫生与艺术教育司司长王登峰表示，美育方面，全国已 有部分地区启动美育中考，将力争2022年全面实行美育中考。 中考体育将达到和语数外同分值水平 王登峰表示，学校的体育中考要不断总结经验，逐年增加分值，要达到跟语数外同分值的水平。“目前全国 有一家，云南省已经做到了从今年开始体育中考跟语文数学外语一样都是100分。而在此基础上，我们通过不 断总结经验，立即启动体育在高考中计分的研究。 新华社北京10月15日电 近日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面 加强和改进新时代学校体育工作的意见》和《关于全面加强和改进新时代学校美 育工作的意见》，并发出通知，要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实。 5.加强体育课程和教材体系建设。学校体育教材体系建设要扎根中国、融通中外， 充分体现思想性、教育性、创新性、实践性，根据学生年龄特点和身心发展规律， 围绕课程目标和运动项目特点，精选教学素材，丰富教学资源。 6.推广中华传统体育项目。认真梳理武术、摔跤、棋类、射艺、龙舟、毽球、五 禽操、舞龙舞狮等中华传统体育项目，因地制宜开展传统体育教学、训练、竞赛 活动，并融入学校体育教学、训练、竞赛机制，形成中华传统体育项目竞赛体系。 7.强化学校体育教学训练。逐步完善“健康知识+基本运动技能+专项运动技能” 的学校体育教学模式。教会学生科学锻炼和健康知识，指导学生掌握跑、跳、 投等基本运动技能和足球、篮球、排球、田径、游泳、体操、武术、冰雪运动 等专项运动技能。 《关于全面加强和改进新时代学校美育工作的意见》全文如下。 美是纯洁道德、丰富精神的重要源泉。美育是审美教育、情操教育、心灵教育， 也是丰富想象力和培养创新意识的教育，能提升审美素养、陶冶情操、温润心灵、 激发创新创造活力。为贯彻落实习近平总书记关于教育的重要论述和全国教育大 会精神，进一步强化学校美育育人功能，构建德智体美劳全面培养的教育体系， 现就全面加强和改进新时代学校美育工作提出如下意见。 一、总体要求 1.指导思想。以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导，全面贯彻党的教育 方针，坚持社会主义办学方向，以立德树人为根本，以社会主义核心价值观为引 领，以提高学生审美和人文素养为目标，弘扬中华美育精神，以美育人、以美化 人、以美培元，把美育纳入各级各类学校人才培养全过程，贯穿学校教育各学段， 培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。 4.树立学科融合理念。加强美育与德育、智育、体育、劳动教育相融合，充分 挖掘和运用各学科蕴含的体现中华美育精神与民族审美特质的心灵美、礼乐美、 语言美、行为美、科学美、秩序美、健康美、勤劳美、艺术美等丰富美育资源。 研究命题改革1 （1）高考命题改革冲击了落后的教学传统 近年高考全国卷的命题改革，绝不迁就中学教学“重知 识轻能力”的习惯。 命题坚持以能力和素养考查为主导，优化考试内容，改 进命题方法，试题较好地发挥了高考应有的选拔功能， 使得多年以来“高分低能”的现象大为减少，从而给传 统、僵化的教学习惯以强有力的冲击。 研究命题改革1 （2）高中教学特别是备考复习的短板暴露无遗 高考命题改革特别是考试内容的优化，使高中教与学多 年存在的问题和不足日益显露出来： ●阅读理解力欠缺，知识面狭窄，阅读量小； ●对重要事实、概念、原理的理解深度、广度不够； ●知识整合不到位，没有形成完整的学科体系； ●独立思考能力和创新能力缺失； ●答卷规范、解题技巧和书面表达水平亟待提高； 等等…… 研究命题改革1 （3）变革教学是摆脱高考备考困境的唯一出路 斯塔弗尔比姆指出：“评价最重要的意图不是为了 证明，而是为了改进。”要通过分析评价高考试题和有 关高考数据，认识教与学的欠缺，及时改进和提高教学。 “研究高考试题就是和命题专家对话”。无论教师 还是学生都要深入研究高考试题，领会高考试题的设计 思路和考查意图，反思教与学存在问题与不足，变革教 学与复习，由全面覆盖、盲目备考转向精准备考。 一、高考怎么考——考查方向 1.立德树人：高考再怎么重要，它也是教育的一环， 都必须服从于我国教育“立德树人”这一根本目标。 而独特的历史和文化是立德树人的底气，今后高考 将更加重视传统文化的考查。高考命题也将不拘泥 于“固定”的教材。 一核（考查目的）：立德树人、服务选才、引导教学。 14 2.服务选才：做精“一把尺”全面提升选拔效能。 高考是选拔性考试，是为了给高等学校尤其是高水平大 学挑选合适人才，试题必须有难度，能将不同水平的考生区 分开来。所以大家对高考试题的难度要有充分心理准备，不 能一厢情愿地认为高考要改革了、上大学容易了，命题难度 就会下降。 一核（考查目的）：立德树人、服务选才、引导教学。 一、高考怎么考——考查方向 15 3.引导教学：树好“一面旗” 其实就是说“高考=教学的指挥棒=学习的指挥棒”， 它引导着教学改革的方向，也引导着我们学习的方向！主要 体现在课堂上, 对于我们来说，就是高三的课堂，我们到底 要学会什么？ 一核（考查目的）：立德树人、服务选才、引导教学。 一、高考怎么考——考查方向 16 四层（考查内容）： 必备知识、 关键能力、 学科素养、核心价值 空间想像能力： 抽象概括能力： 推理论证能力： 运算求解能力： 数据处理能力： 数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算 数学建模 数据分析 一、高考怎么考——考查方向 17 解决实际问题的能力 （1）能从复杂新颖情景中提取有效信息； （2）能够独立思考，通过逻辑思辨，提出自己独立的、甚至创造性 的看法或方案，形成正确态度； （3）能够对结论或方案的合理性可行性进行基于与逻辑与事实的推 理论证； （4）能够根据目标与约束条件，确定可行的选择方案空间； （5）能够与他人有效沟通和交流自己的看法。 四层（考查内容）： 必备知识、 关键能力、 学科素养、核心价值 一、高考怎么考——考查方向 18 数学核心素养历史沿革 五个能力:空间想象,抽象概括,推理论证,运算求解,数据处理 三个能力:空间想象, 逻辑推理,运算求解 数学素养:数学抽象,直观想象,逻辑推理,数学运算,数学建模,数据分析 知识立意——能力立意——素养立意 知识立意;单纯考查学生知识掌握的熟练程度 素养立意：学生通过学习，养成了敢于创新， 勇于实践，不畏困难，善于解决实际问题， 具有很强的分辨能力，成为了本身发展的个 人素养 能 力 立 意 向 素 养 导 向 能力立意向素养导向转向（表现、目标、情境、条 件、要素、结构） 向转 考查目的从关注知识到关注人突出表现 考核目标 从常规问题解决技能到创造性的探究能力 考查情境 从学科知识化到真实情境化 试题条件 从结构良好到结构不良 试题要素 从单一因素到复合因素 试题结构 从碎片到整体 素养导向的高考命题（一“重视”、三“注重”、 一“有利于”） 素 养 导 向 的 高 考 命 题 重视学科观念，学科规律的考查重视 注重 有利于 注重科学思维的考查，严谨思维、科学态度 注重科学探究能力的考查，开放性、探究性 注重情境化试题的考查，学生学科素养的情境 有利于学生养成严谨的科学态度，培养主动性 数 学 学习的 终 极 目 标 1. 会用数学的眼光观察现实世界； (数学抽象 逻辑推理) 2. 会用数学的思维思考现实世界； (数学建模 直观想象) 3. 会用数学的语言表达现实世界. (数学运算 数据分析) 即教会学生用数学学科的思想方法和思维方式去分析、解 决问题. 数学核心素养 题 号 2018卷2 2019卷2 2020卷2 1 复数3 集合3 集合3 2 集合3 复数3 3 函数图像 向量3 概率（新冠情境）2 4 向量3 航天情境 数列（天坛情境） 5 双曲线3 统计（数字特征） 直线与圆1 6 解三角形 不等式（指对）2 等比数列1小 7 框图 立体几何与充要条件 8 概率（信息题）2 解析几何（抛物线与椭圆概 念） 双曲线的性质3 9 立体几何 三角函数（单调性）2 函数性质3 10 三角函数性质2 三角函数求值 球与三角形 11 函数性质3 双曲线的离心率3 不等式（指对）2 12 椭圆离心率 函数性质3 情境（通讯技术为背景求和） 题号 2018年卷2 2019年卷2 2020年卷2 13 函数的切线2 情境（高铁背景求平均数） 向量3 14 线性规划 函数性质3 排列组合 15 三角函数求角 解三角形 复数3 16 圆锥侧面积3 立体几何（金石文化背景） 3 立体几何（线面位置关系）3 17 数列 立体几何（二面角）1 解三角形 18 统计概率建模 概率（乒乓比赛为背景） 统计概率（沙漠治理为背景 数据统计） 19 抛物线与圆 数列（等差、等比性质） 解析几何（椭圆抛物线离心 率与方程） 20 立体集合（三棱锥 求线面角）2 函数性质（零点及切线）2 立体几何（线面角）2 21 函数零点与证明 椭圆（求三角形面积） 三角与导数（证明） 22 极坐标与绝对值不 等式 极坐标与绝对值不等式 极坐标与绝对值不等式 1.2021年全国二卷各知识板块的难度与题序不会一 成不变，命题者很可能根据会根据课改等情况作适 当的调整和创新。主干知识仍支撑整个试卷，常规 题型依旧是数学试卷的主流，考查的扔将是现行高 中教材中最基本，最重要的数学知识和数学方法 2.集合、向量、复数、双曲线基本概念及性质、等差 比数列的性质、球的组合体，函数性质一如既往持 续考查，压轴小题为立体几何或函数或创新 根据课程内容的调整，基本逻辑连接词中的且与或， 命题的四种形式，映射的概念，中心投影和平行投 影，二元一次不等式组及简单的线性规划，几何体 的三视图，程序框图，系统抽样，茎叶图，几何概 型，定积分与微积分基本定理，数学归纳法，不作 高考要求 3.函数与导数、立体几何、解析几何内容在试题中所占 分值仍会很大，解析几何难度 估计要后移，难度基本 持平，立体几何适当前移难度相对会降低，但会加强 对运算能力的考查，导数解答题的难度会加大 4.会高频出现数学文化，社会生活，科技文明为背景的 情境创新题，要求考生对试题所提供的数学信息材料 进行整理分析，构建数学问题的直观题型，在试题营 造的数学氛围中，感受中国优秀的数学思想 5.对概率统计的解答题的命制会注重考查图表数据分析 能力，强调概率与统计的应用性，充分体现概率统计 是为生产，生活相关决策提供帮助的重要工具，使考 生体会到数学知识与现实生活息息相关，题目可能设 计开放性，答案不唯一，只要考生结合概率统计知识 把问题想清楚，说明白就可得分 一 强化情境试题 • 情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境等，是体现数学学 科核心素养的主要方面。高考命题中设计以下四类题目： • 一是基础性为主的试题：以问题情境为载体，加强对基本概 念，、原理、思想方法的考察，体现高考试题的“基础性”，已 引导学生重视学科的基础内容，确保学生基础扎实； • 二是综合性为主的试题：选择生产生活中的真实案例，参照 学生的实际认知水平，进行合理的简化或处理来设置问题情境。 已实现在多模块或多学科知识的背景下，有效考查学生综合运用 知识和能力的水平，体现高考试题的“综合性”； • • 三是应用性为主的试题：选取工业生产、产品制造、 技术论证以及政策讨论等实际存在的实际问题作为问 题情境，可增强试题的开放性和探究性，引导学生打 破常规进行独立思考和判断，提出解决问题的方案， 体现高考试题的“应用性”； • 四是创新性为主的试题：选取与社会实际密切相 关的问题情境，要求学生多角度、开放式思考问题， 以考查学生独立思考、对问题或观点提出不同看法并 进行论证的能力、敢于质疑与批判的思维能力，考查 学生创造性地运用知识去发现新规律、研发新理论、 开发新技术，未指定新政策、开拓新领域提供支撑的 能力，是学生创新思维和意识的“创新性”。 考查要求 考查内容 考查载体 命题要求 基础性 构成学科素养基础 的必备知识和关键 能力 基本层面的问题情 境 要求学生调动单一的知识或技能解决问题 综合性 必备知识 关键能力 学科素养 核心价值 综合层面的问题情 境 要求学生在正确思想观念引领下，综合运用多 种知识或技能解决问题 应用性 必备知识 关键能力 学科素养 核心价值 生活实践 问题情境或学习探 索问题情境 要求学生在正确思想观念引领下，综合运用多 种知识或技能来解决生活实践中的应用性问题 创新性 必备知识 关键能力 学科素养 核心价值 开放性的生活实践 问题情境或学习探 索问题情境 要求学生在正确思想观念引领下，在开放性的 综合情境中创造性地解决问题，形成创造性地 结果或结论 附：基于情境和情境活动的命题要求 课程学习情境：关注学生已有知识基础和入学准备程度， 概念、原理、运算、推理等问题情境，主要体现基础性和 综合性。 探索创新情境：关注与未来的关联和数学学科内容的更 深入探索，着重体现创新性。 社会实践情境：关注数学与其它学科和社会生活的关联， 包括现实生活、生产实际、科学研究等问题。着重体现 应用性。 三种问题情境在高考数学中将发挥不同的作用：以课程 学习情境为检验基础的量尺，以探索创新情境为区分甄选的手 段，以生活实践情境为拓展应用的渠道。在保持课程学习情境 试题占一定比例的前提下，增加探索创新情境和生活实践情境 试题的比例，以更好实现学科素养和关键能力的考查目标。 1.概率统计 时代赋予了新的含义，近几年全国卷出现了好多经典试题， 有效地考查考生的运算求解能力、数据处理能力及应用意识。 此类试题表述最长，越来越显选拔性。 概率统计给出的信息量大和文字多是主要特点，考查同学 们阅读理解和数据统计能力，概率统计改为统计概率，在解答 题设置上重统计轻概率，后期要加大对统计问题的练习。 ★题意读不懂 ★模型选不准 ★结果算不对 33 第 一 类 以 数 据 处 理 数 据 分 析 35 数 据 建 模 数 据 运 算 数 据 分 析 2016年全国卷3 36 数 据 建 模 数 据 运 算 数 据 分 析 3.概率统计高考真题特点规律 1）依纲靠本、导向鲜明 模型选不准 结果算不对 37 数 据 建 模 数 据 运 算 数 据 分 析 按照规律，2021年高考解答题继续考查 数据运算大题的可能性不大，但有可能 在某个情境问题中单独考查数据的计算。 大题的模型应以以下模型为主 二项分布？ 超几何分布？ 读不懂题意，不知道如何处理 39 数 据 建 模 数 据 运 算 数 据 分 析 40 数 据 建 模 数 据 运 算 数 据 分 析 4、探究性与开放性，创新能力 41 数 据 运 算 数 据 分 析 2019全国2卷18题 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交 换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进 行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的 概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球， 两人又打了X个球该局比赛结束. （1）求P（X=2）； （2）求事件“X=4且甲获胜”的概率. 解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2 个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）× （1–04）=0.5 （2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束， 且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得 分． 因此所求概率为 [0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 第 二 类 数 学 建 模 数 据 运 算 数 据 分 析 2020年全国一卷 19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签 决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮 空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一 人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为1 2 （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【分析】 （1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙 赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率.         41 14 2 4P P ABAB P ACAC P BCBC P BABA            记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为 数 据 建 模 数 据 运 算 数 据 分 析   - NEC例.中日围棋擂台赛 杯 是由中国围棋队与日本围棋队各派8名棋手组 成队伍，以擂台制形式举行的围棋擂台赛（1984 1996），共举办了11届， 结果中国队以7:4的总比分获胜。该赛事对中国围棋甚至世界围棋发展产 生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的的比赛之一。两队各设一名 主帅，采用打擂台的形式，决出最后的胜负。比赛事先排定棋手的上场 顺序（主帅最后上场），按顺序对局，胜者做擂，负方依次派遣棋手打擂 ，直至一方“主帅”被击败为止。 1.问若中国队第三个棋手使比赛获胜，共有多少种比赛可能？ 2.若按顺序双方同序号选手胜率均为0.5，低排名选手遇到高排名选手 的胜率为0.4，任意两场比赛互不影响，问中国对第二个选手结束比赛 的概率多大？ 数 据 建 模 数 据 运 算 数 据 分 析 • 概率统计题在高考中承担着数学建模、数据分析、数学运算 的任务，所以概率统计试题大题以应用题的形式出现，从生 产生活中的实际问题出发，以解决实际问题为落脚点，将生 活实际问题抽象为数学问题来解决，因此概率统计的问题背 景是与当前的社会生活、生产实践紧密相连，有很强的时代 烙印。 • 大题阅读量呈逐年递增趋势（255—392） • 注重应用 1、概率统计 近10年概率题的命题走向 45 1.概率统计考查方向 一是统计的研究过程：收集数据-整理数据-分析数据-统计推断 1.概率统计 46 统计思想与统计方法 统计方法 统计思想 统计数字特征 直方图 频率折线图 茎叶图 竖轴表示频率/组距 横轴表示变量数据 每个小矩形的面积就是其频率 所有小矩形面积和为1 中位数在直方图中平分面积的地方 平均数：每个小矩形中间数与小矩形面积的积的和 众数：最高的矩形的中轴线 直方图中点的连线 极限位置是概率密度曲线 比如正态分布 叶的位置一般一个数，从小到大排列，茎上的数不做要求 重心底平均数大 数据集中方差小 用样本估计总体 样本的抽样方法 样本原则 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 有代表性 公平性 多样性 样本的概率相等 平均水平 波动大小 众数 中位数 平均数 方差 统计思想与统计方法 47 二是随机事件的研究过程：随机事件-事件概率-基本概型 2.概率统计考查方向 1.概率统计 48 三是随机变量的研究过程：随机变量-概率分布-分布模型 1.概率统计考查方向 1.概率统计 49 1.加强对全国卷概率题的训练与分析 从前面的论述我们可以看出，全国卷概率统计的命题 具有很好的传承性，大题基本上是由前面出过的试题改编 变化而来，所以我们要加强对全国卷概率题的训练与分析。 对近10年的概率统计题要分类研究，分析出每种考查题型 的考查方式和特点。 1.1.复习建议 二、我们怎么做——解题策略 1、概率统计 50 2.训练尽量选用高考原题，适当改编 从09—20年全国新课标试题已经有12年，这12年中其 中1卷12套，2卷7套，3卷6套，即文理各有25套试卷，而这 25套试题的考点已经相当全面，如果同学们将这25套题中 的概率统计题均掌握了，可以说对于概率统计试题应不在 话下！ 1.2.复习建议 二、我们怎么做——解题策略 1、概率统计 51 3.考点轮换训练，不留死角 全国卷中知识点的考查是逐年轮换，所以我们在高考 复习中对概率统计的练习要轮换训练，课本里的知识点、 出现过的考点均要训练，不留死角。 1.3.复习建议 二、我们怎么做——解题策略 1、概率统计 52 4.高频考点重复训练 文数小题中的高频考点为古典概型、几何概型，文数大题的高 频考点为频数分布表、频率分布直观图、求平均数（加权平均数或 根据频率分布直方图求平均数）、利用样本的频率估计总体的频率 等；理数中的高频考点为数学期望、方差（或标准差）、分布列、 函数最值与决策、频率分布直方图、相互独立事件,列联表等，这些 高频考点要重复训练。 1.4.复习建议 二、我们怎么做——解题策略 2、概率统计 53 5.加强对阅读能力的训练 概率统计的大题的阅读量呈逐年递增趋势。平时的 我们要有针对性的进行阅读理解的训练，从读题审题上 下功夫，要能够从较长的题目中找出有用的信息，抓住 关键点，我们要有的耐心和信心。 1.5.复习建议 二、我们怎么做——解题策略 2、概率统计 54 2 2 2 2019 201 1 3 “ 9 ” M M R r １ ２ 年 月日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一 重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系． 为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星 鹊桥 ，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行． L 点是平衡点，位于地月 年全国2 连线的延长线上．设地球质量为 ，月球质量为 ，地月距离为 ， L 点到月球的距离 卷第4 为 题 ，根据牛 3 4 5 31 2 1 2 2 3 2 2 1 3 3( ) 3( ) (1 ) . M M M rR rR r r R R M R r M             ,设 ，由于 顿运动定律和万有引力定律 的值很小，因此在近似计算中 ， 则r的近似值为 A. ， 满足方程 ： 2 1 . 2 MB RM 23 1 3. MC RM 23 1 . 3 MD RM 3 4 5 32 2 1 3 3 3(1 ) M M        分析选项： 信 息 定 义 题 阅 读 分 析 数 学 运 算            1 2 3 1 2 3 1 1 2020 2 12.0-1 0,1 1,2,3, , , 1,2,3, 0-1 1,2,3, 1 1,2, , 1 n i i m i i m i n m i k i a a a a i m a a i a a i m m a a a C k a a k mm                      卷 周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a 满足 且存在正整数 使得 成立，则称其为 周期序列.并称满足 的最小 正整数 为这个序列的周期。对于周期为 的序列a ，      1- 1,2,3,45 .11010 k k A    是描述其性质的重要指标，下列 周期为5的0 1序列中，满足C 的序列是 .11011B  .10001C  .11001D  5 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 1 5 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 1 5 5. 1 1 1 1 1(1) ( ) (1 0 0 0 0)5 5 5 5 5 1 1 1 2 1(2) ( ) (0 1 0 1 0)5 5 5 5 5 i m i i i i i i i a a m A C a a a a a a a a a a a a C a a a a a a a a a a a a                                    简析：根据新定义，逐一检验即可 由 ，知周期为 ， 对于选项 信 息 定 义 题 阅 读 分 析 数 学 运 算 4. 5 1 5 1 0.6182 2 “ ” . 5 1.2         古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐 至足底的长度之比是 （ 称为黄金分割比例）， 著名的 断臂维纳斯 便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉 的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述 两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度 为26cm，则其身高可能是（ ） A.165cm. B.175cm C.185cm D.190cm 2019年卷1 5 1 5 1 0.6182 2 5 1 2     由 于 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 极 为 接 近 ， 故 头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 26cm可 估 值 为 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 ； 根 据 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 是 （ 称 为 黄 金 分 割 比 例 ） 可 计 算 出 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 约 为 42cm； 将 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 相 加 可 得 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 为 68cm， 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是 可 计 算 出 肚 脐 至 足 底 的 长 度 约 为 1 .B 10cm； 将 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 相 加 即 可 得 到 身 高 约 为 178， 与 答 案 175cm更 为 接 近 且 身 高 应 略 小 于 178cm， 故 选 信 息 定 义 题 阅 读 分 析 数 学 运 算 2019年全国2卷 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是 “半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成 的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正 多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱 长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题 第一空2分，第二空3分.） 文 化 情 境 题 空 间 想 象 数 学 建 模 2020年全国课标卷1 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个 正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个 侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边 长的比值为（ ） 5 1 4  5 1 2  5 1 4  5 1 2  A B C D 2 1 2 , CD PE a b  简析.设CD=a,PE=b,利用PO 得到 关于 的方程，解方程即可得到答案 文 化 情 境 题 空 间 想 象 数 学 建 模 2020年全国卷2 4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一 块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每 环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次 也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形 石板(不含天心石)（ ） A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块     3 2 2 3 , 9 9 +729 , n n n n n n n n n n a S a S S S n S    简析：第n环天心石块数为a 第一层共有 环 则 是以 为首项，为公差的等差数列，设 为 的前n项和，由题意可得 S ，解方程即可得到 进一步得到 文 化 情 境 题 空 间 想 象 数 学 建 模 2020年山东新高考 4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射 到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一 点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过 点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面 平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 90° 0 0 0 0 . , . 90 m CD OAG GAE BAE GAE                  画出截面图如下图所示，其中CD 是赤道所在平面的截线；l是点A处的水平面的截线， 依题意可知OA l,AB是晷针所在直线 是晷面的截线， 依题意依题意 晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知m 、 根据线面垂直的定义可得AB m由于 AOC=40 ,m CD 所以 OAG= AOC=40 ,由于 所以 BAE= OAG=40 ， 0. B 也即晷针与点A 处的水平面所成角为 BAE=40 故选： 文 化 情 境 题 空 间 想 象 数 学 建 模 22..6..2 113..3. DCBA  文 化 情 境 题 逻 辑 推 理 数 学 运 算 　逻辑推理中的数学文化 　 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干 即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、 辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和 一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由 “子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙 寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即 “甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类 推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为 ________年． 【解析】　易知2029年即中华人民共和国成立80周年．因为天干的周期为10， 所以2029年的天干纪年与1949年的天干纪年相同，为“己”；因为地支的周期为 12，所以2029年地支纪年与1957年的地支纪年相同，易知1957年的地支纪年为 “酉”．所以2029年为“己酉”年． 【答案】　己酉 文 化 情 境 题 逻 辑 推 理 数 学 运 算 2020山东卷 6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间. 在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： ( e) rtI t  描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0， T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此， 在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天   1 0.38 0.38( ) 0.38 1 1 1 2 ln 2 0.69 1.80.38 0.38 rt t t t t I t e e t e e t         简析：根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段 累计感染病例数增加 倍需要的时间为 天，根据 社 会 情 境 题 数 学 建 模 数 学 运 算 2020年卷2 3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多 志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预 计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份 订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要志愿者（ ） A. 10名 B. 18名 C. 24名 D. 32名 . 50 .900 xx B   【详解】由题意，第二天新增订单数为500+1600-1200=900 设需要志愿者 名， 0.95,x 17.1故需要志愿者18名 故选： 社 会 情 境 题 关注社会热点，比如中美贸易战， 科技战，在同学们比较陌生的科 技环境下创新题目，不只是为了 应对高考，应该是每一个走进大 学校园的青年学子了解国家的需 要，激发他们的爱国热忱，践行 立德树人的考试目标 二 立体几何 加强空间想象离的考查 对特殊几何体和函数模 型熟练掌握 立体几何：立体几何主要以球、三棱锥或四棱柱切入，理科 主要考察空间平行、垂直和空间角，侧重于空间想象能力， 重点训练用空间向量求解二面角、线面角；文科主要考察表 面积和体积，平时多加训练。 复习建议： 高考怎么考——考查内容 68   2020 2 9 310. 4 16 . 3 ABC O O O ABC A   年卷 已知 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 的 球面上，若球 的表面积为 ，则 到平面 的距离为 3. 2B .1C 3. 2D 高 频 考 点 球 与 棱 锥 棱 柱 的 内 切 和 外 接 2020年卷1 1 1 1 10. , , 4 , .64 A B C O O ABC O AB BC AC OO O A         已知 为球 的球面上的三个点， 为 的外接圆 若 的面积为 ， 则球 的表面积为 .48B  .36C  .32D  高 频 考 点 球 与 棱 锥 棱 柱 的 内 切 和 外 接 S A B C H 的外接球的表面积求三棱锥 ，的距离为到底面 为等边三角形， 中，在三棱锥例 ABCS ABCS SBSAABC ABCS    2 3 .高 频 考 点 球 与 棱 锥 棱 柱 的 内 切 和 外 接 直 观 想 象 数 学 抽 象 数 学 运 算 2020年全国一卷 0 16. 3, , 30 , cos _____ P ABC AB AC AB AD CAE FCB        在三棱锥 的平面展开图中，AC=AD= 则 直 观 想 象 逻 辑 推 理 数 学 运 算 直 观 想 象 逻 辑 推 理 数 学 运 算 321 coscoscos   数 学 核 心 素 养 的 充 分 体 现 敬请各位老师批评指正！ 合作 卓越