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  • 2021-06-16 发布

高考数学二轮复习测试题(文科)+三角函数专题+专题复习测试题

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高考数学二轮 复习测试题(文科)+三角函数专题+专题复习测试题 高考数学二轮复习测试题(附参考答案) 数学(文科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 1.集合 { | 1}P x y x   ,集合 { | 1}Q y y x   ,则 P 与 Q 的关系是 A. P = Q B. P Q C. P  Q D. P∩Q= 2.复数 1 2 1 i i   的虚部是( ). A. 2i B. 1 2 C. 1 2 i D. 3 2 3.已知平面向量 1, ma=( ) r , 2 ,m mb=( ) r , 则向量 a b r r A.平行于 x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 4.(文)下列函数中,在 (0, ) 上是增函数的是 A. siny x B. 1y x  C. 2xy  D. 2 2 1y x x   5. 某几何体的俯视图是如右图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为5 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为5的等腰三角形.则该儿何体的 体积为 A.24 B. 80 C. 64 D. 240 6.设等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,若 2 5 8 15a a a   , 则 9S = A.18 B.36 C.45 D.60 7. 角 终边过点 ( 1, 2)P  ,则 sin = A . 5 5 B. 2 5 5 C. 5 5  D. 2 5 5  8. 在△ ABC中,角 , ,A B C的对边边长分别为 3, 5, 6a b c   , 则 cos cos cosbc A ca B ab C  的值为 A.38 B.37 C.36 D.35 9.方程 1( ) 2 0 2 x x   的根所在的区间为( )。 A. ( 1,0) B. (0,1) C. (1,2) D. (2,3) 10.将正整数排成下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ………………………………… 则数表中的数字 2010 出现的行数和列数是 A.第 44 行 75 列 B.45 行 75 列 C.44 行 74 列 D.45 行 74 列 二、填空题:本大题共 5小题,考生作答 4小题,每小题 5分,满分 20 分. (一)必做题(11—13 题) 11. 已知点 M(1,0)是圆 C: 2 2 4 2 0x y x y    内的一点,那么过点 M 的最短弦所在的 直线方程是 。 12. 为了调查某班学生做数学题的基本能力,随机抽查了部分学生某次做一份满分为 100 分 的数学试题,他们所得分数的分组区间为  45,55 ,     55,65 , 65,75 , 75,85 , 85,95 , 由此得到频率分布直方图如右上图,则这些学生的平均分为 . 13. 在左下侧程序框图中,输入 2010n  , 按程序运行后输出的结果是 。 (二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆ρ=4 被直线θ= π 4 分成 两部分的面积之比是 . 15. (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O(O 为圆心)的切线,切点为 A, PO 交圆 O 于 B,C 两点, 2AC  ,∠PAB=30 0 ,则圆 O 的面积为 。 二、解答题:本大题共 6小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)已知角 (0, )  ,向量 (2 , cos )m   , 2(cos ,1 )n   ,且 1m n    , ( ) 3 sin cosf x x x  。 (Ⅰ)求角 的大小;(Ⅱ)求函数 ( )f x  的单调递减区间。 分数 开始 i=0 输入 n n 为偶数 n=(n-3)/2 n=n/2 i=i+1 n=60? 输出 i 结束 是 否 是 否 17. (本小题满分 13 分)在 10 支罐装饮料中,有 2 支是不合格产品,质检员从这 10 支饮料中 抽取 2支进行检验。(Ⅰ)求质检员检验到不合格产品的概率; (Ⅱ)若把这 10 支饮料分成甲、乙两组,对其容量进行测量,数据如下表所示(单位:ml): 甲 257 269 260 261 263 乙 258 259 259 261 263 请问哪组饮料的容量更稳定些?并说明理由. 18. (本小题满分 13 分)在直四棱柱 1111 DCBAABCD  中, 1 2AA  ,底面是边长为1的正 方形, E、 F 分别是棱 BB1 、DA的中点. (Ⅰ) 直线 BF // 平面 EAD1 ; (Ⅱ)求证: 1D E 面 AEC . F E A B D C 1C 1A 1B 1D 19.(本小题满分 14 分)在直角坐标系 xOy中,以 ( 1,0)M  为圆心的圆与直线 3 3 0x y   相切. (Ⅰ)求圆M 的方程;(Ⅱ)如果圆M 上存在两点关于直线 1 0mx y   对称,求m的值. (Ⅲ)已知 ( 2,0)A  、 (2,0)B ,圆内的动点 P满足 2| | | | | |PA PB PO  ,求 PBPA  的取 值范围. 高考冲刺强化训练试卷六 文科数学(广东) 本试卷分为第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 第 I 卷(选择题) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1、若集合 I=R, }02sin|{  A ,则下列元素属于 AC I 的是( ) A、0 B、 2  C、 3  D、 2.已知向量 )2,3(),3,1(   ba ,则   ba 2 等于( ) A.(-4,5) B.(5,-1) C.(-7,7) D.(-7,-7) 3.三个数 a,b,c既是等差数列,又是等比数列,则 a,b,c 间的关系为 ( ) A.b-a=c-b B.b2=ac C.a=b=c D.a=b=c≠0 4. 已知函数 )1,0(log)(,)(,)(  aaxxhaxgxxf a xa 其中 在同一坐标系中画出 其中两个函数在第一象限内的图象,其中正确的是 ( ) 5. 若 ”1 22 “”2“, 22 表示双曲线方程是则      k y k xkRk 的 ( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 6.已知命题 p:“ 0],2,1[ 2  axx ”,命题 q:“ 022, 2  aaxxRx ”. 若命题“ p且 q”是真命题,则实数 a的取值范围为( ) A. 2a 或 1a B. 2a 或 21  a C. 1a D. 12  a 7.已知 x、y 的取值如下表: 从散点图分析,y 与 x 线性相关,且回归方程为  0.95y x a  ,则 a  ( ) A.2.6 B.2.2 C. 3.25 D.0 8.现有甲、乙两骰子,从 1 点到 6 点出现的概率都是 1/6,掷甲、乙两颗骰子,设分别出 现的点数为 a、b时,则满足 a aba 10|2| 2  的概率为( ) A、 18 1 B、 12 1 C、 9 1 D、 6 1 9.已知函数 )(xf 的导函数为 2' 2)( xxf  ,  1,1x ,如果 )1()( xfxf  ,则实数 x的取值 范围为( ) A.( 2 1 , ) B.       2 10, C. ) 2 1,1( D.(-1,1) 10.已知一几何体的三视图如下,则这几何体的外接球的表面积为( ) A.2 B.6 C .8 D.16 第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11—13 题) 11. 如右图所示的算法流程图中 x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 E D B C A O (注:“ 1A  ”也可写成“ : 1A  ” 或“ 1A ”, 均表示赋值语句), 第 4 个输出的数是________. 12.复数(2-i)i=m+ni(i 为虚数单位,m,n 为实数),则 m+n= . 13.已知实数 x,y 满足条件         3 01234 04 x yx yx ,Z= 22 yx  的最小值是 . (二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知 A 是曲线ρ=3cosθ上任意一点,则点 A 到直线 ρcosθ=1 距离的最大值是___________. 15.(几何证明选讲选做题)如图,BD为⊙O的直径,AB AC ,AD交 BC于 E, 2AE  , 4ED  .则 AB的长为 . (第 15 小题) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数            2 0,00,A 222cos xAxf 的最大值为 3,  xf 的图像的相邻两对称轴间的距离为 2,在 y 轴上的截距为 2. (Ⅰ)求函数  xf 的解析式; (Ⅱ)若 m= 4 2log ,求 f(m)+f(m+1)的值. 17. (本小题满分 12 分) 某市场搞国庆促销活动,一个人同时转动如图 2 所示 的两个转盘,记转盘(甲)得到的数 x,转盘(乙) 得到的数为 y,设 6 yx 为中一等奖、 yx  为中二等奖. (Ⅰ)求中一等奖的概率; (甲) 图 2 (乙) (Ⅱ)求中二等奖的概率. 18(本小题满分 14 分) 如图,已知三棱锥 P—ABC 中,PA⊥平面 ABC,设 AB、PB、PC 的中点分别为 D、E、F, 若过 D、E、F 的平面与 AC 交于点 G. (Ⅰ)求证点 G 是线段 AC 的中点; (Ⅱ)判断四边形 DEFG 的形状,并加以证明; (Ⅲ)若 PA=8,AB=8,BC=6,AC=10,求几何体 BC-DEFG 的体积. 高考数学二轮复习:三角函数的专题(附参考答案) 一、关于 )2sin(cossincossin  或与 的关系的推广应用: 1、由于  cossin21cossin2cossin)cos(sin 222  故知道 )cos(sin   ,必可推出 )2sin(cossin  或 ,例如: 例 1 已知  33 cossin, 3 3cossin  求 。 分析:由于 )coscossin)(sincos(sincossin 2233   ]cossin3)cos)[(sincos(sin 2   其中,  cossin  已知,只要求出  cossin 即可,此题是典型的知 sin -cos ,求 sin cos 的题型。 解:∵  cossin21)cos(sin 2  故: 3 1cossin 3 1) 3 3(cossin21 2   ]cossin3)cos)[(sincos(sincossin 233   G F E D C B A P 1 2 4 3 1 2 4 3 3 9 4 3 1 3 3] 3 13) 3 3[( 3 3 2  例 2 若 sin +cos =m2,且 tg +ctg =n,则 m2 n 的关系为( )。 A.m2=n B.m2= 12  n C. n m 22  D. 2 2 m n  分析:观察 sin +cos 与 sin cos 的关系: sin cos = 2 1 2 1)cos(sin 22    m 而: nctgtg    cossin 1 故: 121 2 1 2 2   n m n m ,选 B。 例 3 已知:tg +ctg =4,则 sin2的值为( )。 A. 2 1 B. 2 1  C. 4 1 D. 4 1  分析:tg +ctg = 4 1cossin4 cossin 1    故: 2 12sincossin22sin   。 答案选 A。 例 4 已知:tg +ctg =2,求  44 cossin  分析:由上面例子已知,只要  44 cossin  能化出含 sin ±cos 或 sin  cos  的 式 子 , 则 即 可 根 据 已 知 tg  +ctg  进 行 计 算 。 由 于 tg +ctg =  2 cossin 1  2 1cossin  ,此题只要将  44 cossin  化成含 sin cos的式子即可: 解:  44 cossin  =  44 cossin  +2 sin 2 cos 2 -2 sin 2 cos 2 =(sin 2 +cos 2)- 2 sin 2 cos 2 =1-2 (sin cos ) 2 =1- 2) 2 1(2 = 2 11 = 2 1 通过以上例子,可以得出以下结论:由于  cossin  ,sin cos 及 tg +ctg三者之间可以互化,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此 三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的;如果通过已知 sin cos,求含  cossin  的式子,必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于 (  cossin  ) 2 =1±2sin cos,要进行开方运算才能求出  cossin  二、关于“托底”方法的应用: 在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需 把含 tg(或 ctg)与含 sin(或 cos)的式子的互化中,本文把这种添 配分母的方法叫做“托底”法。方法如下: 例 5 已知:tg =3,求   cossin2 cos3sin   的值。 分析:由于   cos sin tg ,带有分母 cos,因此,可把原式分子、分母各项 除以 cos,“造出”tg,即托出底:cos; 解:由于 tg =3 0cos 2   k 故,原式= 0 132 33 12 3 cos cos cos sin2 cos cos3 cos sin                    tg tg 例 6 已知:ctg = -3,求 sin cos -cos 2 =? 分析:由于   sin cos ctg ,故必将式子化成含有   sin cos 的形式,而此题与例 4 有所不同,式子本身没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式: 1cossin 22   及托底法托出其分母,然后再分子、分母分别除以 sin,造 出 ctg: 解:   22 2 222 cossin coscossincoscossin1cossin    2sin,分母同除以分子         2 2 2 2 1) sin cos(1 ) sin cos( sin cos ctg ctgctg      5 6 )3(1 )3(3 2 2     例 7 (95 年全国成人高考理、工科数学试卷) 设 2 0, 2 0   yx , ) 6 sin() 3 sin(sinsin yxyx   且 求: )3)( 3 3(  ctgyctgx 的值 分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托 底法”,由于 2 0, 2 0   yx ,故 0sin,0sin  yx ,在等式两边同除以 yx sinsin ,托出分母 yx sinsin 为底,得: 解:由已知等式两边同除以 yx sinsin 得: 1 sin sin 6 coscos 6 sin sin sin 3 coscos 3 sin 1 sinsin ) 6 sin() 3 sin(       y yy x x yx yx  3 3 4)3)( 3 3( 1)3)( 3 3( 4 3 1)3)(13( 4 1 1 sin sin3cos sin sincos3 4 1         ctgyctgx ctgyctgx ctgyctgx y yy x xx “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互 化的计算。由于   cos sin tg ,   sin cos ctg ,即正切、余切与正弦、余弦间是比 值关系,故它们间的互化需“托底”,通过保持式子数值不变的情况下添加分母 的方法,使它们之间可以互相转化,达到根据已知求值的目的。而添加分母的方 法主要有两种:一种利用 1cossin 22   ,把  22 cossin  作为分母,并不 改变原式的值,另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积,产 生分母。 三、关于形如: xbxa sincos  的式子,在解决三角函数的极值问题时的应用: 可 以 从 公 式 )sin(sincoscossin xAxAxA  中 得 到 启 示 : 式 子 xbxa sincos  与上述公式有点相似,如果把 a,b 部分变成含 sinA,cosA 的式 子,则形如 xbxa sincos  的式子都可以变成含 )sin( xA  的式子,由于-1≤ )sin( xA  ≤1, 所以,可考虑用其进行求极值问题的处理,但要注意一点:不能直接把 a 当成 sinA,b 当成 cosA,如式子: xx sin4cos3  中,不能设 sinA=3,cosA=4,考虑: -1≤sinA≤1,-1≤cosA≤1,可以如下处理式子:           x ba bx ba abaxbxa sincossincos 2222 22 由于 1)()( 2 22 2 22     ba b ba a 。 故可设: 22 sin ba aA   ,则 AA sin1cos  ,即: 22 cos ba bA   ∴ )sin()sincoscos(sinsincos 2222 xAbaxAxAbaxbxa  无论 xA  取何值,-1≤sin(A±x)≤1, 22 ba  ≤ )sin(22 xAba  ≤ 22 ba  即: 22 ba  ≤ xbxa sincos  ≤ 22 ba  下面观察此式在解决实际极值问题时的应用: 例 1(98 年全国成人高考数学考试卷) 求:函数 xxxy cossincos3 2  的最大值为(AAAA ) A. 2 31 B. 13  C. 2 31 D. 13  分析: xxxx 2sin 2 1cossin2 2 1cossin  ,再想办法把 x2cos 变成含 xcso2 的 式子: 2 12coscos1cos22cos 22   xxxx 于是: xxy 2sin 2 1 2 12cos3    xx 2sin 2 1 2 32cos 2 3  2 3)2sin 2 12cos 2 3(  xx 由于这里: 1) 2 1() 2 3(, 2 1, 2 3 2222  baba 则 ∴ 2 3)2sin 2 12cos 2 3(1  xxy 设: 2 1cos, 2 3 1 2 3 sin 22    A ba aA 则 ∴ 2 32sincos2cossin  xAxAy 2 3)2sin(  xA 无论 A-2x 取何值,都有-1≤sin(A-2x)≤1,故 2 31 ≤ y≤ 2 31 ∴ y的最大值为 2 31 ,即答案选 A。 例 2 (96 年全国成人高考理工科数学试卷) 在△ABC 中,已知:AB=2,BC=1,CA= 3 ,分别在边 AB、BC、CA 上任取点 D、 E、F,使△DEF 为正三角形,记∠FEC=∠α,问:sinα取何值时,△EFD 的边长 最短?并求此最短边长。 分析:首先,由于 22222 4)3(1 ABCABC  ,可知△ABC 为 Rt△, 其中 AB 为斜边,所对角∠C为直角,又由于  30, 2 1sin A AB BCA 故 ,则∠B= 90°—∠A=60°,由于本题要计算△DEF 的最短边长,故必要设正△DEF 的边长 为 l,且要列出有关 l为未知数的方程,对 l进行求解。观察△BDE,已知:∠B=60°, DE= l,再想办法找出另两个量,即可根据正弦定理列出等式,从而产生关于 l的 方程。在图中,由于 EC= l·cosα,则 BE=BC-EC=1- l·cosα。 而∠B+∠BDE+∠1=180° ∠α+∠DEF+∠1=180° ∠BDE=∠α ∠B=60°,∠DEF=60° ∴在△BDE 中,根据正弦定理:        60sinsin cos1 sinsin ll B DE BDE BF    sincos 2 3 2 3sin)cos1( 2 3  llll  sincos 2 3 2 3   l 在这里,要使 l有最小值,必须分母:  sincos 2 3  有最大值,观察: 2 71) 2 3(1, 2 3,sincos 2 3 2222  baba ∴ )sin 7 72cos 7 21( 2 7sincos 2 3   设: 7 21sin A ,则 7 72cos A 故: )sincoscos(sin 2 7sincos 2 3  AA  )sin( 2 7  A ∴  sincos 2 3  的最大值为 2 7 。 即: l的最小值为: 7 21 2 7 2 3  而 )sin( A 取最大值为 1时, AkkA  2 2 2 2  ∴ 7 72cos) 2 2sin(sin  AAk  即: 7 72sin  时,△DEF 的边长最短,最短边长为 7 21 。 从以上例子可知,形如 xbxa sincos  适合于计算三角形函数的极值问题。 计算极值时与式子的加、减是无关,与 22 ba  的最值有关;其中最大值为 22 ba  ,最小值为 22 ba  。在计算三角函数的极值应用题时,只要找出形 如 xbxa sincos  的关系式,即能根据题意,求出相关的极值。 三角函数知识点解题方法总结 一、见“给角求值”问题,运用“新兴”诱导公式 一步到位转换到区间(-90º,90º)的公式. 1.sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z);2. cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z); 3. tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z);4. cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z). 二、见“sinα±cosα”问题,运用三角“八卦图” 1.sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线 y+x=0 的上方(或下方); 2. sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线 y-x=0 的上方(或下方); 3.|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内; 4.|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内. 三、见“知 1求 5”问题,造 Rt△,用勾股定理,熟记常用勾股数(3,4, 5),(5,12,13),(7,24,25),仍然注意“符号看象限”。 四、见“切割”问题,转换成“弦”的问题。 五、“见齐思弦”=>“化弦为一”:已知 tanα,求 sinα与 cosα的齐次式, 有些整式情形还可以视其分母为 1,转化为 sin 2 α+cos 2 α. 六、见“正弦值或角的平方差”形式,启用“平方差”公式: 1.sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β;2. cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β. 七、见“sinα±cosα与 sinαcosα”问题,起用平方法则: (sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α,故 1.若 sinα+cosα=t,(且 t2≤2),则 2sinαcosα=t2-1=sin2α; 2.若 sinα-cosα=t,(且 t 2 ≤2),则 2sinαcosα=1-t 2 =sin2α. 八、见“tanα+tanβ与 tanαtanβ”问题,启用变形公式: tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考:tanα-tanβ=??? 九、见三角函数“对称”问题,启用图象特征代数关系:(A≠0) 1.函数 y=Asin(wx+φ)和函数 y=Acos(wx+φ)的图象,关于过最值点且平行 于 y轴的直线分别成轴对称; 2.函数 y=Asin(wx+φ)和函数 y=Acos(wx+φ)的图象,关于其中间零点分别 成中心对称; 3.同样,利用图象也可以得到函数 y=Atan(wx+φ)和函数 y=Acot(wx+φ)的 对称性质。 十、见“求最值、值域”问题,启用有界性,或者辅助角公式: 1.|sinx|≤1,|cosx|≤1;2.(asinx+bcosx) 2 =(a 2 +b 2 )sin2(x+φ)≤(a 2 +b 2 ); 3.asinx+bcosx=c 有解的充要条件是 a2+b2≥c2. 十一、见“高次”,用降幂,见“复角”,用转化. 1.cos2x=1-2sin 2 x=2cos 2 x-1. 2.2x=(x+y)+(x-y);2y=(x+y)-(x-y);x-w=(x+y)-(y+w)等 角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2] cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2 sin2A=2sinA*cosA 半角公式 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-co sα)/(1+cosα) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) ) 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB 积化和差公式 sin(a)sin(b)=-1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2)) cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2)) 倒数关系: 商的关系: 平方关系: tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α 高考数学第二轮专题复习测试题(附参考答案) A 级 基础达标演练 (时间:40 分钟 满分:60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2012·福州调研)若 x>0,则 x+4 x 的最小值为( ). A.2 B.3 C.2 2 D.4 解析 ∵x>0,∴x+4 x ≥4. 答案 D 2.已知 0<x<1,则 x(3-3x)取得最大值时 x的值为( ). A.1 3 B.1 2 C.3 4 D.2 3 解析 ∵0<x<1,∴1-x>0. ∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3 x+1-x 2 2= 3 4 . 当 x=1-x,即 x=1 2 时取等号. 答案 B 3.把一段长 16 米的铁丝截成两段,分别围成正方形,则两个正方形面积之和的 最小值为( ). A.4 B.8 C.16 D.32 解析 设截成的两段铁丝长分别为 x,16-x,16>x>0,则围成的两个正方形面积 之和为 S= x 4 2+ 16-x 4 2≥ x 4 + 16-x 4 2 2 =8,当且仅当 x 4 = 16-x 4 ,即 x=8 时,等 号成立.故两个正方形面积之和的最小值为 8. 答案 B 4.(2012·合肥模拟)若正实数 a,b满足 a+b=1,则( ). A.1 a + 1 b 有最大值 4 B.ab有最小值 1 4 C. a+ b有最大值 2 D.a2+b2有最小值 2 2 解析 由基本不等式,得 ab≤a2+b2 2 = a+b2-2ab 2 ,所以 ab≤1 4 ,故 B 错; 1 a + 1 b = a+b ab = 1 ab ≥4,故 A 错;由基本不等式得 a+ b 2 ≤ a+b 2 = 1 2 ,即 a+ b≤ 2,故 C 正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×1 4 = 1 2 ,故 D 错. 答案 C 5.(2011·重庆)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y=1 a + 4 b 的最小值是( ). A.7 2 B.4 C.9 2 D.5 解析 依题意得 1 a + 4 b = 1 2 1 a + 4 b (a+b)=1 2 5+ b a + 4a b ≥ 1 2 5+2 b a × 4a b = 9 2 ,当 且仅当 a+b=2 b a = 4a b a>0,b>0 ,即 a=2 3 , b=4 3 时取等号,即 1 a + 4 b 的最小值是 9 2 ,选 C. 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.若 x>1,则 x+ 4 x-1 的最小值为________. 解析 x+ 4 x-1 =x-1+ 4 x-1 +1≥2 x-1· 4 x-1 +1=5,等号当且仅当 x-1= 4 x-1 ,即 x=3 时成立. 答案 5 7.函数 y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A在直线 mx+ny-1=0(mn >0)上,则 1 m + 1 n 的最小值为________. 解析 ∵y=a1-x恒过点 A(1,1),又∵A在直线上, ∴m+n=1.而1 m + 1 n = m+n m + m+n n =2+n m + m n ≥2+2=4,当且仅当 m=n=1 2 时, 取“=”,∴ 1 m + 1 n 的最小值为 4. 答案 4 8.(2011·浙江)若实数 x,y满足 x2+y2+xy=1,则 x+y的最大值为________. 解析 由 x2+y2+xy=1,得(x+y)2-xy=1, 即 xy=(x+y)2-1≤x+y2 4 ,所以 3 4 (x+y)2≤1, 故- 2 3 3 ≤x+y≤2 3 3 , 当 x=y时“=”成立,所以 x+y的最大值为 2 3 3 . 答案 2 3 3 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)已知 x>0,y>0,且 2x+8y-xy=0, 求:(1)xy的最小值; (2)x+y的最小值. 解 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0, (1)xy=2x+8y≥2 16xy, ∴ xy≥8,∴xy≥64. 故 xy的最小值为 64. (2)由 2x+8y=xy,得: 2 y + 8 x =1, ∴x+y=(x+y)·1=(x+y) 2 y + 8 x =10+2x y + 8y x ≥10+8=18. 故 x+y的最小值为 18. 10.(12 分)(2011·丽水模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该空地上 建造一栋至少 10 层,每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10) 层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元). (1)写出楼房平均综合费用 y关于建造层数 x的函数关系式; (2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是 多少? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 建筑总面积 ) 解 (1)依题意得 y=(560+48x)+2 160×10 000 2 000x =560+48x+10 800 x (x≥10,x∈N+); (2)∵x>0,∴48x+10 800 x ≥2 48×10 800=1 440(元), 当且仅当 48x=10 800 x ,即 x=15 时取到“=”, 此时,平均综合费用的最小值为 560+1 440=2 000(元). 所以,当该楼房建造 15 层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值 为 2 000 元. B 级 综合创新备选 (时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(2011·皖南八校联考(二))已知 x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d, y成等比数列,则 a+b2 cd 的最小值是( ). A.0 B.1 C.2 D.4 解析 由题知 a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则 a+b2 cd = x+y2 xy ≥ 2 xy2 xy = 4,当且仅当 x=y时取等号. 答案 D 2.(2011·厦门模拟)若直线 ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆 x2+y2+2x-4y+1=0 截得的弦长为 4,则 1 a + 1 b 的最小值为( ). A.1 4 B. 2 C.3 2 + 2 D.3 2 +2 2 解析 圆的直径是 4,说明直线过圆心(-1,2),故 1 2 a+b=1,1 a + 1 b = 1 2 a+b 1 a + 1 b = 3 2 + b a + a 2b ≥ 3 2 + 2,当且仅当 b a = a 2b ,即 a=2( 2-1),b=2- 2时取等号. 答案 C 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 3.(2011·湖南)x,y∈R,且 xy≠0,则 x2+ 1 y2 1 x2+4y2 的最小值为________. 解析 x2+ 1 y2 1 x2+4y2 =1+4+4x2y2+ 1 x2y2≥1+4+2 4x2y2· 1 x2y2=9,当且仅当 4x2y2= 1 x2y2时等号成立,即|xy|= 2 2 时等号成立. 答案 9 4.(2011·江苏)在平面直角坐标系 xOy中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)=2 x 的图象交于 P,Q两点,则线段 PQ长的最小值是________. 解析 假设直线与函数 f(x)=2 x 的图象在第一象限内的交点为 P,在第三象限内的 交点为 Q,由题意知线段 PQ的长为 OP长的 2 倍. 假设 P点的坐标为 x0, 2 x0 ,则|PQ|=2|OP|=2 x20+ 4 x20 ≥4.当且仅当 x20= 4 x20 ,即 x0= 2时,取“=”号. 答案 4 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)已知 a,b>0,求证: a b2+ b a2≥ 4 a+b . 证明 ∵ a b2+ b a2≥2 a b2· b a2=2 1 ab >0, a+b≥2 ab>0, ∴ a b2+ b a2 (a+b)≥2 1 ab ·2 ab=4. ∴ a b2+ b a2≥ 4 a+b .当且仅当 a b2= b a2, a=b 取等号, 即 a=b时,不等式等号成立. 6.(12 分)(2011·洛阳模拟)桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式, 某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块 1 800 平方米的矩 形地块,中间挖出三个矩形池塘养鱼,挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影 部分所示)种植桑树,池塘周围的基围宽均为 2 米,如图,设池塘所占的总面积 为 S平方米. (1)试用 x表示 S; (2)当 x取何值时,才能使得 S最大?并求出 S的最大值. 解 (1)由题图形知,3a+6=x,∴a=x-6 3 . 则总面积 S= 1 800 x -4 ·a+2a 1 800 x -6 =a 5 400 x -16 = x-6 3 5 400 x -16 =1 832- 10 800 x + 16x 3 , 即 S=1 832- 10 800 x + 16x 3 (x>0). (2)由 S=1 832- 10 800 x + 16x 3 , 得 S≤1 832-2 10 800 x ·16x 3 =1 832-2×240=1 352(平方米). 当且仅当 10 800 x = 16x 3 ,此时,x=45.

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