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- 2021-06-16 发布
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高考数学二轮
复习测试题(文科)+三角函数专题+专题复习测试题
高考数学二轮复习测试题(附参考答案)
数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。
1.集合 { | 1}P x y x ,集合 { | 1}Q y y x ,则 P 与 Q 的关系是
A. P = Q B. P Q C. P Q D. P∩Q=
2.复数
1 2
1
i
i
的虚部是( ).
A. 2i B.
1
2
C.
1
2
i D.
3
2
3.已知平面向量 1, ma=( )
r
, 2 ,m mb=( )
r
, 则向量 a b
r r
A.平行于 x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于 y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
4.(文)下列函数中,在 (0, ) 上是增函数的是
A. siny x B.
1y
x
C. 2xy D.
2 2 1y x x
5. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5
的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该儿何体的
体积为
A.24 B. 80
C. 64 D. 240
6.设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,若 2 5 8 15a a a , 则 9S =
A.18 B.36 C.45 D.60
7. 角 终边过点 ( 1, 2)P ,则 sin =
A .
5
5
B.
2 5
5
C.
5
5
D.
2 5
5
8. 在△ ABC中,角 , ,A B C的对边边长分别为 3, 5, 6a b c ,
则 cos cos cosbc A ca B ab C 的值为
A.38 B.37 C.36 D.35
9.方程
1( ) 2 0
2
x x 的根所在的区间为( )。
A. ( 1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3)
10.将正整数排成下表:
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…………………………………
则数表中的数字 2010 出现的行数和列数是
A.第 44 行 75 列 B.45 行 75 列 C.44 行 74 列 D.45 行 74
列
二、填空题:本大题共 5小题,考生作答 4小题,每小题 5分,满分 20 分.
(一)必做题(11—13 题)
11. 已知点 M(1,0)是圆 C:
2 2 4 2 0x y x y 内的一点,那么过点 M 的最短弦所在的
直线方程是 。
12. 为了调查某班学生做数学题的基本能力,随机抽查了部分学生某次做一份满分为 100 分
的数学试题,他们所得分数的分组区间为 45,55 , 55,65 , 65,75 , 75,85 , 85,95 ,
由此得到频率分布直方图如右上图,则这些学生的平均分为 .
13. 在左下侧程序框图中,输入 2010n ,
按程序运行后输出的结果是 。
(二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆ρ=4 被直线θ=
π
4
分成
两部分的面积之比是 .
15. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O(O 为圆心)的切线,切点为 A,
PO 交圆 O 于 B,C 两点, 2AC ,∠PAB=30
0
,则圆 O 的面积为 。
二、解答题:本大题共 6小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分)已知角 (0, ) ,向量 (2 , cos )m
,
2(cos ,1 )n
,且 1m n
, ( ) 3 sin cosf x x x 。
(Ⅰ)求角 的大小;(Ⅱ)求函数 ( )f x 的单调递减区间。
分数
开始
i=0
输入 n
n 为偶数
n=(n-3)/2 n=n/2
i=i+1
n=60?
输出 i
结束
是
否
是
否
17. (本小题满分 13 分)在 10 支罐装饮料中,有 2 支是不合格产品,质检员从这 10 支饮料中
抽取 2支进行检验。(Ⅰ)求质检员检验到不合格产品的概率;
(Ⅱ)若把这 10 支饮料分成甲、乙两组,对其容量进行测量,数据如下表所示(单位:ml):
甲 257 269 260 261 263
乙 258 259 259 261 263
请问哪组饮料的容量更稳定些?并说明理由.
18. (本小题满分 13 分)在直四棱柱 1111 DCBAABCD 中, 1 2AA ,底面是边长为1的正
方形,
E、 F 分别是棱 BB1 、DA的中点.
(Ⅰ) 直线 BF // 平面 EAD1 ;
(Ⅱ)求证: 1D E 面 AEC .
F
E
A B
D C
1C
1A 1B
1D
19.(本小题满分 14 分)在直角坐标系 xOy中,以 ( 1,0)M 为圆心的圆与直线 3 3 0x y
相切.
(Ⅰ)求圆M 的方程;(Ⅱ)如果圆M 上存在两点关于直线 1 0mx y 对称,求m的值.
(Ⅲ)已知 ( 2,0)A 、 (2,0)B ,圆内的动点 P满足
2| | | | | |PA PB PO ,求 PBPA 的取
值范围.
高考冲刺强化训练试卷六
文科数学(广东)
本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120
分钟.
第 I 卷(选择题)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的。
1、若集合 I=R, }02sin|{ A ,则下列元素属于 AC I 的是( )
A、0 B、 2
C、 3
D、
2.已知向量 )2,3(),3,1(
ba ,则
ba 2 等于( )
A.(-4,5) B.(5,-1) C.(-7,7) D.(-7,-7)
3.三个数 a,b,c既是等差数列,又是等比数列,则 a,b,c 间的关系为 ( )
A.b-a=c-b B.b2=ac C.a=b=c D.a=b=c≠0
4. 已知函数 )1,0(log)(,)(,)( aaxxhaxgxxf a
xa 其中 在同一坐标系中画出
其中两个函数在第一象限内的图象,其中正确的是 ( )
5. 若 ”1
22
“”2“,
22
表示双曲线方程是则
k
y
k
xkRk 的 ( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
6.已知命题 p:“ 0],2,1[ 2 axx ”,命题 q:“ 022, 2 aaxxRx ”.
若命题“ p且 q”是真命题,则实数 a的取值范围为( )
A. 2a 或 1a B. 2a 或 21 a
C. 1a D. 12 a
7.已知 x、y 的取值如下表:
从散点图分析,y 与 x 线性相关,且回归方程为 0.95y x a ,则 a ( )
A.2.6 B.2.2 C. 3.25 D.0
8.现有甲、乙两骰子,从 1 点到 6 点出现的概率都是 1/6,掷甲、乙两颗骰子,设分别出
现的点数为 a、b时,则满足
a
aba 10|2| 2 的概率为( )
A、
18
1
B、
12
1
C、
9
1
D、
6
1
9.已知函数 )(xf 的导函数为 2' 2)( xxf , 1,1x ,如果 )1()( xfxf ,则实数 x的取值
范围为( )
A.(
2
1
, ) B.
2
10, C. )
2
1,1( D.(-1,1)
10.已知一几何体的三视图如下,则这几何体的外接球的表面积为( )
A.2 B.6 C .8 D.16
第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
(一)必做题(11—13 题)
11. 如右图所示的算法流程图中
x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
E
D
B C
A
O
(注:“ 1A ”也可写成“ : 1A ”
或“ 1A ”, 均表示赋值语句),
第 4 个输出的数是________.
12.复数(2-i)i=m+ni(i 为虚数单位,m,n 为实数),则 m+n= .
13.已知实数 x,y 满足条件
3
01234
04
x
yx
yx
,Z=
22 yx 的最小值是 .
(二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)已知 A 是曲线ρ=3cosθ上任意一点,则点 A 到直线
ρcosθ=1 距离的最大值是___________.
15.(几何证明选讲选做题)如图,BD为⊙O的直径,AB AC ,AD交 BC于 E, 2AE ,
4ED .则 AB的长为 .
(第 15 小题)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分 12 分)
已知函数
2
0,00,A 222cos xAxf 的最大值为 3, xf
的图像的相邻两对称轴间的距离为 2,在 y 轴上的截距为 2.
(Ⅰ)求函数 xf 的解析式;
(Ⅱ)若 m=
4
2log ,求 f(m)+f(m+1)的值.
17. (本小题满分 12 分)
某市场搞国庆促销活动,一个人同时转动如图 2 所示
的两个转盘,记转盘(甲)得到的数 x,转盘(乙)
得到的数为 y,设 6 yx 为中一等奖、 yx
为中二等奖.
(Ⅰ)求中一等奖的概率; (甲) 图 2 (乙)
(Ⅱ)求中二等奖的概率.
18(本小题满分 14 分)
如图,已知三棱锥 P—ABC 中,PA⊥平面 ABC,设 AB、PB、PC 的中点分别为 D、E、F,
若过 D、E、F 的平面与 AC 交于点 G.
(Ⅰ)求证点 G 是线段 AC 的中点;
(Ⅱ)判断四边形 DEFG 的形状,并加以证明;
(Ⅲ)若 PA=8,AB=8,BC=6,AC=10,求几何体 BC-DEFG
的体积.
高考数学二轮复习:三角函数的专题(附参考答案)
一、关于 )2sin(cossincossin 或与 的关系的推广应用:
1、由于 cossin21cossin2cossin)cos(sin 222 故知道
)cos(sin ,必可推出 )2sin(cossin 或 ,例如:
例 1 已知 33 cossin,
3
3cossin 求 。
分析:由于 )coscossin)(sincos(sincossin 2233
]cossin3)cos)[(sincos(sin 2
其中, cossin 已知,只要求出 cossin 即可,此题是典型的知
sin -cos ,求 sin cos 的题型。
解:∵ cossin21)cos(sin 2
故:
3
1cossin
3
1)
3
3(cossin21 2
]cossin3)cos)[(sincos(sincossin 233
G
F
E
D
C
B
A
P
1 2
4 3
1 2
4 3
3
9
4
3
1
3
3]
3
13)
3
3[(
3
3 2
例 2 若 sin +cos =m2,且 tg +ctg =n,则 m2 n 的关系为( )。
A.m2=n B.m2= 12
n
C.
n
m 22 D. 2
2
m
n
分析:观察 sin +cos 与 sin cos 的关系:
sin cos =
2
1
2
1)cos(sin 22
m
而: nctgtg
cossin
1
故: 121
2
1 2
2
n
m
n
m
,选 B。
例 3 已知:tg +ctg =4,则 sin2的值为( )。
A.
2
1
B.
2
1
C.
4
1
D.
4
1
分析:tg +ctg =
4
1cossin4
cossin
1
故:
2
12sincossin22sin 。 答案选 A。
例 4 已知:tg +ctg =2,求 44 cossin
分析:由上面例子已知,只要 44 cossin 能化出含 sin ±cos 或
sin cos 的 式 子 , 则 即 可 根 据 已 知 tg +ctg 进 行 计 算 。 由 于
tg +ctg = 2
cossin
1
2
1cossin ,此题只要将 44 cossin 化成含 sin cos的式子即可:
解: 44 cossin = 44 cossin +2 sin
2 cos
2 -2 sin
2 cos
2
=(sin
2 +cos
2)- 2 sin
2 cos
2
=1-2 (sin cos )
2
=1- 2)
2
1(2
=
2
11
=
2
1
通过以上例子,可以得出以下结论:由于 cossin ,sin cos 及
tg +ctg三者之间可以互化,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此
三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果通过已知 sin cos,求含
cossin 的式子,必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于
( cossin )
2
=1±2sin cos,要进行开方运算才能求出 cossin
二、关于“托底”方法的应用:
在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需
把含 tg(或 ctg)与含 sin(或 cos)的式子的互化中,本文把这种添
配分母的方法叫做“托底”法。方法如下:
例 5 已知:tg =3,求
cossin2
cos3sin
的值。
分析:由于
cos
sin
tg ,带有分母 cos,因此,可把原式分子、分母各项
除以 cos,“造出”tg,即托出底:cos;
解:由于 tg =3 0cos
2
k
故,原式= 0
132
33
12
3
cos
cos
cos
sin2
cos
cos3
cos
sin
tg
tg
例 6 已知:ctg = -3,求 sin cos -cos
2 =?
分析:由于
sin
cos
ctg ,故必将式子化成含有
sin
cos
的形式,而此题与例 4
有所不同,式子本身没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式:
1cossin 22 及托底法托出其分母,然后再分子、分母分别除以 sin,造
出 ctg:
解:
22
2
222
cossin
coscossincoscossin1cossin
2sin,分母同除以分子
2
2
2
2
1)
sin
cos(1
)
sin
cos(
sin
cos
ctg
ctgctg
5
6
)3(1
)3(3
2
2
例 7 (95 年全国成人高考理、工科数学试卷)
设
2
0,
2
0
yx , )
6
sin()
3
sin(sinsin yxyx
且
求: )3)(
3
3( ctgyctgx 的值
分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托
底法”,由于
2
0,
2
0
yx ,故 0sin,0sin yx ,在等式两边同除以
yx sinsin ,托出分母 yx sinsin 为底,得:
解:由已知等式两边同除以 yx sinsin 得:
1
sin
sin
6
coscos
6
sin
sin
sin
3
coscos
3
sin
1
sinsin
)
6
sin()
3
sin(
y
yy
x
x
yx
yx
3
3
4)3)(
3
3(
1)3)(
3
3(
4
3
1)3)(13(
4
1
1
sin
sin3cos
sin
sincos3
4
1
ctgyctgx
ctgyctgx
ctgyctgx
y
yy
x
xx
“托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互
化的计算。由于
cos
sin
tg ,
sin
cos
ctg ,即正切、余切与正弦、余弦间是比
值关系,故它们间的互化需“托底”,通过保持式子数值不变的情况下添加分母
的方法,使它们之间可以互相转化,达到根据已知求值的目的。而添加分母的方
法主要有两种:一种利用 1cossin 22 ,把 22 cossin 作为分母,并不
改变原式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积,产
生分母。
三、关于形如: xbxa sincos 的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用:
可 以 从 公 式 )sin(sincoscossin xAxAxA 中 得 到 启 示 : 式 子
xbxa sincos 与上述公式有点相似,如果把 a,b 部分变成含 sinA,cosA 的式
子,则形如 xbxa sincos 的式子都可以变成含 )sin( xA 的式子,由于-1≤
)sin( xA ≤1,
所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点:不能直接把 a 当成
sinA,b 当成 cosA,如式子: xx sin4cos3 中,不能设 sinA=3,cosA=4,考虑:
-1≤sinA≤1,-1≤cosA≤1,可以如下处理式子:
x
ba
bx
ba
abaxbxa sincossincos
2222
22
由于 1)()( 2
22
2
22
ba
b
ba
a
。
故可设:
22
sin
ba
aA
,则 AA sin1cos ,即:
22
cos
ba
bA
∴ )sin()sincoscos(sinsincos 2222 xAbaxAxAbaxbxa
无论 xA 取何值,-1≤sin(A±x)≤1,
22 ba ≤ )sin(22 xAba ≤ 22 ba
即: 22 ba ≤ xbxa sincos ≤ 22 ba
下面观察此式在解决实际极值问题时的应用:
例 1(98 年全国成人高考数学考试卷)
求:函数 xxxy cossincos3 2 的最大值为(AAAA )
A.
2
31 B. 13 C.
2
31 D. 13
分析: xxxx 2sin
2
1cossin2
2
1cossin ,再想办法把 x2cos 变成含 xcso2 的
式子:
2
12coscos1cos22cos 22
xxxx
于是: xxy 2sin
2
1
2
12cos3
xx 2sin
2
1
2
32cos
2
3
2
3)2sin
2
12cos
2
3( xx
由于这里: 1)
2
1()
2
3(,
2
1,
2
3 2222 baba 则
∴
2
3)2sin
2
12cos
2
3(1 xxy
设:
2
1cos,
2
3
1
2
3
sin
22
A
ba
aA 则
∴
2
32sincos2cossin xAxAy
2
3)2sin( xA
无论 A-2x 取何值,都有-1≤sin(A-2x)≤1,故
2
31 ≤ y≤
2
31
∴ y的最大值为
2
31 ,即答案选 A。
例 2 (96 年全国成人高考理工科数学试卷)
在△ABC 中,已知:AB=2,BC=1,CA= 3 ,分别在边 AB、BC、CA 上任取点 D、
E、F,使△DEF 为正三角形,记∠FEC=∠α,问:sinα取何值时,△EFD 的边长
最短?并求此最短边长。
分析:首先,由于 22222 4)3(1 ABCABC ,可知△ABC 为 Rt△,
其中 AB 为斜边,所对角∠C为直角,又由于 30,
2
1sin A
AB
BCA 故 ,则∠B=
90°—∠A=60°,由于本题要计算△DEF 的最短边长,故必要设正△DEF 的边长
为 l,且要列出有关 l为未知数的方程,对 l进行求解。观察△BDE,已知:∠B=60°,
DE= l,再想办法找出另两个量,即可根据正弦定理列出等式,从而产生关于 l的
方程。在图中,由于 EC= l·cosα,则 BE=BC-EC=1- l·cosα。
而∠B+∠BDE+∠1=180°
∠α+∠DEF+∠1=180° ∠BDE=∠α
∠B=60°,∠DEF=60°
∴在△BDE 中,根据正弦定理:
60sinsin
cos1
sinsin
ll
B
DE
BDE
BF
sincos
2
3
2
3sin)cos1(
2
3
llll
sincos
2
3
2
3
l
在这里,要使 l有最小值,必须分母: sincos
2
3
有最大值,观察:
2
71)
2
3(1,
2
3,sincos
2
3 2222 baba
∴ )sin
7
72cos
7
21(
2
7sincos
2
3
设:
7
21sin A ,则
7
72cos A
故: )sincoscos(sin
2
7sincos
2
3 AA
)sin(
2
7 A
∴ sincos
2
3
的最大值为
2
7
。
即: l的最小值为:
7
21
2
7
2
3
而 )sin( A 取最大值为 1时, AkkA
2
2
2
2
∴
7
72cos)
2
2sin(sin AAk
即:
7
72sin 时,△DEF 的边长最短,最短边长为
7
21
。
从以上例子可知,形如 xbxa sincos 适合于计算三角形函数的极值问题。
计算极值时与式子的加、减是无关,与 22 ba 的最值有关;其中最大值为
22 ba ,最小值为 22 ba 。在计算三角函数的极值应用题时,只要找出形
如 xbxa sincos 的关系式,即能根据题意,求出相关的极值。
三角函数知识点解题方法总结
一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式
一步到位转换到区间(-90º,90º)的公式.
1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z);
3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).
二、见“sinα±cosα”问题,运用三角“八卦图”
1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线 y+x=0 的上方(或下方);
2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线 y-x=0 的上方(或下方);
3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内;
4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.
三、见“知 1求 5”问题,造 Rt△,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4,
5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。
四、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。
五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知 tanα,求 sinα与 cosα的齐次式,
有些整式情形还可以视其分母为 1,转化为 sin
2
α+cos
2
α.
六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式:
1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)=
cos2α-sin2β.
七、见“sinα±cosα与 sinαcosα”问题,起用平方法则:
(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故
1.若 sinα+cosα=t,(且 t2≤2),则 2sinαcosα=t2-1=sin2α;
2.若 sinα-cosα=t,(且 t
2
≤2),则 2sinαcosα=1-t
2
=sin2α.
八、见“tanα+tanβ与 tanαtanβ”问题,启用变形公式:
tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=???
九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0)
1.函数 y=Asin(wx+φ)和函数 y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且平行
于 y轴的直线分别成轴对称;
2.函数 y=Asin(wx+φ)和函数 y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别
成中心对称;
3.同样,利用图象也可以得到函数 y=Atan(wx+φ)和函数 y=Acot(wx+φ)的
对称性质。
十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式:
1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx)
2
=(a
2
+b
2
)sin2(x+φ)≤(a
2
+b
2
);
3.asinx+bcosx=c 有解的充要条件是 a2+b2≥c2.
十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化.
1.cos2x=1-2sin
2
x=2cos
2
x-1.
2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等
角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
sin2A=2sinA*cosA
半角公式
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-co
sα)/(1+cosα)
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )
2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
积化和差公式
sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)]
cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)]
sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)]
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
倒数关系: 商的关系: 平方关系:
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1
1+tan2α=sec2α
1+cot2α=csc2α
高考数学第二轮专题复习测试题(附参考答案)
A 级 基础达标演练
(时间:40 分钟 满分:60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)
1.(2012·福州调研)若 x>0,则 x+4
x
的最小值为( ).
A.2 B.3 C.2 2 D.4
解析 ∵x>0,∴x+4
x
≥4.
答案 D
2.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x的值为( ).
A.1
3
B.1
2
C.3
4
D.2
3
解析 ∵0<x<1,∴1-x>0.
∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3
x+1-x
2 2=
3
4
.
当 x=1-x,即 x=1
2
时取等号.
答案 B
3.把一段长 16 米的铁丝截成两段,分别围成正方形,则两个正方形面积之和的
最小值为( ).
A.4 B.8 C.16 D.32
解析 设截成的两段铁丝长分别为 x,16-x,16>x>0,则围成的两个正方形面积
之和为 S=
x
4 2+
16-x
4 2≥
x
4
+
16-x
4 2
2
=8,当且仅当
x
4
=
16-x
4
,即 x=8 时,等
号成立.故两个正方形面积之和的最小值为 8.
答案 B
4.(2012·合肥模拟)若正实数 a,b满足 a+b=1,则( ).
A.1
a
+
1
b
有最大值 4 B.ab有最小值
1
4
C. a+ b有最大值 2 D.a2+b2有最小值
2
2
解析 由基本不等式,得 ab≤a2+b2
2
=
a+b2-2ab
2
,所以 ab≤1
4
,故 B 错;
1
a
+
1
b
=
a+b
ab
=
1
ab
≥4,故 A 错;由基本不等式得
a+ b
2
≤
a+b
2
=
1
2
,即 a+
b≤ 2,故 C 正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×1
4
=
1
2
,故 D 错.
答案 C
5.(2011·重庆)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y=1
a
+
4
b
的最小值是( ).
A.7
2
B.4 C.9
2
D.5
解析 依题意得
1
a
+
4
b
=
1
2
1
a
+
4
b (a+b)=1
2
5+
b
a
+
4a
b ≥
1
2
5+2 b
a
×
4a
b =
9
2
,当
且仅当
a+b=2
b
a
=
4a
b
a>0,b>0
,即 a=2
3
,
b=4
3
时取等号,即
1
a
+
4
b
的最小值是
9
2
,选 C.
答案 C
二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)
6.若 x>1,则 x+ 4
x-1
的最小值为________.
解析 x+ 4
x-1
=x-1+ 4
x-1
+1≥2 x-1· 4
x-1
+1=5,等号当且仅当 x-1=
4
x-1
,即 x=3 时成立.
答案 5
7.函数 y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A在直线 mx+ny-1=0(mn
>0)上,则
1
m
+
1
n
的最小值为________.
解析 ∵y=a1-x恒过点 A(1,1),又∵A在直线上,
∴m+n=1.而1
m
+
1
n
=
m+n
m
+
m+n
n
=2+n
m
+
m
n
≥2+2=4,当且仅当 m=n=1
2
时,
取“=”,∴
1
m
+
1
n
的最小值为 4.
答案 4
8.(2011·浙江)若实数 x,y满足 x2+y2+xy=1,则 x+y的最大值为________.
解析 由 x2+y2+xy=1,得(x+y)2-xy=1,
即 xy=(x+y)2-1≤x+y2
4
,所以
3
4
(x+y)2≤1,
故-
2 3
3
≤x+y≤2 3
3
,
当 x=y时“=”成立,所以 x+y的最大值为
2 3
3
.
答案
2 3
3
三、解答题(共 23 分)
9.(11 分)已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0,
求:(1)xy的最小值; (2)x+y的最小值.
解 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,
(1)xy=2x+8y≥2 16xy,
∴ xy≥8,∴xy≥64.
故 xy的最小值为 64.
(2)由 2x+8y=xy,得:
2
y
+
8
x
=1,
∴x+y=(x+y)·1=(x+y)
2
y
+
8
x
=10+2x
y
+
8y
x
≥10+8=18.
故 x+y的最小值为 18.
10.(12 分)(2011·丽水模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该空地上
建造一栋至少 10 层,每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)
层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元).
(1)写出楼房平均综合费用 y关于建造层数 x的函数关系式;
(2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是
多少?
(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
购地总费用
建筑总面积
)
解 (1)依题意得 y=(560+48x)+2 160×10 000
2 000x
=560+48x+10 800
x
(x≥10,x∈N+);
(2)∵x>0,∴48x+10 800
x
≥2 48×10 800=1 440(元),
当且仅当 48x=10 800
x
,即 x=15 时取到“=”,
此时,平均综合费用的最小值为 560+1 440=2 000(元).
所以,当该楼房建造 15 层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值
为 2 000 元.
B 级 综合创新备选
(时间:30 分钟 满分:40 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 10 分)
1.(2011·皖南八校联考(二))已知 x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,
y成等比数列,则
a+b2
cd
的最小值是( ).
A.0 B.1 C.2 D.4
解析 由题知 a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则
a+b2
cd
=
x+y2
xy
≥
2 xy2
xy
=
4,当且仅当 x=y时取等号.
答案 D
2.(2011·厦门模拟)若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0
截得的弦长为 4,则
1
a
+
1
b
的最小值为( ).
A.1
4
B. 2 C.3
2
+ 2 D.3
2
+2 2
解析 圆的直径是 4,说明直线过圆心(-1,2),故 1
2
a+b=1,1
a
+
1
b
=
1
2
a+b 1
a
+
1
b
=
3
2
+
b
a
+
a
2b
≥
3
2
+ 2,当且仅当
b
a
=
a
2b
,即 a=2( 2-1),b=2- 2时取等号.
答案 C
二、填空题(每小题 4 分,共 8 分)
3.(2011·湖南)x,y∈R,且 xy≠0,则
x2+
1
y2
1
x2+4y2
的最小值为________.
解析
x2+
1
y2
1
x2+4y2
=1+4+4x2y2+
1
x2y2≥1+4+2 4x2y2· 1
x2y2=9,当且仅当
4x2y2=
1
x2y2时等号成立,即|xy|= 2
2
时等号成立.
答案 9
4.(2011·江苏)在平面直角坐标系 xOy中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)=2
x
的图象交于 P,Q两点,则线段 PQ长的最小值是________.
解析 假设直线与函数 f(x)=2
x
的图象在第一象限内的交点为 P,在第三象限内的
交点为 Q,由题意知线段 PQ的长为 OP长的 2 倍.
假设 P点的坐标为
x0,
2
x0 ,则|PQ|=2|OP|=2 x20+
4
x20
≥4.当且仅当 x20=
4
x20
,即
x0= 2时,取“=”号.
答案 4
三、解答题(共 22 分)
5.(10 分)已知 a,b>0,求证:
a
b2+
b
a2≥
4
a+b
.
证明 ∵
a
b2+
b
a2≥2 a
b2·
b
a2=2 1
ab
>0,
a+b≥2 ab>0,
∴
a
b2+
b
a2 (a+b)≥2 1
ab
·2 ab=4.
∴
a
b2+
b
a2≥
4
a+b
.当且仅当
a
b2=
b
a2,
a=b
取等号,
即 a=b时,不等式等号成立.
6.(12 分)(2011·洛阳模拟)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式,
某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩
形地块,中间挖出三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影
部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽均为 2 米,如图,设池塘所占的总面积
为 S平方米.
(1)试用 x表示 S;
(2)当 x取何值时,才能使得 S最大?并求出 S的最大值.
解 (1)由题图形知,3a+6=x,∴a=x-6
3
.
则总面积 S=
1 800
x
-4
·a+2a
1 800
x
-6
=a
5 400
x
-16
=
x-6
3
5 400
x
-16
=1 832-
10 800
x
+
16x
3 ,
即 S=1 832-
10 800
x
+
16x
3 (x>0).
(2)由 S=1 832-
10 800
x
+
16x
3 ,
得 S≤1 832-2 10 800
x
·16x
3
=1 832-2×240=1 352(平方米).
当且仅当
10 800
x
=
16x
3
,此时,x=45.